Comparaison des deux méthodes itératives

Les deux méthodes itératives convergeant de manière exponentielle (suivant N et les deux ordres de non-linéarité M et M_b), il est donc intéressant de savoir quelle méthode est plus précise suivant les valeurs de kh, ka, et_h^β

0.

Les Fig.IV.1.6 et Fig.IV.1.7 présentent l’erreur atteinte sur la vitesse verticale pour les deux méthodes itératives en fonction de M et Mbpour _h^β

0 = 40%, kh = 0.92 et deux valeurs de ka. Sur la Fig.IV.1.6 l’erreur atteinte sur la vitesse verticale est identique pour Mb ≥ 15 donc les courbes sont superposées (de même sur la Fig.IV.1.7 pour Mb ≥ 10). La Fig.IV.1.6 (ka = 0.01 = 0.03σ) montre qu’à M fixé, on peut

IV.1.1. PRÉCISION OBTENUE SUR LA VITESSE VERTICALE

toujours trouver une valeur seuil de Mbafin d’atteindre (au moins) la même erreur sur la vitesse verticale qu’avec la méthode originelle. De plus, si Mb est plus grand que cette valeur seuil, la précision devient meilleure. La méthode améliorée permet donc d’obtenir une meilleure précision sur la vitesse verticale. Pour des cas plus cambrés, la Fig.IV.1.7 (ka = 0.15 = 0.34σ) montre que la méthode améliorée est toujours plus précise que la méthode originelle (si Mb > 1). Cela signifie que les non-linéarités de la surface libre sont plus importantes dans le cas présenté sur la Fig.IV.1.7 que dans celui de la Fig.IV.1.6, à cause de la cambrure plus importante.

La Fig.IV.1.6 montre une autre différence entre les deux méthodes. En effet, il aurait été naturel de penser que la méthode originelle avec M = 10 et la méthode améliorée avec M = 10 et Mb = 10 mèneraient aux mêmes résultats. Néanmoins, en calculant les amplitudes modales B_j^(m)pour chaque m, davantage de termes sont calculés avec la méthode améliorée (si la condition Mb > M est respectée), ce qui induit une différence dans l’erreur calculée sur la vitesse verticale. Ici, davantage de termes correctifs sont pris en compte, donc l’erreur faite sur la vitesse verticale avec la méthode améliorée est plus faible. La Fig.IV.1.6 montre clairement que l’erreur est gouvernée par l’influence du fond.

L’influence de_h^β

0 est visible sur les Fig.IV.1.8 et Fig.IV.1.9. Sur la Fig.IV.1.8, pour Mb ≥ 3, les courbes sont confondues. Pour ces deux cas on voit que pour une faible variation du fond (Fig.IV.1.8), les deux méthodes présentent la même précision. Mais quand la variation du fond_h^β

0 augmente, la méthode amélio-rée semble plus précise, pour la même raison que précédemment : quand_h^β

0 est plus important, l’influence du fond est plus grande que celle de la surface libre, donc il est nécessaire d’augmenter Mb. La Fig.IV.1.9 montre également la capacité de la méthode améliorée à traiter de grandes variations du fond (ici_h^β

0 = 75% avec une cambrure ka = 0.15 = 0.34σ et une faible profondeur relative kh = 0.92).

L’influence de la profondeur relative kh est représentée sur la Fig.IV.1.10 et sur la Fig.IV.1.11. Sur la Fig.IV.1.10, pour M_b ≥ 3, les courbes sont superposées (de même sur la Fig.IV.1.11 pour M_b ≥ 10). Pour de faibles profondeurs relatives, les deux méthodes permettent d’atteindre la même précision car les non-linéarités sur la surface libre sont très importantes, la précision est donc gouvernée par l’ordre M . Cependant, pour de plus grands kh, la méthode améliorée permet une meilleure précision car, comme précédemment, l’influence du fond devient plus importante que celle de la surface libre (^ka_σ diminue).

Ainsi, la méthode améliorée permet de toujours pouvoir sélectionner les paramètres numériques adé-quats afin d’atteindre au moins la même précision que la méthode originelle. De plus, dans certains cas (lorsque l’influence du fond est importante devant celle de la surface libre et inversement), l’utilisation d’un couple (M, Mb) plutôt que d’un couple (M, M ) devrait réduire le temps de calcul (tout en conservant la précision).

FIGURE IV.1.6 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb -_h^β

0 = 40% - kh = 0.92 et ka = 0.01 = 0.03σ.

FIGURE IV.1.7 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb -_h^β

0 = 40% - kh = 0.92 et ka = 0.15 = 0.34σ.

CHAPITREIV.1. APPLICABILITÉ,LIMITATIONS ET PROPRIÉTÉS NUMÉRIQUES

FIGURE IV.1.8 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb -_h^β

0 = 10% - kh = 0.92 et ka = 0.15 = 0.34σ.

FIGURE IV.1.9 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb -_h^β

0 = 75% - kh = 0.92 et ka = 0.15 = 0.34σ.

FIGURE IV.1.10 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb-_h^β

0 = 40% - kh = 0.5 et ka = 0.1 = 0.5σ.

FIGURE IV.1.11 – Erreur sur la vitesse verticale en fonction de M et Mb -_h^β

0 = 40% - kh = 3 et ka = 0.1 = 0.23σ.

IV.1.2 Avance en temps

Une fois que la vitesse verticale est correctement reconstruite, il est possible d’avancer les équations en temps. Un moyen de vérifier si la propagation est correcte est de comparer le déphasage obtenu à la solution de référence de Rienecker et Fenton [117]. Dans cet exemple, 1000 périodes sont simulées. Ce cas test est assez discriminant en terme de méthodes numériques pour la propagation non-linéaire de vagues. Un déphasage est toujours observé avec toutes les méthodes numériques après un long temps de propagation.

La méthode HOS est très précise au niveau du déphasage. Ce phénomène se produit même si le fond est plat (ie _h^β

0 = 0%) comme montré dans Bonnefoy et al. [26], les résultats seront donc comparés à ce cas. On utilise N = 64, M = 8, k.h = 1.0, k.a = 0.1, une tolérance sur le pas de temps de 1.10⁻⁸et l’on regarde l’influence de la variation du fond_h^β

0. Les résultats ont été présentés dans Gouin et al. [72]. Pour la méthode exacte, le déphasage ne dépend pas de _h^β

0 et est toujours égal au déphasage obtenu à

β