2. Les apports des méthodes thermiques au CND des structures de bâtiment
2.2 Thermographie active
2.2.3 Méthode de CND par mesure de réflexion de sources lumineuses
La thermographie a déjà été utilisée dans de nombreux cas pour le CND dans les structures de génie civil [32]. Cependant, les mesures de réflexion avec une source lumineuse souffrent d’un inconvénient majeur. Il est quasiment impossible de distinguer entre les changements d’émissivité de la surface du matériau et l’influence de l’humidité capable de modifier localement sa diffusivité. De plus, de nombreuses sources parasites contribuent au signal enregistré. Pour contourner cette difficulté, (Wiggenhauser) [33] propose une méthode qui Tableau II : Des écarts entre valeurs mesurées et valeurs réelles
31 sépare l’effet de l’humidité d’autres facteurs en utilisant une lumière composée de deux sources modulables. Les flux de rayonnement intervenant dans le signal capté par la caméra infrarouge sont ainsi récapitulés sur la figure 13.
Figure 13 : Les contributions des flux radiatifs mesurés avec la caméra. et sont deux sources lumineuses qui sont modulées. et sont les signaux correspondants extraits de la caméra par (FFT).
Afin de séparer les lumières réfléchies des autres, les deux sources lumineuses sont modulées avec des fréquences appropriées, l’une basée sur une longueur d’onde dans la bande d’absorption de l’eau et l’autre de référence en dehors de toute influence d’eau . Enfin, une analyse fréquentielle du côté du détecteur permet de séparer les deux sources lumineuses. Les images de l’objet à ces deux longueurs d’onde peuvent ainsi être extraites. Pour le calcul de l’index d’humidité, la formule
est appliquée pour calculer la valeur de chaque pixel.
L’image de l’index d’humidité est visualisée comme image de gamme de gris. Les zones de forte humidité sont observées comme un accroissement de la valeur du gris (voir figures 14 et 15).
32 Figure 14 : Spécimens de briques avec différentes teneurs en eau (de gauche à droite : 100%, 36%, 57%, 79%, 14%). A gauche photographie, à droite thermogramme.
Figure 15 : Images des spécimens dans la longueur d’onde de référence (en haut à gauche) et dans la bande d’absorption de l’eau ( en bas à gauche) et une image synthétique des spécimens par combinaison des deux à droite.
La méthode est très efficace parce que très sélective. On peut en effet, distinguer nettement et classer les briques par ordre d’humidité à partir des images dans la bande d’absorption de l’eau et de celle de l’image synthétique. Mais elle reste encore une méthode de laboratoire.
Conclusion
Les apports des méthodes thermographiques au CND des ouvrages de génie civil sont prometteurs. L’équipement est simple, discret, sans contact, couvrant une surface
33 d’observation plus vaste. Cependant, les résultats demeurent pour l’instant des résultats de laboratoire. L’interprétation des données mesurées, sont comme dans le cas des méthodes mécaniques assez compliquées, rendue difficile par les perturbations extérieures qui influencent les mesures, et surtout par la nature complexe des structures de génie civil.
D’autre part, l’épaisseur des objets à sonder est relativement importante, avec une conductivité faible, ce qui induit un temps caractéristique assez long, forcé comme on est, d’opérer à des fréquences très basses de l’ordre du dixième de mm Hz.
Dans le chapitre 2 suivant, nous proposons la modélisation 1D transitoire d’une structure de génie civil, et des stratégies de recherche de défaut ou de fonction de transfert, qui
s’apparentent à la recherche d’élasticité ou de densité comme dans les méthodes mécaniques de CND que nous venons d’exposer dans le chapitre 1.
