Méthode de Gauss-Jordan, écriture matricielle

&

% E

EE:,s “AAA:,s, @sP v1, nwzti, ju, E

EE:,i “AAA:,j, E

EE:,j “AAA:,i. Q. 3 1. detpPq “ ´1, sii‰j etdetpPq “1sinon.

3

2. Immédiat par calcul direct on aPP“Iet donc la matricePest inversible etP^-1“P.

4

˛

5

On tire de cet exercice le lemme suivant

6

Lemme 3.4

Soitpi, jq P v1, nw².On noteP^ri,jsn PM_npRqla matrice identitée dont on a permuté les lignesiet j.

Alors la matrice P^ri,jsn est symétrique et orthogonale. Pour toute matriceAPM_npKq, 1. la matriceP^ri,jsn Aest la matriceA dont on a permuté les lignesiet j,

2. la matriceAP^ri,jsn est la matriceA dont on a permuté les colonnesiet j,

7

3.1.3 Méthode de Gauss-Jordan, écriture matricielle

8

SoientAPM_Kp) une matrice inversible etbbbPKⁿ.

9

On va tout d'abord rappeller (très) brièvement l'algorithme d'élimination ou algorithme de

Gauss-10

Jordan permettant de transformer le système linéaireAxxx“bbben un système linéaire équivalent dont la

11

matrice est triangulaire supérieure. Ce dernier système se résoud par la méthode de remontée.

12

Ensuite, on va réécrire cet algorithme sous forme algébrique pour obtenir le théorème ...

13

Cette méthode doit son nom aux mathématiciens Carl Friedrich Gauss (1777-1855, mathémati-cien, astronome et physicien allemand) et Wilhelm Jordan (1842-1899, mathématicien et géodésien allemand) mais elle est connue des Chinois depuis au moins le Ier siècle de notre ère. Elle est référencée dans l'important livre chinois Jiuzhang suanshu ou Les Neuf Chapitres sur l'art mathé-matique, dont elle constitue le huitième chapitre, sous le titre Fang cheng (la disposition rect-angulaire). La méthode est présentée au moyen de dix-huit exercices. Dans son commentaire daté de 263, Liu Hui en attribue la paternité à Chang Ts'ang, chancelier de l'empereur de Chine au IIe siècle avant notre ère.

14

Algorithme de Gauss-Jordan usuel

15

Pour la résolution du système linéaire Axxx “bbb l'algorithme de Gauss-Jordan produit la forme

échelon-16

née (réduite) d'une matrice à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes du système. Trois types

17

d'opérations élémentaires sont utilisées:

18

‚ Permutation de deux lignes ;

19

‚ Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul ;

20

‚ Ajout du multiple d'une ligne à une autre ligne.

21

A l'aide de ces opérations élémentaires cet algorithme permet donc de transformer le système linéaire

22

Axxx “ bbb en le système équivalent Uxxx “ fff où U est triangulaire supérieure. En fait, l'algorithme va

23

transformer la matriceAet le second membrebbbpour aboutir à un système dont la matrice est triangulaire

24

supérieure. ¹

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.3MéthodedeGauss-Jordan,écriturematricielle 71

Algorithme 3.4 Algorithme de Gauss-Jordan formel pour la résolution deAxxx“bbb

1: Pour jÐ1 àn´1 faire

2: Rechercher l'indicek de la ligne du pivot (sur la colonnej, kP vj, nw)

3: Permuter les lignesj (Lj) etk(Lk) du système si besoin.

4: Pour iÐj`1 ànfaire

5: Eliminer en eectuantLiÐLi´^A_A^i,j

j,jLj 6: Fin Pour

7: Fin Pour

8: Résoudre le système triangulaire supérieur par la méthode de la remontée.

On va maintenant voir comment écrire cet algorithme de manière plus détaillée. Pour conserver sa ² lisibilité, on choisi pour chaque ligne un peu délicate de créer et d'utiliser une fonction dédiée à cette ³

tâche. ⁴

Algorithme 3.5 Algorithme de Gauss-Jordan avec fonctions pour la résolution deAxxx“bbb Données : A : matrice deMnpKqinversible.

bbb : vecteur deKⁿ. Résultat : xxx : vecteur de Kⁿ.

