Méthode numérique

Une méthode numérique, développée par le CMM a permis de calculer la permittivité effective du composite dans le cas d’une approximation quasi-statique [101]. L’ensemble des étapes de modélisation a été réalisé par le CMM dans le cadre du projet. La première étape consiste à reconstruire la microstructure hétérogène 3D du revêtement de peinture à l’aide de modèles d’ensembles aléatoires identifiés à partir des données de l’analyse d’images 2D. Le « e-matériau » reconstitué reproduira donc les fluctuations de la microstructure (modélisation probabiliste) observée sur les images 2D collectées au MEB sur un revêtement à base de particules d’hématite dispersées dans une résine époxy. La figure 84 présente une des images 2D utilisées pour définir puis valider le modèle morphologique.

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Figure 84: Image enregistrée au MEB d’un dépôt à base de particules cubiques d’hématite dispersées dans une résine époxy. Le dépôt a été élaboré par filmographie.

Cette image a été binarisée afin d’obtenir une image constituée de pixels noir et blanc, représentant respectivement la résine époxy et les particules d’hématite ; les nuances de gris sont à éviter afin de faciliter la comparaison des images expérimentale et calculé. Pour élaborer et optimiser le modèle afin que les éléments de la microstructure simulée se rapprochent le plus possible de ceux extraits des images 2D, quatre paramètres morphologiques ont été considérés et optimisés. La fraction volumique des zones d’exclusion qui correspond au pourcentage par rapport au volume global de la microstructure. Le diamètre des zones d’exclusion, représentées par des sphères, elles correspondent aux zones de vide au sein de la microstructure. On considère également la proportion de particules dans les zones d’exclusion et la distance minimale entre deux sphères, appelé paramètre hardcore. La figure 85a présente l’image binarisée correspondant à la figure 84 et la figure 85b montre la microstructure 2D générée par le modèle optimisé. Les paramètres du modèle optimisé sont : une fraction volumique de 25%, un diamètre des zones d’exclusion de 1862 nm, une proportion de particules au sein des zones d’exclusion de 20% et un paramètre hardcore de 620 nm.

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Figure 85: (a) Image obtenue après binarisation de l’image 2D collectée au MEB, (b) image générée en appliquant le modèle optimisé (thèse de Enguerrand Couka, CMM) [102].

Afin de vérifier l’adéquation du modèle avec le matériau réel, la fonction de corrélation et la granulométrie ont été utilisées. La fonction de corrélation dérive de la covariance. Elle nous donne des informations sur le comportement d’un pigment vis-à-vis de ses proches voisins. La granulométrie est considérée uniquement sur le complémentaire c’est-à-dire sur la résine. Elle permet de caractériser les zones d’exclusion de la microstructure. Elle mesure la distribution en taille des espaces vides (zones d’exclusion). Ces fonctions peuvent être plus ou moins impactées par les différents paramètres cités plus haut. E. Couka a étudié la variation de ces fonctions pour une coupe d’un modèle aléatoire 2D. Il a constaté par exemple que la variation de la fraction volumique a peu d’effet sur la fonction de corrélation. En revanche, elle a un effet sur la granulométrie du complémentaire.

Ces fonctions ont été calculées sur l’image 2D de la microstructure du matériau réel et sur l’image générée par le modèle. Ces résultats sont présentés sur la figure 86. On constate que le comportement de la fonction de corrélation et la granulométrie sont similaire pour l’image réelle et l’image générée par le modèle. Ces deux critères de fiabilité montrent que le modèle optimisé génère une microstructure très proche de celle observée sur les images 2D enregistrées au MEB. La e-microstructure générée a ensuite été utilisée pour le calcul de la permittivité effective du matériau. Pour cela, le code de calcul par FFT, implanté dans le logiciel « Morphom » et développé par le CMM, a été utilisé. Il permet de résoudre des équations de Maxwell dans l’approximation quasi-statique en tout point de l’image reconstruite par itérations de transformées de Fourier Rapide (FFT). Le point fort de cette méthode de calculs est la possibilité de déterminer les champs électriques et déplacements diélectriques, à l’échelle des images de la microstructure réelle des matériaux, sans passer par

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un maillage. En intégrant les fonctions diélectriques de la résine époxy et de l’hématite, mesurées par ellipsométrie, il est alors possible de calculer une permittivité effective.

Figure 86: Comparaison des fonctions de corrélation et des granulométries (1) mesurée sur l’image 2D du matériau réel et (2) générée par le modèle [graphique du CMM].

A partir de la microstructure générée et des mesures de permittivité sur l’hématite et sur l’epoxy, la méthode FFT permet d’obtenir la carte des champs locaux de déplacement diélectrique en fonction du champ électrique macroscopique fixé jusqu’à la convergence. La figure 86 représente une coupe de la microstructure du matériau simulé intégrant les gradients diélectriques calculés en chaque point du système.

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Figure 87: Sections 2D des parties réelles (a) et imaginaires (b) de la composante du champ de déplacement diélectrique D, parallèle au champ électrique imposé E1 = 1, pour la longueur d'onde λ = 401 nm, calculée par

FFT sur la base de la microstructure modèle du matériau. Les champs élevés sont représentés en rouge et les champs faibles sont en bleu.

Il est possible également d’obtenir une image en plus grande résolution afin de voir les champs au sein de la particule d’hématite (figure 87).

Figure 88: Sections 2D à plus grande résolution des parties réelles (a) et imaginaires (b) de la composante du champ de déplacement diélectrique D, parallèle au champ électrique imposé E1 = 1, pour la longueur d'onde λ =

401 nm, calculée par FFT sur la base de la microstructure modèle du matériau. Les champs élevés sont représentés en rouge et les champs faibles sont en bleu.

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Ces images montrent que les parties réelle et imaginaire du champ de déplacement sont plus élevées au sein des particules d’hématite que dans la résine epoxy. Il existe un gradient de déplacement du champ à l’intérieur même des particules.