Métamodélisation

La modélisation d’un procédé par éléments finis s’avère une solution idéale lorsqu’on veut résoudre des problèmes d’ingénieries à grande échelle. Toutefois, ces simulations peuvent prendre plusieurs heures, voir même plusieurs jours lorsque plusieurs degrés de liberté sont en jeu, et ce, pour une seule évaluation des fonctions objectifs. De plus, d’un point de vue optimisation, cette simulation par élément finis est considérée comme étant une boîte noire, c’est-à-dire que l’utilisateur n’a accès qu’aux valeurs des fonctions objectifs, mais aucune information concernant ses dérivées. Cette limitation empêche l’utilisation de méthodes clas- siques d’optimisation pour lesquelles le gradient est essentiel. Afin de résoudre ce problème, trois grandes familles de méthodes existent, soit les méthodes dites heuristiques, les méthodes statistiques et les méthodes sans dérivées.

Concernant les méthodes heuristiques, leur inconvénient majeur est le coût élevé en terme du nombre d’évaluations des fonctions objectifs nécessaires à l’obtention d’une solution (Stadler, 1979; Steuer, 1986; Stadler, 1988; Deb, 2001; Weistroffer et al., 2005; Conn et al., 2009;

Matlab, 2015a). Dans le cas de simulations par éléments finis, cette approche est difficilement applicable tel quel. Une discussion plus approfondie est donnée plus bas. Les méthodes sans dérivées, quant à elles, sont d’un intérêt grandissant dans la communauté mathématique et sont particulièrement utiles lorsque le budget d’évaluations des fonctions objectifs est limité (Conn et al., 2009). Le domaine est toutefois très spécialisé, et nous n’irons pas plus en détail. Dans le cadre de l’optimisation des procédés, l’approche prédominante dans la littérature est une approche hybride combinant à la fois certains aspects des méthodes statistiques et heuristiques. On parle alors d’optimisation approximative par métamodélisation.11

De façon générale, cette dénomination implique l’ajout d’une étape additionnelle de méta- modélisation à la Fig. 2.7, entre l’obtention des fonctions objectifs et de l’optimisation. Une fois le métamodèle créé, on lance un algorithme d’optimisation heuristique sur celui-ci pour la recherche d’une solution optimale. Ce métamodèle est créé à partir d’une approximation ou d’une interpolation de l’espace vectoriel généré par les variables de conception et des fonctions objectifs, et permet l’estimation des fonctions objectifs pour des combinaisons de variables de conception non incluse dans le plan d’expérience. De cette manière, il est pos- sible d’explorer les résultats de certaines combinaisons de variables de conception sans devoir lancer une séquence de simulations par éléments finis.12

Il va sans dire que la qualité du métamodèle choisi affectera directement le nombre de si- mulations par éléments finis nécessaires pour la convergence vers une solution optimale. Un métamodèle sera insatisfaisant s’il est incapable de prédire les fonctions objectifs aux en- droits non inclus dans le plan d’expérience avec une précision suffisante. Dans la littérature, un grand nombre d’auteurs se sont penchés sur la nature exacte de ce métamodèle dans le cadre de simulations numériques déterministes. Parmi ceux-ci, (Sacks et al., 1989) suggère le krigeage, méthode géostatistique initialement développée par (Krige, 1952) pour l’évalua- tion des ressources minières, comme métamodèle. En somme, le krigeage est une méthode

d’interpolation basée sur la régression des valeurs observées, auxquelles sont associés des

poids proportionnels à la covariance spatiale. Le développement mathématique du krigeage est donné à l’Annexe A. Ici, il suffit de mentionner que le vecteur de fonctions objectifs es- timées ˆy = {ˆy1, ˆy2, . . . , ˆyN −1, ˆyN}, n = 1, . . . , N fonctions objectifs, pour une combinaison

de variables de conception ˆx = {ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxM −1, ˆxM}, pour M variables de conception, est

calculé à l’aide de l’équation suivante ˆ

y(ˆx) = µ(ˆx) + r(ˆx), (2.1)

11. Dans la littérature, on parle souvent de surrogate modeling ou bien de response surface modeling. 12. Bien sûr, une solution optimale choisie à l’aide de cette approximation devra être validée.

où µ(ˆx) représente la tendance du modèle, ou l’espérance de l’estimateur ˆy, et r(ˆx) est le

vecteur résidu au point ˆx, estimé comme étant égal à une somme pondérée des résidus aux

points limitrophes. Comme l’indique (Isaaks and Srivastava, 1989), la grande majorité des méthodes d’interpolation pour la génération de métamodèles (e.g. splines, triangulation, etc.) utilisent une pondération basée sur l’inverse de la distance entre les points. Les points limi- trophes auront donc une plus grande influence sur le point en question que ceux plus éloignés. Le krigeage se distingue des autres méthodes de par la nature de cette pondération. En effet, les poids sont des quantités dérivées d’une fonction covariance qui cherche à minimiser la va- riance de l’estimateur, et non une simple fonction polynomiale. Plusieurs formes de krigeage existent, dont le krigeage simple et ordinaire. Toutefois, on peut démontrer (voir l’Annexe A) que ces deux formes sont des cas particuliers du krigeage universel.13 _{Celui-ci s’exprime}

sous la forme ˆ y(ˆx)ku = µ(ˆx) + A X α=1 λku_α (y(xα) − µ(xα)) , (2.2)

où A est le nombre de points limitrophes, µ est désormais une fonction polynomiale inter- polant les points xα limitrophes au point estimé ˆx, et λkuα sont les poids pour le krigeage

universel. Sous forme matricielle, on peut réécrire cette équation sous la forme familière ˆ

y(ˆx)ku = µ(ˆx) + kku>Kku −1(y(x) − µ(x)) , (2.3) où k est le vecteur de covariance entre les points x et le point estimé ˆx, et K est la matrice

de covariance entre les points x. Il est important de noter que si ˆx ∈ x, i.e. le point estimé

fait partie du plan d’expérience nécessaire à la génération du métamodèle par interpolation, alors ˆy(ˆx) = y(x) ; le modèle interpole exactement. D’un point de vue pratique, il suffit donc

de préciser le polynôme pour µ ainsi que la forme du vecteur et de la matrice de covariance,

k et K, respectivement. Pour plus d’informations sur le développement mathématique du

krigeage, voir Annexe A, notamment l’équation (A.33). Ce développement a été adapté de Stein et al. (2002).