1: FonctionxxxÐ RSLGauss (A, bbb)

2: Pour jÐ1 àn´1 faire

3: kÐ ChercheIndPivot pA, jq ŹChercheIndPivot à écrire

4: rA, bbbs Ð PermLignesSys pA, bbb, j, kq ŹPermLignesSys à écrire

5: Pour iÐj`1 ànfaire

6: rA, bbbs Ð CombLignesSys pA, bbb, j, i,´Api, jq{Apj, jqq ŹCombLignesSys à écrire

7: Fin Pour

8: Fin Pour

9: xxxÐRSLTriSuppA, bbbq ŹRSLTriSup déjà écrite

10: Fin Fonction

Bien évidemment, il reste à décrire et écrire les diérentes fonctions utilisées dans cette fonction : ⁵ Fonction kÐChercheIndPivotpA, jq : recherchekP vj, nwtel que @lP vj, nw, |Al,j| ď |Ak,j|. 6

Fonction rA, bbbs ÐPermLignesSyspA, bbb, i, kq : permute les lignesietkde la matriceAainsi que celles ⁷

du vecteurbbb. 8

Fonction rA, bbbs ÐCombLignesSyspA, bbb, j, i, αq: remplace la ligneide la matriceApar la combinaison ⁹ linéaire LiÐLi`αLj.De même on remplace la ligne idebbbparbi`αbj. 10

Ces trois fonctions sont simples à écrire et sont données en Algorithmes 3.6, 3.7 et 3.8. ¹¹

Algorithme 3.6 Recherche d'un pivot pour l'algorithme de Gauss-Jordan.

Données : A : matrice deMnpKq.

j : entier,1ďjďn.

Résultat : k : entier, indice ligne pivot 1:FonctionkÐ ChercheIndPivot (A, j) 2: kÐj,pivotÐ |Apj, jq|

3: PouriÐj`1ànfaire 4: Si|Api, jq| ąpivotalors 5: kÐi,pivotÐ |Api, jq|

6: Fin Si 7: Fin Pour 8:Fin Fonction

Algorithme 3.7 Permutte deux lignes d'une ma-trice et d'un vecteur.

Données : A : matrice deMnpKq.

bbb : vecteur deKⁿ. j, k : entiers,1ďj, kďn.

Résultat : Aetbbbmodiés.

1:FonctionrA, bbbs Ð PermLignesSys (A, bbb, j, k) 2: PourlÐ1ànfaire

3: tÐApj, lq,Apj, lq ÐApk, lq,Apk, lq Ðt 4: Fin Pour

5: tÐbbbpjq, bbbpjq Ðbbbpkq, bbbpkq Ðt 6:Fin Fonction

Algorithme 3.8 Combinaison linéaireLiÐLi` αLjappliqué à une matrice et à un vecteur.

Données : A : matrice deMnpKq.

bbb : vecteur deKⁿ. j, i : entiers,1ďj, iďn.

alpha : scalaire deK Résultat : Aetbbbmodiés.

1:FonctionrA, bbbs ÐCombLignesSys(A, bbb, j, i, α )

2: PourkÐ1ànfaire 3: Api, kq ÐApi, kq `α˚Apj, kq 4: Fin Pour

5: bbbpiq Ðbbbpiq `αbbbpjq 6:Fin Fonction

12

Ecriture algébrique ¹³

Sous forme d'exercice :

1

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.3MéthodedeGauss-Jordan,écriturematricielle

Exercice 3.1.5 SoitAPMnpCqinversible.

Q. 1 Montrer qu'il existe une matrice GPMnpCqtelle que |detpGq| “1etGAeee₁“αeee₁ avec α‰0 eteee₁ premier vecteur de la base canonique deCⁿ.

Q. 2 1. Montrer par récurrence sur l'ordre des matrices que pour toute matrice An P MnpCq inversible, il existe une matrice Sn P MnpCq telle que |detSn| “ 1 et SnAn “Un avec Un

matrice triangulaire supérieure inversible.

2. SoitbbbPCⁿ.En supposant connue la décompostion précédente S_nA_n “U_n, expliquer comment résoudre le systèmeA_nxxx“bbb.

Q. 3 Que peut-on dire si A est non inversible?

Indication : utiliser les résultats des exercices 3.1.3 et 3.1.4.

2

Correction Exercice 3.1.5

3

Q. 1 D'après le Lemme 3.3, siA_1,1‰0le résultat est immédiat. Dans l'énoncé rien ne vient corroborer

4

cette hypothèse. Toutefois, comme la matriceA est inversible, il existe au moins un pP v1, nw tel que

5

Ap,1 ‰ 0. On peut même choisir le premier indice p tel que |Ap,1| “ max_iPv1,nw|Ap,1| ą 0 (pivot de

6

l'algorithme de Gauss-Jordan). On note P “ P^r1,psn la matrice de permutation des lignes 1 et p (voir

7

exercice 3.1.4, page 69). De plus on a

8

|detP| “1 et P^-1“P.

