Méthode des développements asymptotiques





eαkβ(ε)(v) = ¹₂(vα,β +vβ,α)−Γ^k_αβ(ε)vk

eαk3(ε)(v) = ¹₂(¹_εvα,3+v3,α)−Γ^k_α3(ε)vk

e3k3(ε)(v) = ¹_εv3,3−Γ^k₃₃(ε)vk

(6.13)

Eα(ε)(ψ) =−ψ,α, E3(ε)(ψ) =−1

εψ,3, ∀ψ ∈H¹(Ω).

Par analogie avec les définitions(5.11)_7,8 du tenseur des contraintesσ^ij(ε)et du vecteur déplacement électriqueDⁱ(ε)du problème tridimensionnel non homogène, c’est-à-dire qui dépendent des inconnuesu(ε)etϕ(ε)par les relations

( σ^ij(ε) =C^ijkl(ε)ekkl(ε)(u(ε))−^pe^kij(ε)E_k(ε)(ϕ(ε)), Dⁱ(ε) =_p e^ikl(ε)ekkl(ε)(u(ε)) +d^ik(ε)E_k(ε)(ϕ(ε)),

on définit le tenseur des contraintes et le vecteur déplacement électrique relatifs au pro-blème homogène (c’est-à-dire aux inconnuesu(ε)etϕ(ε))¯ par

( σ¯^ij(ε) =C^ijkl(ε)ekkl(ε)(u(ε))−^pe^kij(ε)Ek(ε)( ¯ϕ(ε)),

D¯ⁱ(ε) =p e^ikl(ε)ekkl(ε)(u(ε)) +d^ik(ε)Ek(ε)( ¯ϕ(ε)), (6.14) et qui vérifient, puisque (cf.(5.26) )ϕ(ε) = ¯ϕ(ε) +ϕ(ε),b

( σ¯^ij(ε) =σ^ij(ε) +_pe^kij(ε)E_k(ε)(ϕ(ε))b

D¯ⁱ(ε) = Dⁱ(ε)−d^ik(ε)E_k(ε)(ϕ(ε)).b (6.15) Le problème (6.12) se réécrit avec (6.14) comme suit :





















Trouver (u(ε),ϕ(ε), G¯ ³(ε))∈K_M(Ω)×V_E0(Ω)×H⁻¹²(Ω) tel que: εR

Ω{σ¯^ij(ε)e_ikj(ε)(v) + ¯Dⁱ(ε)E_i(ε)(ψ)}p g(ε)dx

=εR

Ωfⁱ(ε)v_ip

g(ε)dx+R

Γ+hⁱ(ε)v_i|g₁(ε)×g₂(ε)|dΓ +εhG³(ε), v₃i +εR

Ω{pe^kij(ε)E_k(ε)(ϕ(ε))eb ikj(ε)(v)−d^ik(ε)E_k(ε)(ϕ(ε))Eb _i(ε)(ψ)}p

g(ε)dx,

∀(v, ψ)∈V_M(Ω)×V_E0(Ω), hG³(ε), v₃−u₃(ε)i ≥0∀v₃ ∈K(Ω)

(6.16)

6.2.2 Méthode des développements asymptotiques

On applique la méthode de développements asymptotiques pour les coques élastiques.

La solution (u(ε),ϕ(ε), G¯ _N(ε)) du problème (6.12)(ou (6.16))posé sur le domaine fixe Ω dépend du petit paramètre ε. On suppose donc que u(ε) et ϕ(ε)¯ admettent un dévelop-pement asymptotique formel en ε, et puisque le problème est linéire, on commence ce développement à l’ordre 0, i.e.

( u(ε) = u⁰+εu¹+ε²u²+...;

¯

ϕ(ε) = ¯ϕ⁰+εϕ¯¹+ε²ϕ¯²+...; (6.17)

les termes des développements (6.17) étant a priori cherchés dans les espaces V_M(Ω) et V_E0(Ω), i.e.u^s ∈V_M(Ω)etϕ¯^s∈V_E0(Ω)pour tout s≥0, ce qui impose en particulier que

¯

ϕ^s = 0sur Γ^E₀, ∀s≥0. (6.18)

Les différentes quantités intervenant dans le problème (tenseurs des coefficientsC^ijkl(ε)),

pe^kij(ε) et d^ik(ε), symboles de Christoffel Γ^k_ij(ε), ...) dépendent également de ε. Elles ad-mettent donc un développement au voisinage de x₃ = 0 (qui correspond à la surface

moyenne) : 





















g_α(ε) = a_α+εx₃(g_α)¹+ε²x²₃(g_α)²+...;

g(ε) =a+εx₃g¹+ε²x²₃g²+...;