34 Références bibliographiques
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37
CHAPITRE 2
Modélisation 1D transitoire de murs de bâtiment : Des stratégies
CND ou estimation de fonction de transfert
38 TABLE DES MATIERES CHAPITRE II
Chapitre 2: Modélisation 1D transitoire de murs de bâtiment : Des stratégies CND ou estimation de fonction de transfert ... 41 Introduction ... 41 1 Mur homogène ... 41 2 Mur multicouches ... 43 3 Mur purement résistif ou purement capacitif ... 43 4 CND d’une paroi de bâtiment : Simulation d’un cas ... 44 4.1 Cas où est la transformée de Laplace d’un échelon... 45 4.2 Cas où est la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac ... 48 4.3 Cas où est la transformée de Laplace d’une excitation créneau en temps de durées ... 49 4.4 Cas où est la transformée de Laplace d’une excitation de forme quelconque ... 50 4.5 Estimation de fonction de transfert ... 52 4.5.1 Estimation de facteurs de réponse par la méthode classique: Approche par interpolation à l’aide de fonctions rampes ... 53 4.5.2 Méthode harmonique : Approche par interpolation trigonométrique ... 55 4.5.3 Méthode harmonique : Approche par fonctions d’impulsion trigonométriques ... 58 4.6 Rapport des méthodes de CND thermiques avec les méthodes de CND mécanique ... 61 Références bibliographiques ... 63
39
Nomenclature
Dénomination Signification Unités
, , Coefficient de matrice de transfert, de multicouches, de la ième couche
--- Facteur de décroissance
Coefficient de Fourier Diffusivité thermique
, , Coefficient de matrice de transfert, de multicouches, d’ième couche
--- , Effusivité de matériau, optimal
, , Coefficient de matrice de transfert, de multicouches, d’ième couche
--- Chaleur spécifique à pression constante
, Coefficients de série de Fourier
, , Coefficient de matrice de transfert, de multicouches, d’ième couche
--- Epaisseur de matériau
Coefficient de convection
, , Matrice de transfert, de milieu résistif, de milieu capacitif
, Coefficients de série de Fourier , Température, d’entrée
Vecteur température
Réponse à une impulsion de Dirac Température corrigée
Température dans le domaine de Laplace
40 , , Température d’entrée, de sortie, intérieur
Décalage temporel Angle de phase Angle de phase Angle de phase
, , Flux dans le domaine de Laplace, d’entrée, intérieur Masse volumique
Conductivité thermique de matériau
, Vecteur paramètres, optimal ---
Durée de créneau Fréquence
Pulsation relative à l’harmonique de rang n Nième impulsion trigonométrique
, , Facteurs de réponse ---
, Vecteurs des facteurs de réponse harmonique et classique
---
NOMENCLATURE DES OPERATEURS ET FOCTIONS Moyenne
Opérateur différentiel Produit scalaire
Fonction linéaire de vers Fonction d’Heaviside ou échelon Fonction de Dirac
Transformation de Laplace Fonction test
Jième fonction triangle Fonction rampe
41 Chapitre 2: Modélisation 1D transitoire de murs de bâtiment : Des stratégies CND ou estimation de fonction de transfert
Introduction
Le formalisme des quadripôles est un outil mathématique, qui convient à la modélisation des structures de bâtiment. Elle donne une relation linéaire simple entre un vecteur Température-Flux d’entrée dans un système et un vecteur Température-Flux sortant par l’intermédiaire d’une matrice de transfert caractéristique du système traversé. Elle permet la modélisation de plusieurs configurations, et dans le cas de matériaux multicouches, elle se ramène à de simples produits matriciels. Par ailleurs, elle est très adaptée aux CND dans le bâtiment.
Nous allons donc jeter les bases de sa structure, et l’utiliser par la suite à la recherche de défaut dans des parois ou à l’estimation de matrice de transfert.
1 Mur homogène
Figure1 : Formalisme des quadripôles relatif à un mur homogène
Considérons donc, le système formé par l’équation de transfert de chaleur transitoire 1D à travers un mur homogène et la loi de Fourier :
(1) Par l’application de la transformation de Laplace
(2) à sur la variable temps ( ), le système d’équation (1) devient, en supposant la température initiale du mur nulle ( ):
(3)
Du système (3) on déduit:
e
42 (4)
ou encore :
(5) Soit :
avec (6) La solution du système (6) permet de relier le vecteur Température-Flux d’entrée du système au vecteur Température-Flux sortant via une matrice dite matrice de transfert du système comme suit :
(7) où
; et
avec l’épaisseur du mur, sa diffusivité, sa masse volumique, sa chaleur spécifique, sa conductivité et son aire.
Le schéma (7) est connu sous le nom de formalisme des quadripôles. Il permet la modélisation de plusieurs configurations :
Par exemple, dans le cas d’une excitation d’énergie en face avant avec condition adiabatique en face arrière , le système s’écrit:
(8) où
est la transformée de Laplace de
Le cas d’un échange convectif en face avant de coefficient , et d’une température nulle imposée en face arrière peut être traduit par :
(9)
43 2 Mur multicouches
Figure 2 : Formalisme des quadripôles relatif à un mur multicouches
Pour un mur multicouches, la matrice de transfert du schéma du formalisme des quadripôles est obtenue par un simple produit des matrices caractéristiques de chaque couche, dans leur ordre d’apparition, la sortie d’une couche correspondant à l’entrée de la suivante.