Par constructionpPAq1,1 “ Ap,1 ‰0, et on peut alors appliquer le Lemme 3.3 à la matrice pPAq pour

9

Remarque 3.5 La matriceGétant inversible, on a

12

Axxx“bbb ðñGAxxx“Gbbb

ce qui correspond à la première permutation/élimination de l'algorithme de Gauss-Jordan.

13

Q. 2 1. On veut démontrer par récurrence la propriétépP_nq,

14

pPnq

"

@AnPMnpCq, inversibleDSn PMnpCq, |detSn| “1, tel que la matriceUn“SnAsoit une triangulaire supérieure inversible

Initialisation : Pour n “ 2. SoitA2 P M2pCq inversible. En utilisant la question précédente il

15

et elle est triangulaire supérieure. Les matricesG2etA2 étant inversible, leur produitU2l'est

18

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU 73

oùccc_n´1PC^n´1 etB_n´1 PM_n´1pCq. CommeG_n etA_n sont inversibles,V_n l'est aussi. On en ² déduit donc queBn´1 est inversible car0‰detVn“αnˆdetBn´1et αn ‰0. 3

On peut donc utiliser la propriétépPn´1q(hyp. de récurrence) sur la matriceBn´1 : il existe ⁴ donc Sn´1 P Mn´1pCq, avec |detSn´1| “ 1, tel que la matrice Un´1 “Sn´1Bn´1 soit une ⁵

triangulaire supérieure inversible. ⁶

SoitQnPMnpCqla matrice dénie par ⁷

La matriceUn est triangulaire supérieure inversible carUn´1 l'est aussi etαn ‰0. 8

On pose Sn “ QnGn. On a donc SnAn “ Un et comme |detSn| “ 1 car |detGn| “ 1 et ⁹

detG_n “1,ceci prouve la véracité de la proposition pPnq. 10

2. CommeS_n est inversible, on a en multipliant à gauche le système par S_n 11

A_nxxx“bbb ðñ S_nA_nxxx“S_nbbb ðñ U_nxxx“S_nbbb

Pour déterminer le vecteurxxx,on peut alors résoudre le dernier système par l'algorithme de remontée. ¹² Q. 3 (rapide) SiAest non inversible, alors dans la première question nous ne sommes pas assurés d'avoir ¹³

α‰0.Cependant l'existence de la matriceGreste avérée. ¹⁴

Pour la deuxième question, le seule changement vient du fait que la matrice Un n'est plus inversible. ¹⁵

˛ 16

On a donc démontré le théorème suivant ¹⁷

Théorème 3.6

SoitAune matrice carrée, inversible ou non. Il existe (au moins) une matrice inversible Gtelle que

GAsoit triangulaire supérieure. 18

Proof. voir Exercice 3.1.5, page 72. ¹⁹

3.1.4 Factorisation LU

20

Avant de citer le théorème principal, on va faire un "petit" exercice... ²¹ Exercice 3.1.6:

1

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU

SoitAPM_npCqune matrice dont les sous-matrices principales d'ordrei,notées∆_i, iP v1, nw(voir Denition B.39, page 189) sont inversibles.

Montrer qu'il existe des matrices E^rks PMnpCq, kP v1, n´1w,triangulaires inférieures à diagonale unité telles que la matriceUdénie par

U“E^rn´1s¨ ¨ ¨E^r1sA s'écrit sous la forme bloc

6

le premier vecteur de la base canonique deCⁿ.On a alors

10

triangulaires inférieures à diagonale unité telles que

13

A^rks“E^rks¨ ¨ ¨E^r1sA.

