Méthode de la fonction de Green

w Tt d

Substrat n

₄

Couche d’or n

₃

Diél. n

₂

Air n

₁ d

Substrat n

₄

Couche d’or n

₃

Air n

₁

a b

x z y

Figure 3.12 – (a) DLSPPW et (b) système de référence : substrat-or-air.

La méthode différentielle décrite dans le paragraphe précédent ne permet pas

de restituer les modes sans fuites radiatives dans le substrat. Nous utilisons donc

aussi un code calculant la densité de modes guidés (DOS pour "Density Of States")

[56, 90, 85] et donc capable de décrire les modes liés et à fuites. La DOS est extraite

de la théorie exacte de la diffusion des ondes électromagnétiques dite aussi "méthode

de la fonction de Green". L’explication détaillée de cette méthode est disponible dans

diverses variantes discutées dans les références [91, 92, 93, 94, 95, 96].

En effet, le tenseur de GreenG associé à la structure guidante rassemble l’ensemble

des propriétés électromagnétiques du système. Physiquement, G peut être défini

comme la réponse du système à une excitation élémentaire [97, 98]. En géométrie en

deux dimensions, comme ici, cela signifie que le champ électrique E^~(~r

_//

)rayonné en

~r

_//

= (x, z) par une ligne de dipôlesP^~

₀

situés en~r

0

//

s’écrit

~

E(~r

//

) = ^k

2 0

ε

₀

^G(~r

^//

^{, ~r}

0 //

)·P^~

0

. (3.13)

G est donc un tenseur de rang 2 qui doit être calculé pour chaque couple de points

(r

_//

, r

0

//

)du système. Pour cela, il faut résoudre l’équation auto-cohérente de Dyson

G(~r

_//

, ~r

_//⁰

, k

y

) =G

ref

(~r

_//

, ~r

_//⁰

, k

y

)+k

₀²

Z

guide

G

ref

(~r

_//

, ~r

_//⁰

, k

y

)(ε

ref

−ε)G(~r

_//⁰

, ~r

_//⁰

, k

y

)d~r

_//⁰

,

(3.14)

où l’indice "ref" indique la structure de référence (le système sans le ruban

diélec-trique ; figure 3.12 (b)). En particulier,G

_ref

prend une forme analytique connue

fai-sant intervenir des intégrales de Sommerfeld, puisqu’il représente le champ rayonné

par une ligne de dipôles en présence d’un système multicouche [99].

Finalement, la densité de mode guidé ρ(k

_y

) sur l’intervalle de constante de

propa-gation [k

_y

;k

_y

+ dk

_y

] est fonction de la trace du tenseur de Green [92, 94].

ρ(k

y

) =−^2k

^y

π ^{=T r[εG(k}

^y

^{)] =}

d

dk

_y

^[

1

π^{=ln detεG(k}

^y

^{)]. (3.15)}

oùI est la matrice identité.

Cette expression n’est valable que dans les régions où ε(~r) ne change pas de signe.

Comme la constante diélectrique du métal est négative et celle du ruban

diélec-trique positive, il est judicieux d’utiliser l’équation de Dyson (équation 3.14), pour

se restreindre au ruban diélectrique. En effet, l’équation de Dyson s’écrit sous forme

matricielle

G= [I−G

_ref

V]

−1

G

_ref

, (3.16)

oùV =k

2 0

(ε

_ref

−ε).

L’équation 3.15 devient

ρ(k

_y

) =−¹

π

d

dk

_y

^{ln det[I−G}

^ref

^{V] +}

1

π

d

dk

_y

^{ln detεG}

^ref

^{, (3.17)}

d’où l’on tire la modification de DOS par rapport au système de référence

∆ρ(k

_y

) = ρ(k

_y

)−ρ

_ref

(k

_y

) =−¹

π^{=ln det[I−G}

^ref

^{V]. (3.18)}

Nous cherchons maintenant à établir la condition de résonance. Le champ électrique

~

E dans le système en présence d’une excitation E^~

₀

est donné par l’équation de

Lippman-Schwinger en représentation matricielle

E=E

0

+G

ref

VE, (3.19)

donc

[I−G

_ref

V]E=E

₀

. (3.20)

Le système supporte un mode en l’absence d’excitation si

On suit alors une procédure similaire à celle discutée pour la RPM (paragraphe 2.1.4

du chapitre 2). A proximité d’une résonance, det[I−G

ref

V] s’annule et la dérivée

de la phase de ce déterminant suit un profil lorentzien [85]. Nous définissons donc la

phase θ =−arg det[I−G

_ref

V].

