Méthode modes couplés

Cette méthode a été développée initialement en théorie linéaire par Athanassoulis et Belibassakis [4] en 2D, puis étendue à la 3D par Belibassakis et al. [13]. Elle est basée sur une fonction de transfert linéaire

I.5.2. MÉTHODE MODES COUPLÉS

permettant de calculer le champ diffracté en fonction de la houle incidente en chaque point du domaine. Ce modèle prend en compte les phénomènes de réflexion, de réfraction et de diffraction, sans aucune simplifi-cation exceptée la linéarisation par rapport à une profondeur moyenne. Cette approche permet de calculer le spectre d’élévation de surface libre, de vitesse et de pression en chaque point du domaine. La méthode a ensuite été étendue à la prise en compte de vagues faiblement non-linéaires par Belibassakis et Athanas-soulis [11] et totalement non-linéaires (c.f. Belibassakis et AthanasAthanas-soulis [12]), à la présence de courant (c.f. Belibassakis [10]), et à la dissipation d’énergie due aux frottements sur le fond et au déferlement (c.f. Belibassakis et al. [14]). La prise en compte d’une bathymétrie variable avec le modèle linéaire est pré-sentée dans Gerosthathis et al. [68] et Magne et al. [107] avec le cas des canyons de Scripps/La Jolla en Californie. Une application fond variable (marche immergée) avec le modèle non-linéaire est disponible dans Belibassakis et Athanassoulis [12].

Il n’y a aucune limitation quant à la géométrie de la bathymétrie dans la direction horizontale. De plus, la prise en compte de corps dans le domaine est possible, mais est alors résolue par la théorie linéaire (c.f. Belibassakis et al. [13]). Le temps de calcul de la dernière version développée (c.f. Belibassakis et Athanassoulis [12]) sur un cas de propagation de houle non-linéaire sur fond plat est indiqué comme étant légèrement supérieur à celui de la méthode différences finies présentée par Bingham et Zhang [23].

Synthèse

Afin de conclure sur les grandes familles de méthodes, nous présentons ci-dessous un récapitulatif de leurs avantages et inconvénients. La Fig.I.5.1 permet de visualiser rapidement ces différents aspects.

• méthode Eléments aux frontières

– résolution sur les frontières du domaine – nombre de points N moyen

– temps de calcul en N²ou N logN pour les plus efficaces – interactions fluide/structure possibles

– possibilité d’utiliser un domaine de calcul de géométrie quelconque • méthodes volumiques Elements Finis

– résolution sur tout le volume fluide – nombre de points N important

– temps de calcul en N2ou N logN pour les plus efficaces – interactions fluide/structure possibles

– possibilité d’utiliser un domaine de calcul de géométrie quelconque • méthodes volumiques σ-transform

– résolution sur tout le volume fluide – nombre de points N important

– temps de calcul en N (différences finies) – interactions fluide/structure possibles

– possibilité d’utiliser un domaine de calcul de géométrie quelconque • méthode surfacique pseudo-spectrale HOS/DNO

– résolution sur la surface libre – nombre de points N réduit – temps de calcul en N log(N ) – pas d’interactions fluide/structure

– domaine géométrique rectangulaire avec une profondeur quelconque

Pour les applications visées au cours de la thèse, nous cherchons à modéliser la propagation de houle sur un fond variable, dans de grands domaines, de manière efficace et pour des fonds quelconques. Il ap-paraît donc que les méthodes HOS et DNO sont très adaptées, même si la géométrie du domaine doit pour l’instant être périodique. Nous verrons dans la partie III comment s’affranchir de cette condition.

