Méthode du second ordre

Les méthodes du second ordre, aussi appelés méthodes par découplage, commencent avec une analyse simple du cycle pour déterminer une puissance d’arbre de base et une chaleur d’entrée. Les diverses pertes sont ensuite soustraites à cette puissance de base et les pertes thermiques sont ajoutées à la chaleur d’entrée afin d’affiner les prédictions de performances. Ce qui est amélioré par rapport à la méthode précédente est l’identification des diverses pertes mécaniques et leur quantification. Ils incluent par exemple les pertes par frottement, les pertes de charges, les pertes thermiques par hystérésis ou encore les fuites de gaz. Les pertes thermiques incluent quant à eux les pertes dans la course du déplaceur, la conduction des parois, ainsi que le transfert thermique non parfait dans les régénérateurs. Il est assumé pour l’analyse de second ordre, que les pertes énergétiques sont indépendantes les unes des autres, elles sont en ce sens découplées.

Les méthodes du second ordre sont par ailleurs divisés en 3 sous-catégories en fonction des hypothèses choisies pour les volumes de gaz balayés : isotherme, adiabatique ou semi- adiabatique. Ces termes dépendent du taux de transfert thermique entre les 2 chambres de fonctionnement et leurs échangeurs respectifs. Si ce dernier est infini, l’hypothèse est isotherme. S’il est nul, l’hypothèse est adiabatique. Enfin l’hypothèse semi-adiabatique se trouve entre les deux précédentes.

L’analyse isotherme

Cette analyse est basée sur le cycle théorique Schmidt qui fit une grande avancée dans la théorie du Stirling avec son modèle de compression et détente isothermes, soit à tempé- rature constante. Son analyse divise le moteur en 3 parties que sont le volume chaud, le volume froid et le volume de régénération.

Ce modèle fut le premier, après la théorie de Stirling, qui montra analytiquement et nu- mériquement un comportement thermodynamique assez représentatif de la réalité. Les travaux qui s’en suivirent se sont basés sur ce premier modèle et ont cherché à l’améliorer avec des hypothèses qui rapprocheraient plus les résultats théoriques des résultats expéri- mentaux.

Le cycle de Schmidt suppose des variations de volumes sinusoïdaux et de ce fait s’approche plus du cycle idéal de Stirling que le modèle du premier ordre. Les températures des chambres de fonctionnement chaud et froid sont maintenues invariantes et égales à celles

2.3. MODÈLES THÉORIQUES 23 de leurs échangeurs respectifs, car on suppose ici un taux de transfert thermique infini. Il est aussi supposé que le taux de régénération est parfait, voulant dire d’une part que la température locale du gaz est égale à la température locale de la paroi du régénérateur et d’autre part qu’il n’y a aucun transfert thermique axial dans ce dernier. Toute chaleur introduite dans le cycle isotherme se fait dans l’espace de détente et toute chaleur sortant du cycle se fait dans l’espace de compression.

Le modèle comporte cependant quelques failles et donc on peut en trouver ses limites. Principalement, il existe deux limites qui sont énumérées et développées par N. Lanciaux [31], et illustrées dans la figure 2.9 :

– Comment la nature du gaz impacte sur le rendement et sur la puissance du moteur ? – Pourquoi le régime du moteur intervient-il dans son rendement ?

Figure 2.9 Corrélation « Rendement moteur / Régime moteur / nature du gaz / Puissance moteur » [31]

L’impossibilité du modèle de Schmidt à répondre à ces 2 questions vient des hypothèses de « gaz parfait » et « échange thermique parfait ». En effet le régime du moteur impose la vitesse du fluide au sein du moteur et la vitesse du fluide change la qualité de l’échange thermique du gaz avec les parois, ainsi le rendement est modifié. Quant à l’influence du gaz, on se sert de l’équation de la chaleur et de physique statistique. En effet la conductivité thermique d’un gaz est proportionnelle à la vitesse d’agitation thermique de ses molécules. N. Lanciaux précise que cette vitesse est inversement proportionnelle à la masse de la molécule constitutive du gaz. Alors on peut dire que plus une molécule de gaz est légère, plus sa conductivité thermique sera importante. Ce détail n’étant pas négligeable, on comprend pourquoi il serait préférable d’utiliser de l’hydrogène ou de l’hélium plutôt que de l’air dans un moteur fonctionnant suivant le cycle thermodynamique de Stirling. Par ailleurs, dans le document de la NASA [29] se trouve une étude complète sur une

24 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L’ART machine de Stirling phase bêta. L’étude de départ est basée sur les hypothèses de Schmidt. Par la suite, les auteurs font réaliser que les volumes morts au sein du moteur jouent un rôle dans le rendement de ce-dernier. Ce qu’il faudra alors retenir c’est qu’il y a un compromis optimal à faire entre volumes morts et volumes utiles pour obtenir le rendement maximal d’une machine de Stirling.

Modèle adiabatique

Il aura fallu attendre 1960 pour avoir une nouvelle théorie qu’est l’analyse adiabatique de Finkelstein. Il s’est proposé de diviser le moteur en 5 parties et donc de réaliser un modèle plus précis : le volume de détente, le volume chaud, le volume du régénérateur, le volume froid et le volume de compression. Cette théorie a permis de réaliser que le gaz n’a en réalité pas le temps d’échanger de la chaleur lors des phases de compression et de détente. Le cycle adiabatique suppose que les espaces de compression et de détente sont parfaite- ment isolés du point de vue thermique. De ce fait, tout l’apport de chaleur se fait dans l’échangeur chaud et toute chaleur sortante passe par l’échangeur froid. Le gaz quitte l’échangeur chaud à la même température de la source chaude et se mélange parfaitement lorsqu’il entre dans l’espace de détente. De même, le gaz sortant de l’échangeur froid le fait à la température de ce dernier et se mélange parfaitement avec celui présent déjà dans l’espace de compression. Comme précédemment, le taux de régénération est supposé parfait. Cette analyse est une simplification du cycle Stirling plus réaliste que l’analyse isotherme de Schmidt, d’autant plus pour les moteurs volumineux et opérants à des fré- quences importantes. Cependant une analyse isotherme du second ordre peut être aussi précise qu’une analyse adiabatique du second ordre si on pense à soustraire, au cycle iso- therme, les pertes engendrées par les hypothèses adiabatiques. Comme le précisent Urieli et Berchowitz [32], l’analyse adiabatique ne mène pas à des performances significativement différentes comparé à l’analyse isotherme. Cependant ils confirment l’utilité de l’analyse qui se rapproche du comportement réel du moteur.

Modèle semi-adiabatique

Le cycle semi-adiabatique présume que le taux de transfert thermique est fini non nul. Le cycle semi adiabatique, analysé pour la première fois par Finkelstein, prend en compte un transfert thermique non nul dans les espaces de détente et de compression. Les tempéra- tures des parois de ces volumes sont supposés constants en fonction du temps et égaux aux sources de chaleur respectifs. Ces derniers et le régénérateur sont supposés parfaits. Le cycle semi-adiabatique peut prédire des performances plus faibles que le cycle adia-

2.3. MODÈLES THÉORIQUES 25 batique pur ou bien le cycle isotherme. Ceci est du à la différence des pertes thermiques irréversibles entre le gaz et les parois des échangeurs dans les phases de compression et de détente. La solution à ce cycle nécessite comme précédemment, une simple intégration numérique.