Méthode des éléments finis (MEF)

Il existe différentes méthodes numériques qui permettent de résoudre des problèmes d’écoulement de l’eau en milieu non saturé. L’une des méthodes utilisées est la méthode des éléments finis. L’objectif de cette section n’est pas de présenter la méthode des éléments finis, qui est d’ailleurs bien documentée dans la littérature (e.g. Bathe, 1982, 2001 ; Segerlind, 1985; Zienkiewicz et Taylor, 1991; Reddy, 1993; Dhatt, 2005), mais plutôt d’expliquer brièvement le fondement de la MEF afin de garantir une application et utilisation rigoureuse des logiciels Vadose/W et Hydrus qui utilisent cette technique.

La MEF est plus flexible que celle des différences finies (DF). Elle consiste en une application de la méthode variationnelle sur chacune des fractions d'un domaine discrétisé en éléments géométriques simples.

Pour les écoulements, cette méthode est généralement employée dans les problèmes d’écoulement en milieu non saturés, dans les problèmes de génie civil tels que le calcul de débit d’exhaure ou la simulation d’écoulement autour d’un barrage. Elle s’applique aussi lorsqu’on observe des discontinuités géologiques telles que les fractures ou les fissures. Pour le transport des contaminants, la MEF est bien adaptée puisqu’elle permet de stabiliser la dispersion numérique plus efficacement qu’avec les DF (Quiot, 2008).

L’application de la MEF à un problème physique revient à suivre les étapes successives suivantes comme suit (Bathe, 2001; Dhatt, 2005; Marceau, 2007) :

Première étape : définition du problème

La première étape consiste à convertir le problème physique en une ou série d’équations différentielles aux dérivées partielles (EDP). Dans le cas qui nous concerne, l’écoulement en milieu non saturé gouverné par l’équation de Richards représente notre problème à résoudre. L’EDP doit satisfaire en tout nœud d'un domaine géométrique, et ce, en prenant en considération

les conditions imposées sur les frontières (bords), et/ou à l’intérieur de ce domaine (conditions aux limites). Ces conditions frontières sont en général de trois types :

 Condition de Dirichlet qui se traduit par une valeur que la solution doit vérifier sur les limites du domaine (p. ex. charge hydraulique ou potentielle);

 Condition de Newman qui s'exprime par la valeur de la dérivée de la solution aux bords (ex pression, flux);

 Condition de Robin ou de Fourrier (appelée également condition mixte), qui est une combinaison des conditions de Newman et Dirichlet (ex convection ou imposer une relation entre potentiel et flux).

Deuxième étape : forme variationnelle

Cette étape consiste à reformuler l'EDP sous forme d'identité intégrale nommée "forme variationnelle'' ou encore "forme faible". Compte tenu des conditions aux limites, la fonction inconnue intervient ainsi avec des dérivées d'ordre inférieur dans la nouvelle forme obtenue (forme variationnelle).

Troisième étape : maillage, choix des nœuds et des fonctions d'interpolation

À cette étape, on divise le domaine en sous-domaines (pas nécessairement identiques) appelés mailles. Ces dernières sont munies d'une partition de nœuds. Le choix des nœuds aux extrémités de mailles offre deux avantages à savoir : le nombre de nœuds est réduit puisqu'il y aura des nœuds communs à chaque deux mailles voisines et la continuité de la solution approchée est assurée, car celle-ci aura la même valeur aux nœuds communs. Le deuxième volet de cette étape consiste à définir une fonction locale, appelée fonction d'interpolation, sur chaque sous-domaine. La maille complétée par ces informations est appelée élément. Les logiciels d'éléments finis disposent de différents types d'éléments: des lignes pour les problèmes à une dimension (1D), des triangles et des rectangles pour les problèmes à deux dimensions (2D), des tétraèdres, des hexaèdres et des pentaèdres pour les problèmes à trois dimensions (3D).

Il est à noter que chaque fonction d’interpolation doit être complètement et uniquement déterminée par les valeurs de la solution imposées aux nœuds (Mhaguen, 2011). Par exemple si la fonction d’interpolation est un polynôme, les valeurs nodales de la solution servent à déterminer les coefficients de ce polynôme. La résolution d'une problématique par la MEF se

ramène donc à trouver ces valeurs nodales. Cette étape est de grande importance, en ce qui a trait à la précision des résultats.

Par souci de réduction de temps de calcul, l'élément utilisé (maille, nœuds et fonction d'interpolation) pour discrétiser la géométrie est prédéfini et préprogrammé à l'avance dans des logiciels utilisant la MEF (Marceau, 2007).

Quatrième étape : résolution du système matriciel

La discrétisation variationnelle, après assemblage des équations pour chaque élément, donne un système d’équations de la forme matricielle suivante :

[K]{X}= {A} (2.18) avec :

[K] : matrice des coefficients donnant la géométrie et les propriétés de l’élément considéré; {X} : vecteurs inconnus; et

{A} : vecteurs des actions aux nœuds.

Dans le cas d’analyse d’écoulement de l’eau, la matrice K représente les coefficients de la géométrie et propriété des matériaux utilisés, les vecteurs X, la charge hydraulique totale aux nœuds, et les vecteurs A, le flux d’eau aux nœuds. Deux méthodes sont essentiellement utilisées pour la résolution du système matriciel : la méthode directe (élimination de Gauss, décomposition de Chokski, etc.) et la méthode itérative (Jacobi, gradient conjugué, etc.). La solution approchée est définie avec les valeurs nodales recueillies.

Fortement conseillée pour résoudre le problème de modélisation à partir des équations aux dérivées partielles fortement non linéaire, la MEF présente certains avantages et limitations (Marceau, 2007):

Avantages

 Court temps de résolution et visualisation graphique des résultats;

 Possibilité d’utiliser plus d’un type d’élément (maillage) dans la discrétisation d’un domaine;

 Possibilité d’application pour des conditions fortement complexes (problème physique ou mathématique).

Limitations

 Dépendance de la solution calculée aux données numériques initiales (caractéristiques des matériaux, conditions aux limites, etc.);

 Une modification de la géométrie (domaine) entraîne un nouveau maillage;

 Un mauvais choix du maillage proposé automatiquement par le logiciel limite la précision des résultats;

 Une parfaite connaissance de la géométrie du domaine à étudier et de ses conditions aux limites est indispensable pour traiter une problématique par la MEF.