Γ^k_ij((ε) = Γ^k_ij +εx₃Γ^k,1_ij +ε²x²₃Γ^k,2_ij +...;

C^ijkl(ε) = C^ijkl+εx₃C^ijkl,1+ε²x²₃C^ijkl,2+...;

pe^kij(ε) =_p e^kij +εx_3pe^kij,1+ε²x²_3pe^kij,2...;

d^ik(ε) =d^ik+εx₃d^ik,1+ε²x²₃d^ik,2+...;

(6.19)

Les termesa_α, a, Γ^k_ij sont des éléments de géométrie différentielle de la surface moyenne définis au paragraphe (1.2), et les coefficients C^ijkl, _pe^kij et d^ik sont respectivement les coefficients des tenseurs C^ijkl(ε), _pe^kij(ε) et d^ik(ε) écrits dans la base(a_i). D’après (6.19), on peut également écrire :







C^ijkl(ε)p

g(ε) =C^ijkl√

a+εC˜^ijkl,1+ε²C˜^ijkl,2+...,

pe^ikl(ε)p

g(ε) =_p e^ikl√

a+ε_p˜e^ijkl,1+ε²_pe˜^ijkl,2+...;

d^ik(ε)p

g(ε) = d^ik√

a+εd˜^ik,1+ε²d˜^ik,2+...;

(6.20)

En combinant les développements (6.17)et (6.19), on a les développements suivants des tenseurs des déformations et des vecteurs champs électriques (6.13) :

-pour les inconnues :

( eikj(ε)(u(ε)) = ¹_εe⁻¹_ikj(u) +e⁰_ikj(u) +εe¹_ikj(u) +ε²e²_ikj(u) +...;

E_i(ε)( ¯ϕ(ε)) = ¹_εE_i⁻¹( ¯ϕ) +E_i⁰( ¯ϕ) +εE_i¹( ¯ϕ) +ε²E_i²( ¯ϕ) +...; (6.21) -pour les fonctions tests :

( eikj(ε)(v) = ¹_εe⁻¹_ikj(v) +e⁰_ikj(v) +εe¹_ikj(v) +ε²e²_ikj(v) +...;

E_i(ε)(ψ) = ¹_εE_i⁻¹(ψ) +E_i⁰(ψ) +εE_i¹(ψ) +ε²E_i²(ψ) +...; (6.22)

avec : 

Les inconnues u(ε) et ϕ(ε)¯ et les fonctions tests v et ψ n’ont pas le même rôle puisqu’on ne considère qu’un développement asymptotique des premières. C’est pourquoi les termes des dé-veloppements des tenseurs des déformations et des vecteurs champs électriques (6.21)et (6.22) sont différents pour chacune.

Avec les expressions (6.14) du tenseur des contraintes et du vecteur déplacement élec-trique du problème homogène, et avec les développement (6.20) et (6.21), on a

¯

σ^ij(ε)p

g(ε) = ¹_εσ¯^ij,−1+ ¯σ^ij,0+ε¯σ^ij,1+ε²σ¯^ij,2...;

D¯ⁱ(ε)p

g(ε) = ¹_εD¯^i,−1+ ¯D^i,0+εD¯^i,1+ε²D¯^i,2+...; (6.28)

avec, pour touts≥ −1 On prend pour les forces mécaniques appliquées f(ε) et h(ε) ainsi que pour le champ électrique imposéE(ε)(ϕ(ε))b et G(ε), des ordres de grandeur en˙ ε arbitraires, c’est-à-dire que l’on pose : (qui sont des entiers relatifs) sont des ordres de grandeur que l’on déterminera plus tard.

Remarque 8

Les composantes du champ électrique n’interviennent pas toutes au même ordre (cf.(6.13)).

C’est pourquoi dans (6.30) on a considéré une décomposition du champ électriqueE(ε)(ϕ(ε))b plutôt que deϕ(ε). On rappelle queb ϕ(ε)b est la fonction de relèvement du potentiel électrique.

Elle peut -être construite soit affine, soit constante enx₃en fonction des conditions aux limites.