‚ On va montrer queαk`1<sup>def</sup>“A<sup>rks</sup><sub>k`1,k`1</sub>‰0.Pour celà, on réécrit la matriceA^rkssous forme bloc,

14

avec comme premier bloc diagonale le bloc de dimensionk`1 :

15

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU 75

La matrice G^{rks def}“ E^rks¨ ¨ ¨E^r1s est triangulaire inférieure à diagonale unité car produit de ² matrices triangulaires inférieures à diagonale unité (voir ...). Le produit de G^rksAs'écrit alors ³

sous forme bloc ⁴

G

CommeA^rks“G^rksA,en utilisant les règles de multiplication par blocs des matrices on obtient ⁶

¨

En prenant le déterminant de cette dernière équation, et en utilisant le fait que le determinant ⁷ d'une matrice triangulaire est le produit de ses coecients diagonaux, on obtient ⁸

k`1

• Montrons l'existence d'une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité permettant d'éliminer ¹¹

les termes sous diagonaux de la colonnek`1deA^rks. 12

Revenons à l'écriture bloc de premier bloc diagonal de dimension k.On a ¹³

A^rks“

Nous sommes exactement dans le cas de gure étudié dans l'exercice 3.1.3. En eet, avec les ¹⁴ notations de cet exercice et si l'on posevvv “V^rks_:,1 “ pA^rks_k`1,k`1, . . . , A^rks<sub>n,k`1</sub>q<sup>t</sup>P C<sup>n´pk`1q</sup> on a ¹⁵ alors v1“A^rks_k`1,k`1 “αk`1‰0et l'on peut dénir la matrice E<sup>rk`1s</sup> PMnpCq, triangulaire ¹⁶ inférieure à diagonale unité, par

1

E^rk`1s“E^rk,vvvsdef“

ˆ Ik O O E^rvvvs

˙

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU

avec E^rvvvs P Mn´kpCqtriangulaire inférieure à diagonale unité (dénie dans l'exercice 3.1.3)

2

où pour toutkP v1, n´1wles matricesE^rks sont triangulaires inférieures à diagonale unité.

6

Pour achever l'exercice, il reste à démontrer que

7

Un,n “det ∆n{pU1,1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆUn´1,n´1q.

En eet, en prenant le déterminant dans (3.13) on obtient

8

Comme le déterminant d'un produit de matrices est égale au produit des déterminants des matrices on a det´

E^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆE^r1sˆA¯

“detE^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆdetE^r1sˆdetA

“detA

car les matricesE^rks sont triangulaires inférieures à diagonale unité et doncdetE^rks“1,@kP v1, n´1w.

9

De plus, le déterminant d'une matrice traingulaire supérieure est égale au produit de ses coecients

10

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU 77

Théorème 3.7: Factorisation LU

SoitA PMnpCqune matrice dont les sous-matrices principales sont inversibles alors il existe une unique matrice L PMnpCq triangulaire inférieure (lower triangular en anglais) à diagonale unité et une unique matrice UPMnpCq triangulaire supérieure (upper triangular en anglais) inversible telles ques

A“LU.

2

Proof. En utilisant le résultat de l'exercice 3.1.6, il existe des matrices E^rks P MnpCq, k P v1, n´1w, 3

triangulaires inférieures à diagonale unité telles que la matriceUdénie par ⁴ U“E^rn´1s¨ ¨ ¨E^r1sA

soit triangulaire supérieure avecU_i,i ‰0,@iP v1, nw.On poseG“E^rn´1s¨ ¨ ¨E^r1s.La matriceGest donc 5

aussi triangulaire inférieure à diagonale unité. Elle est donc inversible est son inverse est triangulaire ⁶ inférieure à diagonale unité (voir Proposition B.37, page 188). En notantL“G^-1 on aA“LU. 7

On vient de démontrer l'existence d'une factorisation LUde la matriceA. Pour démontrer l'unicité, ⁸

on va supposer qu'il existe deux factorisationsLUdeAi.e. ⁹

A“L1U1“L2U2.

avecL1,L2matrices triangulaires inférieures à diagonale unité etU1,U2matrices triangulaires supérieures ¹⁰ (inversibles). En multipliant l'équationL₁U₁“L₂U₂ à gauche parL^-1₁ et à droite parU^-1₂ on obtient ¹¹

U₁U^-1₂ “L^-1₁ L₂. (3.14)

La matrice L^-1₁ L2 est triangulaire inférieure à diagonale unité car prduit de deux matrices triangulaires ¹² inférieures à diagonale unité. Elle est égale à la matriceU1U^-1₂ qui elle est triangulaire supérieure (car ¹³ prduit de deux matrices triangulaires supérieures). Donc L^-1₁L2 est à la fois une matrice triangulaire ¹⁴ supérieure et inférieure : elle est donc diagonale. Comme elle est à diagonale unité on en déduit que ¹⁵ L^-1₁ L2“Iet doncL1“L2. De l'équation (3.14), on tire alorsU1“U2. 16