La méthode HOS a donc été replacée dans le contexte plus large des méthodes potentielles non-linéaires, et notamment pseudo-spectrales, utilisées en hydrodynamique. On a pu voir que son utilisation pour la

SYNTHÈSE

FIGUREI.5.1 – Comparaisons des principales méthodes potentielles non-linéaires. ++ indique que la mé-thode est particulièrement adaptée.

propagation de houle est bien documentée et que de nombreuses validations et optimisations numériques de la méthode ont permis d’en faire un outil fiable, performant et déjà validé en fond plat. C’est sur ce socle, et sur l’équivalence avec la méthode DNO que nous nous proposons d’étendre son champ d’application à la prise en compte d’une bathymétrie variable. Nous allons donc introduire dans la partie suivante la méthode HOS pour un fond plat, telle que disponible avant le début des travaux de thèse, puis nous présenterons le formalisme fond variable développé au cours de la thèse.

Deuxième partie

Chapitre II.1

Description détaillée de la méthode

HOS en fond plat

La méthode HOS pour un fond plat utilisée au cours de la thèse est décrite dans ce chapitre. Cette méthode, initiée par Dommermuth et Yue [44] et West et al. [136], a été développée successivement par Le Touzé [92], Bonnefoy [25], Ducrozet [46], Blondel [24] et Perignon [113] au LHEEA. On se réfèrera donc à ces auteurs pour plus de détails.

FIGUREII.1.1 – Représentation du domaine de calcul en 2D - Fond variable quelconque.

Avant de rappeler le système d’équations à résoudre introduit au chapitre I.1, notons h (x) = h0+ β (x) la profondeur d’eau, avec h0la profondeur de référence et β (x) la variation du fond autour de h0, comme représenté sur la Fig.II.1.1. Nous avons alors, pour tout x, −h0+β (x) ≤ z < η (x). Le système d’équations est alors réécrit ci-dessous.

• Conservation de la masse ou équation de Laplace :

∆φ = 0 (II.1.1)

• Condition sur le fond :

∇φ∇β − ^∂φ

∂z ^{= 0 en z = −h0+ β (x) (II.1.2)} • Condition Cinématique de Surface Libre (CCSL) :

∂η ∂t ⁼

∂φ

II.1.1. EXPRESSION AU NIVEAU DE LA SURFACE LIBRE

• Condition Dynamique de Surface Libre (CDSL) : ∂φ ∂t ^{= −gη −} 1 2    ˜ ∇φ  2 en z = η (x, t) (II.1.4)

En fond plat (la variation du fond β est nulle), la condition sur le fond Eq.(II.1.2) devient : ∂φ

∂z ^{= 0 en z = −h = −h0 (II.1.5)}

De plus, nous ajoutons à ce système une condition de périodicité dans la direction horizontale x (Lx

représente la longueur du domaine selon x) propre au modèle HOS : φ (x + Lx) = φ (x)

η (x + Lx) = η (x) ^(II.1.6)

II.1.1 Expression au niveau de la surface libre

Dans le formalisme HOS, les CSL sont exprimées en quantités surfaciques selon le formalisme de Zakharov [149]. La fonction z = η (x, t) décrit la position de la surface libre qui est ainsi univoque (la description du déferlement n’est donc pas possible). Les CSL sont alors écrites en fonction du potentiel au niveau de la surface libre ˜φ (x, t) = φ (x, z = η, t) et de η, ce qui donne :

∂η ∂t ⁼  1 + |∇η|^2∂φ ∂z − ∇ ˜φ.∇η en z = η (x, t) (II.1.7) ∂ ˜φ ∂t ^{= −gη −} 1 2   ∇ ˜φ  2 +¹ 2  1 + |∇η|^2 ∂φ ∂z 2 en z = η (x, t) (II.1.8)

Le problème est ainsi exprimé au niveau de la surface libre. Le problème initial 2D (respectivement 3D) est donc transformé en un problème 1D (respectivement 2D). Par souci de simplicité, nous présenterons par la suite le formalisme HOS pour les problèmes bidimensionnels, et une extension au 3D sera réalisée au paragraphe II.2.6.

Ces équations peuvent être avancées en temps à condition de connaître la vitesse verticale W (x, t) =

∂φ

∂z(x, z = η (x, t) , t), seule inconnue du système précédent (Eq.(II.1.7) et Eq.(II.1.8)). La méthode HOS va permettre d’évaluer la vitesse verticale en connaissant η et ˜φ.