Ce qui implique que

E^c(ϕ)b est indépendant de x₃, et, en particulier, (

E_α^c(ϕ) = 0b si ϕ(ε)b est affine enx₃, E₃^c(ϕ) = 0b si ϕ(ε)b est constante enx₃.

De plus, dansΩ₁, elle est nécessairement affine puisque le potentiel est appliqué sur ω₁× {±1}, et donc

E_α^s(ϕ) = 0b ∀s≥c dansΩ₁.

On remplace, dans le problème (6.16) posé sur le domaine fixe Ω, σ¯^ij(ε)et D¯ⁱ(ε) par leurs expressions (6.28), lese_ikj(ε)(v) et E_i(ε)(ψ) par (6.22) et les seconds membres par (6.30). On obtient ainsi la formulation variationnelle suivante :



ε (

ε^dhG^3,d,(v₃−u⁰₃)√

ai+X

s>d

ε^shG˜˙^k_N,v˙_N −u˙⁰_Ni )

≥0∀v₃ ∈K_M(Ω) (6.32) la méthode des développements asymptotiques consiste à identifier les coefficients des mêmes puissances de ε dans (6.31), en cherchant les ordres de grandeur des seconds membres (c’est -à-dire a, b , c et d dans (6.30)) jusqu’à ce que l’on obtienne un problème bidimensionnel dont les premiers termesu⁰,ϕ¯⁰etG˙⁰_N des développements (6.17) et (6.30) de u(ε) , ϕ(ε)¯ et G(ε)˙ soient solutions, sans avoir de restrictions (c’est-à-dire de relations de compatibilités) sur les chargements mécaniques et électriques appliqués.

Remarque 9

-Le problème est linéaire. C’est ce qui nous permet de partir de l’ordre 0 pour les développements deu(ε)etϕ(ε), et de déterminer les ordres de grandeur des seconds membres qui conviennent¯ à ces développements, c’est-à-dire a, b , c et d ;

-Puisque le membre de gauche du problème (6.31) commence à l’ordre -1, on a nécessaire-menta≥ −2,b≥ −1, etc≥ −1,d≥ −2dans (6.30).

On énonce deux lemmes qui serviront dans les développements ultérieurs.

Lemme 6.1

Soitwune fonction deL²(Ω)(avecΩ = ω×]−1,+1[) tel que : Z

Ω

w∂₃vdx= 0,∀v ∈C^∞( ¯Ω), v = 0sur ∂ω×[−1,1].

Alorsw= 0 .

Remarque 10

On appliquera le lemme (6.1) en utilisant le fait que ;

{v ∈C^∞( ¯Ω), v = 0 sur ∂ω×[−1,+1])} ⊂V_M(Ω) ={v ∈H¹(Ω), v = 0 sur Γ^M₀ }.

Lemme 6.2

1. Soitwune fonction deL²(Ω₁)(avecΩ₁ =ω₁×]−1,+1[) tel que : R

Ω1w∂₃vdx= 0,∀v ∈C^∞( ¯Ω₁), v= 0 sur ∂ω₁×[−1,+1]∪ω₁× {±1}. Alorswest indépendante dex₃ dans Ω₁.

2. Soitwune fonction deL²(Ω₂)(avecΩ₂ =ω₂×]−1,+1[)tel que : R

Ω2w∂₃vdx= 0,∀v ∈C^∞( ¯Ω₂), v= 0 sur ∂ω₂×[−1,+1]∪ω₂× {+1}. Alorsw= 0dans Ω₂.

3. Soitwune fonction deL²(Ω₃)(avecΩ₃ =ω₃×]−1,+1[)tel que : R

Ω3w∂₃vdx= 0,∀v ∈C^∞( ¯Ω₃), v= 0 sur ∂ω₃×[−1,+1]∪ω₃× {−1}.

Preuve

Pour plus de détails voir [29, Lemme (3.1.2)]

Remarque 11

On rappelle queΩ = Ω₀∪Ω₁∪Ω₂∪Ω₃, avec Ω_i =ω_i×]−1,+1[

pour i=0,...3, et que toute fonctionψ dans V_E0 vérifie :

ψ = 0sur γ₀^E ×[−1,+1]∪ω₁× {±1} ∪ω₂× {+1} ∪ω₃× {−1}. On appliquera le lemme (6.2) en utilisant le fait queR

Ωw∂₃ψ = 0, ∀ψ ∈V_E0(Ω), implique

On utilise la notation tensorielle suivante qui à toute paire d’indices ou d’exposants pouvant être interchangés associe un entier selon le schéma suivant :

11→1; 22→2; 33→3; 23→4; 31→5; 12→6. On pose

 La matriceAest celle de loi de comportement des matériaux piézoélectriques qui relie le tenseur des contraintes σ et le vecteur déplacement électrique D avec le tenseur des déformations ε et le vecteur champ électrique E, où on a réordonné les composantes pour séparer celles dans le plan des autres. Elle exprime que

 résultats de la proposition (6.1) découlent donc directement des propriétés d’ellipticité et de symétrie (5.8)-(5.10) de ces tenseurs.

