Méthode adaptative pour la discrétisation du domaine de conception [Bat-05]

La méthode de surface de réponse utilise un ensemble de points de l’espace de conception pour déterminer l’optimum approché. Une nouvelle région est créée successivement pour chaque minimum et la détermination de sa taille sera effectuée par le choix d’intervalle de chaque variable. L’ensemble de points défini dans cette région de recherche d’optimum pour laquelle un plan d’expérience est réalisé s’appelle «une tête chercheuse». La progression de l’algorithme consiste à faire avancer la tête et éventuellement son extension au niveau de son centre.

La figure 2.14 montre l’évolution possible d’une tête chercheuse à 4 points (TCR4) en deux dimensions entre l’itération i et l’itération i+ . A l’itération i le point 1 xi forme le centre de la région courante. Les limites supérieure et inférieure sont marquées par des points noirs formant une tête chercheuse initiale. La fonction coût f et éventuellement les contraintes g_i

sont évaluées pour ces points. La translation de la tête chercheuse pour la prochaine itération est donnée par la méthode de descente appliquée à la surface de réponse construite avec les points de couleur noirs. Il est important de noter que l’évolution de la taille de la tête chercheuse dépend de la nature de solution et de la précision de la recherche de l’optimum courant.

Figure 2.14: Tête chercheuse: translation et extension de la région de recherche

Sur la figure 2.14, la tête chercheuse tient compte de l’itération i+ présentée par des points 1 gris. Cependant l’implémentation directe de cette approche ne permet pas de prendre en considération des points de conception calculés à l’itération i même s’ils appartiennent au nouveau domaine considéré. C’est le cas du point supérieur situé à droite et marqué en noir (figure 2.14). D’ailleurs la nouvelle surface de réponse est construite sans préservation de la continuité avec la précédente qui peut conduire à des oscillations et des problèmes de convergence.

La figure 2.15 illustre l’évolution de l’approche de la tête chercheuse présentée par la figure 2.14. La région étudiée est maintenant définie en termes du concept de l’approximation diffuse et du domaine d’influence. L’intervalle de la tête chercheuse est contrôlé par le rayon d’influence associé au point x_i. Dans ce cas les points noirs définissent comme dans le cas précédent une tête chercheuse initiale, centrée autour du point courant x_i et mis en échelle proportionnellement à son domaine d’influence Ω_i. A l’itération suivante, une nouvelle tête

1 i+ x i x + + 1 x 2 x

chercheuse représentée par des points gris est créée et le rayon d’influence basé sur des considérations de convergence est adapté. Les calculs sont effectués comme précédemment pour ces nouveaux points, mais la surface de réponse est actuellement adaptée par l’intermédiaire de l’approche des éléments diffus pour tous les points des plans d’expériences courant et précédent appartenant au domaine Ω_i+1. Cela signifie que la surface de réponse est maintenant adaptée pour cinq points; non seulement pour les quatre points gris mais encore le cinquième point noir de l’ancienne tête chercheuse situé au dessus à droite est pris en compte.

Figure 2.15: Approximation diffuse: Tête chercheuse avec la réutilisation des points de conception déjà évalués

Cette technique de régression est également différente. Pour des raisons de continuité, la méthode des moindres carrées sera remplacée par l’approximation des éléments diffus. L’inconvénient de cette approche est qu’elle ne minimise pas le nombre des expériences. Même si nous souhaitons une surface de réponse précise avec un minimum d’erreur et qui peut conduire à une convergence rapide, nous devons signaler que le nombre de points nécessaires pour la modélisation de la nouvelle surface de réponse dans l’espace _R n augmente exponentiellement. Par conséquent, une technique de plan d’expériences virtuel décrit ci dessous peut être proposée. Elle permet de minimiser le nombre de mesures expérimentales ou de simulations numériques en réutilisant des points de conception déjà évalués.

Dans la figure 2.16, les petits cercles vides montrent un ensemble discret de points dans l’espace de conception là où il sera décidé la fixation du nombre d’expériences. C’est ce qui est appelé un plan d’expériences virtuel «virtual DOE» comme les points de mesures sont conçus mais pas encore évalués. L’idée est qu’un plan virtuel est évalué seulement quand il entre dans la région courante d’intérêt. Dans les figures 2.14 et 2.15 le point x_i a été centré à l’intérieur de la région étudiée. Par contre dans l’approche actuelle, la tête chercheuse n’est plus centrée en x_i mais elle est définie par l’ensemble des points de conception virtuel les plus proche et l’échelle de la résolution de la grille.

Sur la figure 2.16, la tête chercheuse est définie à l’itération i par quatre points remplis en couleur noire pour la résolution d’une fenêtre de taille h2 . La surface de réponse basée sur l’utilisation de l’approximation diffuse est alors adaptée et approchée en ces points. Quand le point de conception courant est translaté au point x_i+1, les points voisins sont sélectionnés avec une résolution dont la taille de pas est raffinée à h .

1 i+ x i x + 1 x 2 x + i Ω 1 i Ω₊

Figure 2.16: Tête chercheuse multi-échelle avec un plan d’expériences virtuel [Bre-05]

Dans ce cas, les nouveaux points sont notés par les trois points de couleur gris et le quatrième point noir utilisé dans la tête chercheuse précédente. De cette manière le nombre total d’expériences sera réduit de 8 à 7 et le gain est fortement proportionnel pour une grande taille de la tête chercheuse. D’ailleurs, la prise en considération de la nature non linéaire de l’approximation diffuse, plusieurs itérations peuvent être effectuées pour une tête chercheuse fixe, aussitôt que la liste des points voisins les plus proches ne change pas, ce qui permet de réduire le nombre d’essais expérimentaux ou des simulations numériques.

2.5.4 Méthode de Krigeage [Sim-98]

Le krigeage est une méthode d'interpolation qui est issue de la géostatistique. Il emploie les propriétés de la corrélation spatiale des données de l'échantillon. Dès qu’il y aura une valeur interpolée à un certain point de l'espace des paramètres, le krigeage possède des données de poids forts qui sont voisins, plutôt que donner à toutes les données des échantillons un poids égal. Ceci est réalisé en annulant l'erreur résiduelle moyenne et ensuite de minimiser la variance des erreurs.