CHAPITRE 4. INCORPORATION DE L’INFORMATION EN ENERGIE DANS LA
4.4. Estimation et normalisation du sinogramme diffusé
4.4.2. Normalisation du sinogramme diffusé
4.4.2.2. Méthode de normalisation énergétique
Le processus de normalisation décrit dans la section ci-dessus revient à calculer le nombre total de coïncidences diffusées détectées dans les coupes axiales du segment 0 du sinogramme total, soit de manière équivalente, la fraction de coïncidences diffusées FDk
dans chaque coupe axiale k du segment 0. La méthode de normalisation énergétique que nous proposons à présent est basée sur l’interprétation de FDk comme la probabilité qu’une coïncidence quelconque détectée dans la coupe k soit diffusée. Celle-ci qui peut en effet être estimée selon:
( )
( ) ( )
( )
1
Nb de coinc. diff. détectées dans la coupe Nb total de coinc. détectées dans la coupe Pr Diff. |
Pr Diff. | , | 1
Pr Diff. | , (approximation de Monte Carlo)
k N n n k FD k k k P k d k N = = = ≈
∫
∑
E E E E ≜ , (4.41)où le conditionnement sur k dans cette formule indique que la dernière somme ne contient que les coïncidences détectées dans la coupe k du segment 0 (comme expliqué dans la section précédente, SSS calcule uniquement le sinogramme diffusé dans les coupes directes du scanner. Celui-ci est donc normalisé au segment 0 uniquement et la distribution du diffusé dans les plans obliques est supposée être la même que dans les plans directs situés à la même position axiale). On note que la dernière somme dans (4.41) ne contient pas de terme
(
n| k)
P E z car les coïncidences détectées dans le fichier liste sont naturellement distribuées selon P
(
E|zk)
. L’équation (4.41) indique simplement que la fraction du diffusé dans la coupe k est environ égale à la moyenne des probabilités que les coïncidences détectées dans cette coupe soient diffusées. Le terme Pr Diff. |(
En,zk)
peut être calculé selon:( ) ( )
(
1 1) (
2 2)
Pr Diff. | , 1 Pr Prim. | , 1 Pr Prim. | , Pr Prim. | , n n n n n n k k E X E X = − = − E E , (4.42)qui peut être estimé à partir des spectres des photons primaires nprim
(
E Xni, ni)
et diffusés(
i, i)
diff n n
n E X détectés en Xni, où Eni et Xni sont l’énergie et la position du photon i de la coïncidence n , comme expliqué dans la section 4.2.3.
Comme expliqué dans la section 4.3.1, les spectres en énergie ne peuvent pas être estimés dans toutes les LDR du scanner, ce qui introduit des erreurs systématiques sur l’estimation des probabilité énergétiques et donc dans l’estimation de FDk selon (4.41). En particulier, les coïncidences détectées en dehors de l’objet ne sont jamais associées à
( )
Pr Diff. |E =1, ce qui est pourtant le cas, car les spectres impliqués dans ce calcul sont moyennés sur un grand nombre de LDR, certaines d’entre elles traversant l’objet et contiennent donc une composante primaire non nulle. Afin de résoudre ce problème, nous proposons une méthode combinant les informations spatiales et énergétiques dans le processus de normalisation. Quand une coïncidence est détectée à l’intérieur de l’objet, nous calculons sa probabilité d’être diffusée selon (4.42) mais imposons Pr Diff. |
(
E)
=1 quand elle est détectée en dehors du patient.Notre approche de normalisation spatiale et énergétique fait intervenir toutes les coïncidences détectées dans la coupe k , et est donc moins bruitée que NS qui utilise uniquement celles détectées en dehors de l’objet. Ceci est particulièrement intéressant dans des patients obèses et/ou des acquisitions dynamiques dans lesquels peu de coïncidences sont détectées en dehors de l’objet ce qui cause un bruit élevé dans l’estimation des coefficients de normalisation avec NS. Nous évaluerons la précision et l’exactitude de cette nouvelle approche dans des simulations de Monte Carlo réalistes dans le Chapitre 5. La Figure 4.12 représente schématiquement la méthode traditionnelle de correction du diffusé ainsi que la nouvelle approche spatio-spectrale développée dans ce chapitre.
