Intégration numérique
5.1 Méthodes de quadrature élémentaires
5.1.4 Formules élémentaires de Newton-Cotes
żb
a
fpxqdx´ żb
a
Lnpfqpxqdx| ď
›
›
›fpn`1q
›
›
›8
pn`1q!
żb a
|
n
ź
i“0
px´xiq|dx.
2
Dans la proposition précédente, le choix des points reste libre. Pour expliciter les poidswi, donnés
3
par (5.6), on peut choisir commepn`1qpoints d'interpolations les points de la discrétisation régulière
4
de l'intervallera, bsennintervalles. Ceci est l'objet des Méthodes de Newton-Cotes.
5
Bien d'autres méthodes peuvent être obtenues (avec d'autres points), certaines permettant le calcul
6
d'intégrales avec poids de la formeşb
awpxqfpxqdx:
7
‚ méthode de Newton-Cotes ouvertes,
8
‚ méthode de Gauss-Legendre,
9
‚ méthode de Gauss-Jacobi,
10
‚ méthode de Gauss-Tchebychev,
11
‚ méthode de Gauss-Laguerre,
12
‚ méthode de Gauss-Hermitte,
13
‚ méthode de Gauss-Lobatto,
14
‚ méthode de Romberg...
15
5.1.4 Formules élémentaires de Newton-Cotes
16
SoitpxiqiPv0,nw une discrétisation régulière de l'intervallera, bs: xi “a`ihavech“ pb´aq{n.
17
Proposition 5.7 1
Méthodes de quadrature élémentaires
5.Intégrationnumérique 5.1.Méthodesdequadratureélémentaires5.1.4FormulesélémentairesdeNewton-Cotes 159
Soient f PC0pra, bs;Rq et pxiqiPv0,nw une discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs: xi “a`ih avech“ pb´aq{n.
Les formules de quadrature élémentaires de Newton-Cotes s'écrivent sous la forme żb
a
fpxqdx« pb´aq
n
ÿ
i“0
wifpxiq
n ordre wi (poids) nom
1 1 12 12 trapèze
2 3 16 23 16 Simpson
3 3 18 38 38 18 Newton
4 5 907 1645 152 1645 907 Villarceau
5 5 28819 2596 14425 14425 2596 28819 ?
6 7 84041 359 2809 10534 2809 359 84041 Weddle
7 7 17280751 172803577 64049 172802989 172802989 64049 172803577 17280751 ? 8 9 28350989 141752944 ´14175464 141755248 ´2835454 141755248 ´14175464 141752944 28350989 ?
Table 5.1: Méthodes de Newton-Cotes 2
Par exemple, la formule de Simpson (n“2) est 3
żb a
fpxqdx«b´a 6
ˆ
fpaq `4fpa`b
2 q `fpbq
˙
(5.8) Pour unndonné, déterminer les coecientswi de la formule de Newton-Cotes est assez simple. 4 Démonstration 1: En eet, il sut de remarquer que la formule doit être exacte sif est un polynôme 5 de degré au plus n. Ensuite par linéarité de la formule, on est ramené à résoudre une système 6 linéaire àn`1 inconnues (lespwiqiPv0,nw) en écrivant que pour chaque monôme 7
pb´aq
n
ÿ
i“0
wifpxiq “ żb
a
fpxqdx, @f P t1, X, X2, . . . , Xnu ĂRnrXs. (5.9) Par exemple, pour n“2,on ab“a`2h.A partir de (5.9) on obtient les trois équations : 8
$
’&
’%
w0`w1`w2 “ 1, pfpxq “1q
aw0` pa`hqw1` pa`2hqw2 “ b´a1 şb
axdx“a`h, pfpxq “xq a2w0` pa`hq2w1` pa`2hq2w2 “ b´a1 şb
ax2dx“13p3a2`6ah`4h2q, pfpxq “x2q.
On a alors
$
&
%
w0“ ´w1´w2`1,
ap´w1´w2`1q ` pa`hqw1` pa`2hqw2“a`h,
a2p´w1´w2`1q ` pa`hq2w1` pa`2hq2w2“a2`2ah`43h2.
c'est à dire $
&
%
w0“ ´w1´w2`1, w1`2w2“1,
2apw1`2w2q `hpw1`4w2q “2a`4h{3, Par substitution, de la deuxième équation dans la troisième, on obtient enn
$
&
%
w0“ ´w1´w2`1, w1`2w2“1, w1`4w2“4{3, ce qui donnew0“w2“16 et w1“ 23.
1
5.Intégrationnumérique 5.1.Méthodesdequadratureélémentaires5.1.4FormulesélémentairesdeNewton-Cotes
Démonstration 2: En utilisant la Proposition 5.6, on a
2
Par exemple, pourn“2, on peut calculerpwiqiPv0,2w
6
Remarque 5.8 Pour les méthode de Newton-Cotes, il ne faut pas trop "monter" en ordre car le phénomène
9
de Runge (forte oscillation possible du polynôme d'interpolation sur les bords de l'intervalle) peut conduire
10
à de très grande erreurs. Au delà den“7,des poids négatifs apparaissent dans les formules et les rendent
11
beaucoup plus sensibles aux erreurs d'arrondis.
12
Sur un exemple très simple, il est possible d'illustrer ce phénomène. Soitfpxq “3x`2.On a démontré
13
que toutes les formules de Newton-Cotes àn`1points,ně1,sont exactes pour le calcul deşb
afpxqdxcar
14
f est un polynôme de degré1.De plus les poidspwiqiPv0,nw peuvent être calculés sous forme fractionnaire
15
: il est immédiat à partir de la formule (5.6) quewiPQ.