(10) La matrice caractéristique de la iième couche est définie par :
(11)
3 Mur purement résistif ou purement capacitif
Dans le cas de mur supposé purement résistif ou purement capacitif, les matrices caractéristiques sont respectivement [1], données par :
(12) (13) où
e
44 désigne la résistance et le volume du mur.
4 CND d’une paroi de bâtiment : Simulation d’un cas
Considérons le dispositif suivant :
Le dispositif est constitué d’une paroi composée d’une couche de peinture sur du
Placoplatre, d’un délaminage simulé par R, d’une couche épaisse de polystyrène considérée comme un milieu semi-infini. La paroi est soumise à une excitation de flux de chaleur
(dont la forme sera précisée dans la suite) en sa face avant non isolée, et une caméra infrarouge enregistre les images thermiques.
Cette paroi peut être simplement modélisée via les quadripôles de la façon suivante : (14)
où est la résistance due au défaut, le coefficient de
convection à la face excitée et est l’effusivité du polystyrène considéré ici comme un milieu semi-infini. La matrice indicée 1 est relative à la couche de peinture et celle indicée 2 est relative au plâtre. Le système (14) peut être réécrit, après multiplication des matrices caractéristiques, sous la forme :
(15)
Avec ; ; ; .
On en déduit la réponse en température en face avant dans l’espace de Laplace :
(16) Couche de peinture
Couche de plâtre
Polystyrène : milieu semi-infini
h R
Caméra infrarouge
Figure 3 : Modèle d’une paroi de bâtiment comportant un défaut désigné par R Flux imposé bref
45 A ce niveau, une discussion s’impose. Dans les expressions (2), représente en fait une fréquence.
Alors, aux temps longs, i.e. lorsque
Si de plus on suppose que la face excitée est isolée i.e. alors, on obtient un développement asymptotique de suivant :
Physiquement, les temps longs se situent bien au-delà de la constante du temps du système formé par les couches de peinture, de Placoplatre et éventuellement d’une couche d’air entre le Placoplatre et le défaut.
(17)
4.1 Cas où est la transformée de Laplace d’un échelon
Si est la transformée de Laplace d’un échelon alors,
(18) et,
(19) ou dans le domaine temporel:
(20) La formule (20) représente ainsi, la réponse asymptotique en face avant à une excitation échelon.
46 Figure 4 : Réponse en température en face avant d’un mur multicouches (en bleu) et son développement asymptotique en rouge
Le tracé de ce développement asymptotique en fonction de la racine carrée du temps, montre un décalage d’ordonnée à l’origine par rapport au plan chaud classique. En ce point d’ordonnée à l’origine, la valeur de peut être estimée ; si les épaisseurs et conductivités des couches de peinture et du plâtre sont connues ainsi que le flux de chaleur effectivement déposé sur la surface observée par la caméra infrarouge. Voir figure 4 ci-dessus.
Estimation de
La distribution de température 1D à travers un milieu semi-infini, soumis à une excitation échelon i.e.
et dont le plan est maintenu à température constante nulle, est donnée par la solution du système :
(21) La solution de cette équation à une profondeur , voir Carslaw et Jaeger [2], est de la forme:
(22)
47 ou simplement:
(24) où est la densité de flux reçue sur la face ( ), la diffusivité du
milieu, son effusivité et sa conductivité thermique.
Pour les expérimentations, nous avons utilisé du bois et de la mousse noire fournis par THERMICAR dont les effusivités ont été estimées par une méthode du plan chaud. Le bois à un volume de 23×23×0,5 cm3 et la mousse un volume de 29,5×29,5×5 cm3. Chaque échantillon est soumis pendant 30 s à une excitation délivrée par une lampe halogène de 1650W, et une caméra FLIR A320 disposée en face avant à 40 cm de l’échantillon enregistre le thermogramme. Sous Matlab, les valeurs de température enregistrées sont tracées en fonction de la racine carrée du temps. En appliquant la régression linéaire à l’ensemble des points ainsi obtenus, on obtient une droite dont la pente permet d’estimer . Les résultats obtenus pour cinq essais sont exposés dans le tableau 1.