Analyse asymptotique

Pour chacun des problèmes bidimensionnels obtenus par la méthode des développe-ments asymptotiques, on montre que la moyenne dans l’épaisseur de la solution du pro-blème tridimensionnel converge vers leurs solutions dans des espaces fonctionnels appro-priés. On énonce dans le lemme suivant quelque résultats nécessaires pour la suite.

Lemme 6.3

1. Soitv ∈L²(Ω),Ω = ω×]−1,+1[. On définit sa moyenne dans l’épaisseur, que l’on notev, pour presque tout y dans ωpar

v(y) = 1 2

Z +1

−1

v(y, x₃)dx₃. (6.33)

La fonctionv est bien définie pour presque touty ∈ωet v ∈L²(ω) et kvk^0,ω ≤ 1

2kvk^0,Ω. (6.34)

2. Il existe une constante C > 0 telle que :

kg(ε)−ak^0,∞,Ω^¯ ≤C₁ε. (6.35) 3. Il existe des constantesg₀ et g₁ tells que :

.

On énonce maintenant quelques propriétés des tenseursC^ijkl(ε), _pe^kij(ε) et d^ik(ε).

Lemme 6.4

1. PropriétésL^∞( ¯Ω).

Il existe des constantes C > 0 telles que :

kC^ijkl(ε)−C^ijkl(0)k0,∞,Ω¯ ≤Cε;

kpe^ikl(ε)−pe^ikl(0)k0,∞,Ω¯ ≤Cε;

kd^ij(ε)−d^ij(0)k0,∞,Ω¯ ≤Cε.

(6.37)

2. Propriétés d’uniforme ellipticité.

Il existe des constantes C>0 telles que, pour tout ε∈]0, ε₀]; C^ijkl(ε)t_klt_ij ≥Ct_ijt_ij, ∀t_ij =t_ji ∈R;

d^ij(ε)t_it_j ≥Ct_it_j, ∀t_i ∈R. (6.38) .

Preuve

1. Les propriétés (6.37) viennent du fait que les tenseursC^ijkl(ε),pe^ikl(ε)etd^ij(ε)sont écrits dans la base covariante tridimensionnelle (g_i(ε)), et les tenseursC^ijkl(0), pe^ikl(0) etd^ij(0) sont écrits dans la base covariante(a_i)attachée à la surface moyenne. Or on a les relations suivantes :

g_α(ε) = a_α+εx₃∂_αa₃ =a_α+O(ε)et g₃(ε) = a₃.

2. Pour tout ε > 0, le tenseur C^ijkl(ε) est défini positif uniformément par rapport à x ∈ Ω,¯ i.e. il existe des constantesC(ε)>0tel que :

C^ijkl(ε)(x)t_klt_ij ≥C(ε)t_ijt_ij, ∀x∈Ω,¯ ∀t_ij =t_ji. De plus, il existe une constanteC₁ >0telle que :

C^ijkl(0)(x)t_klt_ij ≥C₁t_ijt_ij, ∀t_ij =t_ji. Or l’application(x, t_ij)∈Ω¯×S₁ →C^ijkl(ε)(x)t_klt_ij, où

S₁ := {matrices t_ij symétriques d⁰ordre 3 telles que t_ijt_ij = 1} étant continue, il existe une constante C>0 telle que, pour toutε∈]0, ε₀], pour toutx∈Ω, et pour tout¯ t_ij =t_ji,

C^ijkl(ε)(x)t_klt_ij ≥Ct_ijt_ij.

On démontre de la même façon qu’il existe une constante C>0 telle que, pour toutε∈]0, ε₀], pour toutx∈Ω, et pour tout¯ t_i,

d^ij(ε)tt ≥Ctt .

Dans le document Modélisation du problème de Signorini avec frottement pour une coque piézoélectrique anisotropeet non homogène (Page 85-93)