4.5. Conclusion
L’objectif de ce chapitre était de développer un formalisme original et rigoureux incorporant l’information en énergie dans le processus de correction de la diffusion des données TEP détectées en mode liste. L’idée centrale de ce travail est que l’information en énergie, bien que ne permettant pas seule de séparer complètement les coïncidences primaires et diffusées à cause de la résolution en énergie limitée des scanners TEP, est cependant une information utile car elle est corrélée à l’histoire des interactions des photons dans le patient.
Nous avons montré dans la première section de ce chapitre que l’information en énergie, comme l’information spatiale, peut être inclue dans la fonction de vraisemblance des données liste, ce qui donne lieu à un nouvel algorithme de reconstruction EM incluant des termes de corrections du diffusé spatiaux et énergétiques. Spécifiquement, l’énergie intervient dans l’algorithme de reconstruction à travers les termes α et β , qui sont les densités de probabilité énergétiques primaires et diffusées, respectivement. La fondation
reconstruites de cette manière soient quantitativement correctes et ne contiennent pas d’artefacts introduit par l’incorporation des termes α et β . Au pire, l’énergie est non informative auquel cas la quantification est au moins aussi bonne qu’avec l’approche de correction spatiale standard.
A
Acquisition combinée TEP/TDM en mode liste ou sinogramme (pour TEP)
Estimation initiale des distributions d’activité et d’atténuation
Sinogramme diffusé non normalisé
Sinogramme diffusé normalisé
Image reconstruite et corrigée
Reconstruction et correction rapide « single scatter simulation » (SSS) Reconstruction tomographique avec correction spatiale (CS) Normalisation spatiale (NS) B
Acquisition combinée TEP/TDM en mode liste avec l’énergie (pour TEP)
Estimation initiale des distributions d’activité et d’atténuation
Spectres locaux primaires et diffusés
Sinogramme diffusé non normalisé
Sinogramme diffusé normalisé
Image reconstruite et corrigée
Reconstruction et correction rapide
« single scatter simulation » (SSS) Simulation de Monte
Carlo rapide+fit des spectres locaux
Reconstruction tomographique avec corrections spatiales et
énergétiques (CSE) Normalisation spatiale
et énergétique (NSE)
Figure 4.12. A : approche standard spatiale de correction du diffusé. B : nouvelle approche de correction du diffusé combinant les informations spatiale et énergétique.
Dans la deuxième section de ce chapitre, nous avons montré comment estimer α et
β à partir des spectres 1D des photons primaires et diffusés. Ce résultat est important car il serait autrement difficile d’estimer α et β directement à partir des spectres en énergie 2D des coïncidences détectées en pratique. Nous avons aussi développé un modèle des spectres primaires et diffusés permettant d’estimer ces probabilités énergétiques. Comme expliqué dans la section 4.3, il est possible d’ajuster directement ce modèle sur les spectres totaux détectés dans les secteurs angulaires et axiaux du scanner car les spectres primaires et diffusés ne recouvrent pas aux basses énergies (à l’exception des photons primaires ayant diffusé partiellement dans le détecteur que nous proposons donc de modéliser dans les spectres diffusés). On note bien sûr que les photons de basses énergies sont utilisés dans le processus d’estimation des spectres uniquement et pas dans le processus de reconstruction.
Enfin, nous avons montré dans la dernière section de ce chapitre comment utiliser l’énergie pour normaliser le sinogramme des coïncidences diffusées aux données liste.
Comme pour le calcul de α et β , cette approche de normalisation requiert uniquement de connaître les spectres 1D des photons primaires et diffusés. Notre approche utilise toutes les coïncidences détectées, et est donc moins bruitée que l’approche standard NS utilisant uniquement les coïncidences détectées en dehors de l’objet. Elle calcule de plus les coefficients de normalisation de manière complètement indépendante du sinogramme diffusé et est donc plus robuste à des erreurs dans son estimation. Nous évaluerons en détail l’exactitude et la précision de notre approche de correction dans le Chapitre 5 en utilisant des simulations de Monte Carlo réalistes de patients de différentes tailles.