Exercice 3.1.7

Montrer que si A inversible admet une factorisation LUalors toutes ses sous-matrices principales

sont inversibles. ¹⁷

Remarque 3.8 Si la matrice A P MnpCq est inversible et si ses sous-matrices principales ne sont pas ¹⁸ toutes inversibles, il est possible par des permutations préalables de lignes de la matrice de se ramener à ¹⁹ une matrice telle que ses sous-matrices principales soient inversibles. ²⁰

Théorème 3.9: Factorisation LU avec permutations

SoitAPMnpCqune matrice inversible. Il existe une matrice P,produit de matrices de permuta-tion, une matrice LPMnpCq triangulaire inférieure à diagonale unité et une matriceUPMnpCq triangulaire supérieure telles ques

PA“LU. (3.15) ₂₁

Corollaire 3.10:

SiAPMnpCqest une matrice hermitienne dénie positive alors elle admet une unique factorisation

LU. 22

Proof. (indication) Si la matriceAest hermitienne dénie positive alors toutes ses sous-matrices princi- ²³ pales sont dénies positives et donc inversibles.

1

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU

Résolution d'un système linéaire par factorisationLU

2

SoitAP MnpKqune matrice dont les sous-matrices principales sont inversibles etbbbP Kⁿ. On veut

ré-3

soudre le système linéaireAxxx“bbb.Pour celà, grâce au théorème 3.7, on obtient :

4

Ceci permet donc de découper le problème initial en trois sous-problèmes plus simples. De plus,

10

ceux-ci peuvent se traiter de manière indépendante. On obtient alors l'algorithme suivant

11

Algorithme 3.9 Fonction RSLFactLU permettant de résoudre, par une factorisation LU, le système linéaire

Axxx“bbb oùAune matrice de MnpRqdénie positive etbbbPRⁿ.

Données : A : matrice deMnpRqdont les sous-matrices principales sont inversibles dénie positive, bbb : vecteur deRⁿ.

Résultat : xxx : vecteur deRⁿ.

1: FonctionxxxÐ RSLFactLU (A, bbb)

2: rL,Us Ð_FactLUpAq ŹFactorisationLU

3: yyyÐRSLTriInfpL, bbbq ŹRésolution du systèmeLyyy“bbb

4: xxxÐRSLTriSuppU, yyyq ŹRésolution du systèmeUxxx“yyy

5: Fin Fonction

Il nous faut donc écrire la fonction FactLU (les deux fonctions RSLTriInf et RSLTriSup ayant

12

déjà été écrites).

13

Détermination des matrices L etU

14

SoitAPM_npKqune matrice dont les sous-matrices principales sont inversibles. D'après le théorème 3.7,

15

il existe une unique matriceLPM_npKq triangulaire inférieure avec L_i,i“1, @iP v1, nw, et une unique

16

matriceLPM_npKqtriangulaire supérieure telles que

17

Pour déterminer les matricesLetU,on remarque que la 1ère ligne deLest déjà déterminée. On peut ¹

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU 79

alors l'utiliser pour calculer la première ligne deU:@j P v1, nw 2

A1,j “

n

ÿ

k“1

L1,kUk,j

“ L1,1U1,j carLtriangulaire inférieure

“ U_1,j

On a donc ³

U1,j “A1,j, @jP v1, nw. (3.21)

La première colonne deUest aussi déterminée, on peut alors l'utiliser pour calculer la première colonne ⁴

deL:@iP v2, nw 5

“ Li,1U1,1 carUtriangulaire supérieure

On peut démontrer, de part les hypothèses sur la matriceA,queU_1,1‰0et alors 6

L1,j “Ai,j{U1,1, @iP v2, nw. (3.22) La première ligne de Uet la première colonne deLsont donc déterminées par les formules (3.21) et ⁷

(3.22). 8

Par récurrence, on suppose connues lesi´1premières lignes deUet lesi´1premières colonnes de 9

L.On va montrer que l'on peux expliciter lai-ème ligne deUet lai-ème colonne deL. 10

Dans l'expression ři´1

k“1L_i,kU_k,j tous les termes sont connus (hypothèse de récurrence) et L_i,i “1.On ¹²

en déduit, ¹³

Lj,kUk,i tous les termes sont connus (hypothèse de récurrence). De plus Ui,i est ¹⁵ donné par (3.23) et on peut démontrer, de part les hypothèses sur la matriceA,queU_i,i‰0.On a alors

1

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU

On écrit en détail les ranements successifs permettant d'aboutir à l'algorithme nal de telle sorte

2

que le passage entre deux ranements successifs soit le plus compréhensible possible.