Tableau I : Estimation de densité de flux Distance source de chaleur-matériau : 40 cm
Essai1 Essai2 Essai3 Essai4 Essai5 Bois Effusivité : 260 537,2680 536,7841 536,0928 527,4752 538,8579 Mousse Effusivité : 165 536,8448 635,870 538,8481 539,9302 537,6783 Les valeurs obtenues sont très proches l’une de l’autre à l’exception de celle de l’essai2 relative à la mousse. Cet écart pourrait être dû au fait que la mousse n’a pas atteint sa température initiale avant le début de l’essai2. D’autre part, les différences entre ses valeurs obtenues, pourraient être dues à l’environnement changeant d’un essai à l’autre (problème de convection et des mouvements de personnes dans l’espace d’expérimentation). Une réduction possible de ses effets peut être obtenue en prenant la moyenne des ses valeurs.
Une moyenne des valeurs du tableau donne :
Cette valeur de n’est qu’indicative, car beaucoup de facteurs incontrôlés influencent le résultat obtenu : En dehors des conditions environnementales, il y a aussi les erreurs de mesures inhérentes aux caméras de faible coût : non uniformité et non linéarité des détecteurs ; on pourrait ajouter à tout ceci, des erreurs liées à la détermination correcte de l’effusivité des échantillons utilisés.
Estimation de
Une fois la valeur de estimée, une lecture correcte de l’ordonnée à l’origine de la droite asymptotique, et la connaissance des paramètres (épaisseur, conductivité et émissivité) de la couche de peinture et du Placoplatre, pourront permettre de déduire la valeur de R.
Pour améliorer l’estimation de R, il serait judicieux de déterminer dans les mêmes conditions expérimentales que tout le processus de simulation.
48 Après l’estimation de R, quel sens donner à sa valeur?
Beaucoup de précautions doivent être prises dans l’interprétation de la valeur de R. En effet, chaque bulle d’air, chaque micropore, participent par addition à la valeur de R, de sorte qu’on peut obtenir une grande valeur de R sans qu’il n’y ait véritablement de pont thermique dans la paroi inspectée.
Une fois encore, la nature très complexe des matériaux de génie civil rend une étude quantitative très difficile. Cependant, si des traitements préalables d’images thermiques avaient révélé un pont thermique soupçonné de grande envergure, cette méthode pourrait permettre d’en avoir une idée.
4.2 Cas où est la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac
Pour représentant la transformée de Laplace de l’échelon, rigoureusement, (19) s’écrit:
(25) Comme la dérivée de la fonction échelon est l’impulsion de Dirac, la solution lorsque est la transformée de Laplace d’une impulsion Q-unité, s’obtient en dérivant (25) par rapport à
, soit :
(26) Une estimation de au sens des moindres carrés linéaires peut être obtenue comme suit : Si l’on dispose de observations de températures et que est une densité de flux calibré (connu) envoyé sur toute la surface de la paroi de façon homogène, l’équation (26) donne lieu au système d’équations suivant:
(27)
que l’on peut encore écrire sous la forme compacte:
(28) où :
49 est le vecteur des températures mesurées rapporté à l’énergie d’excitation ; le vecteur paramètre à estimer avec ,
et
la matrice de sensibilité au vecteur paramètre .
Si le vecteur température-mesuré est connu avec une erreur de moyenne nulle, d’écart type constant, l’application des MCL conduit à un estimateur optimal, donné par :
(29) avec :
, d’où l’on peut déduire les valeurs estimées de l’effusivité de l’isolant (ici le polystyrène) et la résistance matérialisant un pont thermique à travers l’isolant :
(30) L’utilisation judicieuse du résultat (30) dans le domaine du bâtiment est subordonnée à une détection préalable du pont thermique par des techniques de traitement d’images appropriées, pour savoir l’existence d’un pont thermique de grandes dimensions possibles, car les hétérogénéités dans les composants du bâtiments (humidité, micropores, bulles d’air, micro inclusions) s’additionnent pour donner la valeur estimée . De sorte qu’une valeur de
estimée, quoique élevée, peut ne pas forcément être relative à un pont thermique dans la structure.
4.3 Cas où est la transformée de Laplace d’une excitation créneau en temps de durées
Une excitation en créneau de durée peut approximativement être décrite par :
(31) Sa transformée de Laplace s’écrit :
50 (32 Un développement asymptotique de l’expression (32) donne:
(33) En reportant cette expression dans l’expression (17), il vient que le retour au domaine temporel passe par l’inversion de qui est donnée par : . La réponse en température en face avant à une excitation créneau de durée s’écrit alors:
(34) La réponse à une excitation créneau de durée peut être alors approchée de la réponse à une impulsion de Dirac décalée dans le temps de . Ainsi, les résultats de CND pour une
(34) La réponse à une excitation créneau de durée peut être alors approchée de la réponse à une impulsion de Dirac décalée dans le temps de . Ainsi, les résultats de CND pour une