Pour comprendre le principe de la méthode de désagrégation proposée, mettons nous dans le cas le plus simple où l’on cherche à estimer les températures à l’échelle de la classe de végétation pour un seul pixel BRS d’une image IRT.
FIGURE5.1 – Problème de désagrégation dans le cas d’un pixel BRS à F classes
Supposons que pour ce pixel BRS, l’on ait une observation de sa température To,q
(l’indice “o” désigne les données d’observation) à chaque instant “q” avec une erreur d’observation ζo,qqui suit la loi N (0, σo,q)les observations sont supposées non biaisées).
Soit F le nombre de types de végétation présents dans ce pixel et (αi)i=1,F leurs frac-
tions respectives fournies par une carte d’occupation des sols supposée parfaitement connue (pas d’incertitude sur les (αi)i=1,F) et constante pour toute la période d’assi-
5. APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DÉSAGRÉGATION PAR LISSAGE PARTICULAIRE SUR DES DONNÉES SYNTHÉTIQUES ET RÉELLES
Résoudre le problème de désagrégation revient donc à estimer les températures respectives de chaque type de couvert présent dans le pixel IRT mixte. Pour cela, il nous faut disposer d’un modèle qui permet de simuler la variabilité spatiale et temporelle des différentes températures sous-pixelliques (températures à l’échelle de la classe de végétation). Dans notre cas, ceci est assuré par le modèle SETHYS qui permet, à partir des forçages atmosphériques et des caractéristiques de le végétation, supposées disponibles pour les différentes classes considérées, de simuler des tempéra- tures à la résolution temporelle des observations et à l’échelle de la classe de végétation. Pour simuler toutes les valeurs possibles de température des classes a priori, on a commencé par identifier les paramètres de SETHYS les plus sensibles à la température. Ainsi, simuler différentes valeurs de température d’une classe donnée revient à échan- tillonner l’espace des paramètres sensibles définis à l’aval de l’analyse de sensibilité (voir Section3.2).
Soit alors Pi
1, . . . , PDii
i∈[1,F ] la liste des paramètres sélectionnés, tel que Di désigne
le nombre de paramètres sensibles pour une classe i. Pour plus de simplicité, suppo- sons que le nombre de paramètres sensibles est le même pour les F classes tel que :
Di
i∈[1,F ]= D.
Pour coupler le lisseur particulaire et le modèle SETHYS il faut définir ce que re- présente une particule. Dans notre cas, une particule désigne l’ensemble des valeurs prises par les paramètres sensibles définis pour chacune des classes considérées. Ainsi, à l’instant q (ou pour la “q-ème” fenêtre d’assimilation), la particule s’écrit alors comme
suit :
xq =
P1,q1 , . . . , PD,q1 , . . . , P1,qi , . . . , PD,qi , . . . , P1,qF , . . . , PD,qF (5.1)
Générer un ensemble de N particules, n’est autre que générer N combinaisons des pa- ramètres sensibles de SETHYS pour les différentes classes considérées.
Ainsi, pour chaque particule, SETHYS simule un F-uplet de températures sous- pixel- liques tel que :
xkq−→ SETHYS −→hT1,qk , . . . , Ti,qk , . . . , TF,qk i,, ∀i ∈ [1, F ] , ∀k ∈ [1, N ] (5.2)
avec Tk
i,q désigne la température de la classe i à l’instant q.
L’agrégation des N F-uplets de températures donne un ensemble de N températures (Tk,q)k∈[1,N ]comparables aux observations BRS To,q tel que :
Tk,q= P4 i=1αii Ti,qk4 P4 i=1αii 1 4 , (5.3)
avec i, αi désignent respectivement l’émissivité et la fraction de couvert de la classe i, PF
i=1αi= 1
Le rôle du lisseur particulaire est de sélectionner les particules qui donnent des tempé- ratures agrégées Tk,qles plus “proches” des observations To,q.
5.2. Méthode La mise en équations du problème de désagrégation sous la forme classique d’un pro- blème d’assimilation de données est donc la suivante :
yq = H (xq) + ζo,q, (5.4)
xq+1 = M (xq) + ζq, (5.5)
avec yq désigne la température du pixel IRT ( To,q), H représente l’opérateur d’obser-
vation qui permet de passer de l’espace des paramètres aux températures To,q et re-
présente donc la combinaison du modèle SETHYS et de l’opérateur d’agrégation (voir Figure5.2) et M désigne le modèle qui fait propager les particules avec ζqest l’erreur
modèle.
FIGURE5.2 – Schéma descriptif de l’opérateur d’observation H.
Etant donné que les particules ne sont autre que les paramètres de SETHYS, supposés constants durant une fenêtre d’assimilation, M présente dans ce cas la fonction iden- tité et l’erreur modèle est donc le bruit rajouté au particules après ré-échantillonnage permettant de mieux explorer l’espace des paramètres.
Une fois les opérateurs et les variables du problème définis, la procédure de désagréga- tion pourrait être décrite par l’algorithme suivant :
1. Initialisation
Cette étape est une étape d’initialisation et elle a lieu lors de la première fenêtre d’assimilation.
– Génération des N particules (N tirages aléatoires des valeurs des paramètres sensibles définis pour chaque classe).
5. APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DÉSAGRÉGATION PAR LISSAGE PARTICULAIRE SUR DES DONNÉES SYNTHÉTIQUES ET RÉELLES
FIGURE5.3 – Schéma descriptif de la procédure de désagrégation par lissage particu-
laire.
2. Analyse
– Simulation des N F -uplets de températures sous-pixelliques par le modèle SE- THYS.
– Agrégation des N F -uplets de températures et calcul des N températures com- parables aux observations.
– Calcul des distances relatives à chaque particule par rapport à la température observée pour le pixel BRS : il s’agit de calculer les distances entre les tem- pératures agrégées issues de chaque particule et la température IRT du pixel mixte.
– Sélection des particules dont les températures agrégées sont les plus “proches” des observations (étape de sélection).
– Conservation des F -uplets de températures correspondants aux particules sé- lectionnées : la moyenne de chaque ensemble de températures de classe est considérée comme la solution de désagrégation.
3. Prévision
– Ré-échantillonnage des particules sélectionnées et ajout de bruit aux copies des particules pour mieux explorer l’espace des paramètres du modèle autours des valeurs sélectionnées (Equation5.5).
4. Itérer sur les étapes 2 et 3 pour les fenêtres d’assimilation suivantes.
La figure5.3résume le processus de désagrégation par lissage particulaire qu’on vient de décrire ci-dessus.
5.3. Article 1 : Genetic particle filter application to land surface temperature