3 4

Algorithme3.10 R₀

1: CalulerlesmatriesL^etU

Algorithme3.10 R₁

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme3.10 R₁

1: PouriÐ1^àn^faire

2: CalulerlaligneideU.

3: CalulerlaolonneideL.

4: FinPour

Algorithme 3.10 R₂

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme3.10 R₂

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme3.10 R₃

1: PouriÐ1^àn^faire

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU 81

Algorithme3.10 R₃

1: PouriÐ1^àn^faire

2: PourjÐ1^ài´1^faire

3: Upi, jq Ð0

4: FinPour

5: PourjÐi^àn^faire

6: S1Ð

i´1

ÿ

k“1

Li,kUk,j

7: Ui,jÐAi,j´S1

8: FinPour

9: PourjÐ1^ài´1^faire

10: Lj,iÐ0

11: FinPour

12: Li,iÐ1

13: PourjÐi`1^àn^faire

14: S2Ð

i´1

ÿ

k“1

L_j,kU_k,i

15: Lj,iÐ 1 Ui,i

pAj,i´S2q.

16: FinPour

17: FinPour

Algorithme3.10 R₄

1: PouriÐ1^àn^faire

2: PourjÐ1^ài´1^faire

3: Upi, jq Ð0

4: FinPour

5: PourjÐi^àn^faire

6: S1Ð0

7: PourkÐ1^ài´1^faire

8: S1ÐS1`L_i,k˚U_k,j

9: FinPour

10: U_i,jÐA_i,j´S1

11: FinPour

12: PourjÐ1^ài´1^faire

13: L_j,iÐ0

14: FinPour

15: Li,iÐ1

16: PourjÐi`1^àn^faire

17: S2Ð0

18: PourkÐ1^ài´1^faire

19: S2ÐS2`Lj,k˚Uk,i

20: FinPour

21: Lj,iÐ 1 Ui,i

pAj,i´S2q.

22: FinPour

23: FinPour

2 3

L'algorithme peut être amélioré, pour gagner en lisibilité... En eet, il est possible d'initialiser la 4

matriceUpar la matrice nulle et la matrice Lpar la matrice identitée, ce qui permet alors de supprimer ⁵ les boucles Upi, jq Ð0 et Lpj, iq Ð0 ainsi que la commandeLpi, iq Ð1. On obtient alors l'algorithme ⁶ nal

1

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.4FactorisationLU

Algorithme 3.10 FonctionFactLU permet de calculer les matricesLetUdites matrice de factorisation LUassociée à la matrice A,telle que

A“LU

Données : A : matrice deMnpKqdont les sous-matrices principales sont inversibles.

Résultat : L : matrice deMnpKqtriangulaire inférieure avecLi,i“1, @iP v1, nw

U : matrice deMnpKqtriangulaire supérieure.

1: FonctionrL,Us ÐFactLU(A)

Remarque 3.11 Pour optimiser en mémoire cette fonction, il possible de stocker les matricesLetUdans

2

une même matrice deMnpRq...

3

Pour faciliter la lecture d'un tel algorithme, il aurait pu être judiscieux d'utiliser deux fonctions

4

intermédiaires FactLUligU et FactLUcolL qui à l'étapeide l'algorithme calculent respectivement

5

la ligneideUet la colonneideL.

6

7

Algorithme 3.11 FonctionFactLUligUpermet de calculer la ligne ideUà partir de (3.23)

Données : A : matrice deMnpKqdont les

sous-matrices principales sont inversibles.

L : matrice deMnpKqdont lesi´1 premières colonnes ont été calculées U : matrice deM_npKqdont lesi´1

premières lignes ont été calculées Résultat : U : matrice deM_npKqdont lesi

premières lignes ont été calculées 1:FonctionUÐFactLUligU(A,L,U, i)

Algorithme 3.12 FonctionFactLUcolL permet de calculer la colonneideLà partir de (3.24)

Données : A : matrice deMnpKqdont les

sous-matrices principales sont inversibles.

L : matrice deMnpKqdont lesi´1 premières colonnes ont été calculées U : matrice deM_npKqdont lesi

premières lignes ont été calculées Résultat : L : matrice deM_npKqdont lesi

premières colonnes ont été calculées 1: FonctionLÐFactLUcolL(A,L,U, i)

Méthodes directes

3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.5FactorisationLDL˚

83

Algorithme 3.13 FonctionFactLU permet de calculer les matricesL etUdites matrice de factorisationLUassociée à la matriceA,telle que

A“LU

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