On montre alors que

∆ρ(k

_y

) = ¹

π

dθ

dk

_y

^=ρ(k

^y

^)−ρ

^ref

^(k

^y

^{) =}

g

πk

₀

n

00

(k

_y

/k

₀

−N

_{ef f}

)

2

+n

002

, (3.22)

où ρ(k

_y

) est la DOS de la structure guidante complète (figure 3.12 (a)) et ρ

_ref

(k

_y

)

celle du système sans le ruban diélectrique (figure 3.12 (b)). N

ef f

=β/k

0

est l’indice

effectif du mode. n

00

est défini tel que l’indice effectif complexe du mode s’écrive

˜

N

_{ef f}

=N

_{ef f}

+in

00

. La longueur de propagation du mode est alors L

_{SP P}

=λ/4πn

00

.

g indique la dégénérescence de modes à k

_y

=β.

Le centre de la lorentzienne donne donc la constante de propagation du mode

tan-dis que la largeur à mi-hauteur ∆N

_{ef f}

= 2n

00

est inversement proportionnelle à la

longueur de propagation du mode.

Numériquement, ∆ρ est calculé selon (voir l’équation 3.15)

∆ρ(k

_y

) = −^2k

^y

π ⁼

Z

guide

d~r

_//

[εG(~r

_//

, ~r

_//

, k

_y

)−ε

_ref

G

_ref

(~r

_//

, ~r

_//

, k

_y

)]. (3.23)

1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 0 20 40 60 80 100 k_y/k₀ DOS Calcul Fit lorentzien N_eff=1.249 L_SPP=36.77 µm ∆N_eff

Figure 3.13 – Représentation du calcul avec la méthode de la fonction de Green dans le cas des

dimensions optimales du DLSPPW (t= 600nmet w= 600nm).

La DOS calculée (figure 3.13) suit effectivement un profil lorentzien dont le pic

est situé à la valeur de l’indice effectif du mode, ici N

_{ef f}

= 1.249. La longueur de

propagation du mode estL

_{SP P}

=λ/(2π∆N

_{ef f}

)ou∆N

_{ef f}

est la largeur à mi-hauteur

de la lorentzienne. Ici, nous calculons L

SP P

= 36.77µm.

0 200 400 600 800 1000 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 Largeur du guide (nm) Indice effectif MIE DOS Méth. diff. Modes à fuites Modes liés a 0 200 400 600 800 1000 10 15 20 25 30 Largeur du guide (nm) Longueur de propagation (µm) MIE DOS Méth. diff. b

Figure3.14 – Comparaison (a) des indices effectifs et (b) des longueurs de propagation obtenus

avec le modèle de l’indice effectif, la méthode différentielle et la méthode de la fonction de Green (DOS) pour un guide de chalcogénure de 300 nm d’épaisseur dont la largeur varie entre0et 1µm.

Sur la figure 3.14, nous avons comparé le modèle de l’indice effectif avec des

méthodes numériques ; la méthode différentielle [59] et la méthode de la fonction de

Green [85]. Pour le cas considéré, l’épaisseur d’or estd= 100nm, l’indice du substrat

estn

4

= 1.6et le guide est en chalcogénureAs

2

S

3

d’indicen

2

= 2.437àλ = 1.55µm.

L’épaisseur du guide est constantet= 300 nmet la largeurwvarie entre 0et1µm.

Sur la figure 3.14 (a), nous comparons les indices effectifs obtenus. Les méthodes

numériques sont en excellent accord et améliorent sensiblement les valeurs obtenues

par le modèle de l’indice effectif pour les modes à fuites. Les modes liés ne peuvent pas

être caractérisés avec la méthode différentielle mais sont accessibles avec la méthode

de la fonction de Green. En ce qui concerne la longueur de propagation (figure 3.14

(b)), l’accord est vérifié à 10% près.

Par ailleurs, le calcul de la DOS permet de déterminer plus précisément l’indice

effectif que le calcul de la réflectivité. Nous le verrons en particulier au chapitre 5

au cours duquel nous nous intéresserons à des films d’or de largeurs finies.