16
En choissant, par exemple,a“0 etb “1 lesn`1 pointsxi de la formule de Newton-Cotes sont aussi
17
des nombres rationnels. La fonction f étant polynomiale, on obtient fpxiq P Q. On en déduit que la
18
formule de Newton-Cotes àn`1points donne dans ce cas un résultat (exacte) sous forme fractionnaire.
19
Numériquement, les poidswi PQet les pointsxiPQvont être approchés en commetant de très petites
20
erreurs. Sous Sage, logiciel gratuit de calcul formel (entre autres), on peut programmer à la fois le calcul
21
des méthodes de Newton-Cotes exactes (en restant dans le corpsQ) et le calcul "approché" correspondant
22
aux méthodes de Newton-Cotes approchées (i.e. les wi et les xi sont approchés avant le calcul de la
23
somme). On représente en Figure 5.5 les erreurs obtenues en fonction denpar ces deux approches. Ces
24
courbes en échelle logarithmique ont été obtenues en ajoutant aux erreurs le nombre1e´16(pour éviter
25
de prendre le log de zéro). 1
Méthodes de quadrature élémentaires
5.Intégrationnumérique 5.1.Méthodesdequadratureélémentaires5.1.5Méthodesdequadraturecomposées 161
0 10 20 30 40 50 60 n
10-16 10-15 10-14 10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4
error
Numerical Newton-Cotes Analytical Newton-Cotes
Figure 5.5: Instabilité des méthodes de Newton-Cotes élémentaires
Pour pallier ce problème, on étudie maintenant les méthodes de quadrature composées. 2
5.1.5 Méthodes de quadrature composées
3Soit f une fonction dénie et intégrable sur un intervalle rα, βs donné. On propose de chercher une approximation de
I“ żβ
α
fpxqdx.
Ces méthodes consistent en l'utilisation de la relation de Chasles pour décomposer l'intégrale en 4 une somme d'intégrales sur des domaines plus petits puis à approcher ces dernières par une formule de 5
quadrature élémentaire àn`1points. 6
Denition 5.9
SoitpαiqiPv0,kw une subdivison de l'intervallerα, βs:
α“α0ăα1ă ¨ ¨ ¨ ăαk “β.
On a alors
żβ α
fpxqdx“
k
ÿ
i“1
żαi αi´1
fpxqdx. (5.10)
SoitQnpg, a, bqla formule de quadrature élémentaire àn`1 points d'ordrepdonnée par Qnpg, a, bqdef“ pb´aq
n
ÿ
j“0
wjgpxjq « żb
a
gpxqdx.
La méthode de quadrature composée associée à Qn, notéeQcompk,n ,est donnée par
Qcompk,n pf, α, βq “
k
ÿ
i“1
Qnpf, αi´1, αiq « żβ
α
fpxqdx (5.11)
7
La proposition suivante est immédiate 8
Proposition 5.10
1
5.Intégrationnumérique 5.1.Méthodesdequadratureélémentaires5.1.5Méthodesdequadraturecomposées
SoitQnune formule de quadrature élémentaire àn`1points. SiQn est d'ordrepalors la méthode de quadrature composée associée est aussi d'ordrep: elle est exacte pour tout polynôme de degré
2 p.
Pour les trois formules composites qui suivent on choisit une discrétisation régulière. SoitpαiqiPv0,kw
3
une discrétisation régulière de l'intervallerα;βs: αi“α`ihavech“ pβ´αq{kle pas de la discrétisation.
4
Formule composite des points milieux
5
La formule élémentaire des points milieux est donnée par
6
On illustre graphiquement l'approximation d'une intégrale par cette formule en Figure 5.6.
8
Figure 5.6: Formule composite des points milieux : şβ
αfpxqdx«h
k
ÿ
j“1
fpmjq(aire de la surface colorée)
Formule composite des trapèzes
9
La formule élémentaire des points trapèzes est donnée par
10
Q1pg, a, bqdef“ b´a
2 pgpaq `gpbqq
On obtient alors 1
żb
Méthodes de quadrature élémentaires
5.Intégrationnumérique 5.1.Méthodesdequadratureélémentaires5.1.5Méthodesdequadraturecomposées 163
C'est une formule d'ordre 2 par rapport àh. 2
On illustre graphiquement l'approximation d'une intégrale par cette formule en Figure 5.7. 3
f(α9) α0 f(α0)
α1 f(α1)
α2
f(α2) α3
f(α3)
α4 f(α4)
α5 f(α5)
α6 f(α6)
α7 f(α7)
α8
f(α8)
y=f(x)
Figure 5.7: Formule composite des trapèzes : şβ
αfpxqdx« h 2
˜
fpα0q `2
k´1
ÿ
j“1
fpαjq `fpαkq
¸
(aire de la surface colorée)
Formule composite de Simpson 4
La formule élémentaire de Simpson est donnée par 5
Q2pg, a, bqdef“ b´a
6 pgpaq `4gpa`b
2 q `gpbqq
En notantmj “αj´12`αj le point milieu de l'intervallerαj´1, αjs,on obtient
1
żb a
fpxqdx
k
ÿ
j“1
żαj αj´1
fpxqdx «
k
ÿ
j“1
Q2pf, αj´1, αjq “ h 6
k
ÿ
j“1
pfpαj´1q `4fpmjq `fpαjqq
« h 6
˜ 4
k
ÿ
j“1
fpmjq `fpα0q `2
k´1
ÿ
j“1
fpαjq `fpαkq
¸
(5.14)
5.Intégrationnumérique 5.2.Erreursdesméthodesdequadraturecomposées5.2.0Méthodesdequadraturecomposées
Figure 5.8: Formule composite de Simpson : şβ
αfpxqdx« h
(aire de la surface colorée)