3.3 Conclusion

Ce chapitre nous a permis de cerner ce que diverses approches théoriques peuvent

nous apprendre au sujet d’un DLSPPW. Dans un premier temps, le modèle de

l’in-dice effectif nous a permis de comprendre le comportement du mode en fonction des

paramètres dimensionnels du guide. Nous en avons déduit les dimensions assurant

un facteur de confinement optimal. Malheureusement, nous avons établi que

l’amé-lioration du confinement modal se fait au détriment de la longueur de propagation.

Nous reviendrons sur ce point crucial lors du dernier chapitre. Des simulations

nu-mériques à l’aide de la méthode différentielle et de la méthode de la fonction de

Green ont permis de confirmer les résultats obtenus avec le modèle de l’indice

effec-tif. Il est important de noter que nous avons travaillé à la longueur d’onde telecom

λ = 1.55 µm qui nous intéresse tout particulièrement. Toutefois, cette étude est

évidemment transposable à d’autres longueurs d’onde ainsi que nous le faisons au

chapitre suivant qui concerne la caractérisation expérimentale d’un DLSPPW dans

le proche infrarouge.

Caractérisation expérimentale d’un

DLSPPW

Après avoir mis en place les outils théoriques et numériques nécessaires à l’étude

des DLSPPWs, nous décrivons leur caractérisation optique par microscopie à fuites

radiatives. Pour faciliter la mise en place instrumentale, nous considérons dans ce

chapitre un mode guidé dans le proche infrarouge. En effet, dans cette gamme de

longueurs d’onde, les fuites radiatives sont suffisantes pour permettre une bonne

visualisation par microscopie à fuites radiatives tant dans l’espace direct (plan image)

que dans l’espace réciproque (plan de Fourier). Les dimensions du guide sont d’abord

optimisées pour assurer un bon confinement dans cette région spectrale (paragraphe

4.1). Un guide est ensuite réalisé par lithographie par faisceau d’électrons (LFE).

Nous détaillons cette procédure au paragraphe 4.2. Les paragraphes suivants sont

consacrés à l’étude de ce guide.

4.1 Paramètres de fabrication

Afin de déterminer les paramètres de la structure à fabriquer, nous fixons

l’épais-seur d’or et la longueur d’onde incidente à d = 50 nm et λ = 780 nm [n

₃

=

0.18 +i4.92 [60]], respectivement. On note qu’en utilisant la méthode différentielle,

nous obtenons une longueur de propagation de l’ordre deL

SP P

= 6.5±0.5µmpour

un guide dont la largeur varie de150à500nm. Ceci justifiea posteriori de

s’intéres-ser uniquement aux propriétés de confinement lorsque l’on optimise les dimensions

du guide [65, 78, 100]. Avec le modèle de l’indice effectif (figure 4.1 (a)), puis la

méthode différentielle (figure 4.1 (b)), nous déterminons les paramètres d’épaisseur

et de largeur du guide diélectrique qui permettent d’avoir le meilleur confinement

possible afin de maximiser l’interaction entre le mode et le polymère, pour un guide

monomode. Finalement, les paramètres sontt= 350nmpour l’épaisseur du guide et

w= 300 nm pour la largeur. Le facteur de confinement obtenu à partir de la figure

4.1 (b) est γ = 69%, en très bon accord avec le confinement calculé en utilisant le

modèle de l’indice effectif (figure 4.1 (a)).

100 200 300 400 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Largeur du guide w (nm) Facteur de confinement t=100 nm t=200 nm t=300 nm t=400 nm a

b

Figure 4.1 – (a) Facteur de confinement calculé en utilisant le modèle de l’indice effectif pour

différentes épaisseurs de PMMA en fonction de la largeur du guide. Les marques verticales noires indiquent la largeur de coupure du mode T M01. L’indice du ré-fraction de PMMA est n2 = 1.493. (b) Distribution de l’intensité du champ élec-trique à l’intérieur du guide. Le mode est excité avec un angle d’incidenceθ4= 60o

(Nef f = 1.30).

Dans le document Guide plasmonique polymère-métal : composants passifs et actifs pour la photonique intégrée (Page 61-67)