Le cas test secondaire porte sur la calibration de jauges et l’évaluation de l’effort à partir de signaux de jauges. La phase qui nous intéresse ici est la calibration puisque c’est l’étape expérimentale où il faut établir le modèle qui sera ensuite utilisé pour l’évaluation de l’effort.
Comme cela a été décrit au Chapitre I, la phase de calibration consiste à mesurer les défor-mations subies par un palier et causées par un certain effort appliqué sur ce palier. Cet effort est caractérisé par deux variables : la force qui varie de 0 à 26000 daN et l’angle qui prend 6 valeurs, comme on peut le voir à la Figure II.16. Les déformations sont mesurées par quatre jauges (S15, S30, S45 et S60) équi-réparties sur le palier (cf. Figure II.16).
Figure II.16 –Représentation des essais statiques sur le palier 1 à 4 jauges
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Le méta-modèle, appelé ici fonction de transfert, doit permettre d’exprimer la relation entre la variable représentant les déformations, considérée comme la réponse, et le couple (force,angle), qui sont alors vues comme les entrées.
Nous disposons de deux types de données :
- des données de calibration fournissant les déformations mesurées en chaque jauge en fonction des positions angulaires de l’effort, pour une force fixée,
- des données de traction fournissant pour chaque angle les déformations mesurées en chaque jauge en fonction de la force.
En pratique, la déformation est supposée linéaire par rapport à la force. Si cette relation présente de fortes non-linéarités, alors les jauges sont jugées inacceptables et doivent être vérifiées. Pour les données de traction dont nous disposons, la relation est effectivement linéaire à partir de 5000 daN, avant ce n’est pas forcément le cas. Nous pouvons représenter cette relation entre la déformation et la force, par angle (6 graphiques) et par jauge (4 courbes par graphique). La Figure II.17 représente les courbes obtenues pour des angles de 0˚et 45˚. On remarque que l’on obtient les mêmes courbes à 0˚, 90˚, 180˚et 270˚, seules les couleurs sont interverties.
Ceci est dû à l’axisymétrie du palier qui assure que les jauges sont interchangeables. On trouve également les mêmes courbes pour 45˚et 315˚.
Figure II.17 – Représentation des données de traction par angle de l’effort
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Position angulaire de l’effort
Déphasage S60
Déphasage S15
Déphasage S30
Déphasage S45
0 0 90 180 270
45 315 45 135 225
90 270 0 90 180
180 180 270 0 90
270 90 180 270 0
315 45 135 225 315
Tableau II.6 – Déphasage par position angulaire de l’effort et par jauge
Dans un premier temps, nous considérerons donc que les déformations évoluent linéairement en fonction de la force. Cette force est fixée à 20000 daN (= 20 tonf), valeur pour laquelle nous possédons les données de calibration. Ceci nous permet d’établir la fonction de forme pour une force fixée. Ensuite, nous ferons varier la force.
Pour un effort appliqué selon une certaine position angulaire, chaque jauge forme un angle appelé déphasage (cf. FigureII.16) avec cette position. Par exemple, lorsque l’effort est appliqué sur le palier à 0˚, le déphasage entre les jauges et l’effort est de 0˚pour S60, 90˚pour S15, 180˚pourS30 et 270˚pourS45. Ce déphasage est une quantité positive, il s’agit de la différence entre la position angulaire de la jauge et celle de l’effort, modulo 360. Les déphasages des quatre jauges pour chacune des positions angulaires sont fournis au TableauII.6. La considération du déphasage de l’effort plutôt que de sa position angulaire permet de superposer les observations en chaque jauge, comme on peut le voir à la FigureII.18.
Figure II.18 –Représentation des données de calibration
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
La fonction proposée initialement était une fonction trigonométrique d’ordre 2
ε=F0[c0+c1cos(ϕ−φ1) +c2cos(2ϕ−φ2)], (II.28) où ε est la déformation, F0 la force de l’effort (ici 20 tonf), ϕle déphasage et c0, c1, c2, φ1 et φ2 les coefficients du modèle. Il s’agit donc d’un modèle paramétrique non-linéaire. Les cinq coefficients du modèle sont obtenus par moindres carrés. En chaque jauge, l’erreur commise par le modèle par rapport aux observations est
(Yj−Jj)2, (II.29)
oùYj est la déformation estimée pour la jaugej etJj le signal mesuré en cette même jauge. Le choix des coefficients doit assurer que l’erreur totale soit minimale
Etot =X4
j=1
(Yj −Jj)2. (II.30)
A partir des données de calibration, on obtient une fonction représentée à la Figure II.19.
Cette fonction n’est pas très bien ajustée, surtout pour les plus grandes déformations, l’erreur
Figure II.19 – Fonction de transfert trigonométrique d’ordre 2
quadratique moyenne est d’ailleurs très grande.
Une première proposition a été faite pour obtenir un modèle de meilleure qualité. Il s’agit d’une somme de deux exponentielles. Cette idée est venue du fait que l’allure de la fonction fait penser
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
à la densité d’un mélange de deux lois normales. Le modèle est alors le suivant
ε=F0
Les six coefficients de ce modèle sont également déterminés par moindres carrés, ce qui donne le graphique de la Figure II.20. On obtient un meilleur ajustement général avec une erreur
Figure II.20 – Fonction de transfert exponentielle
quadratique moyenne divisée par 4 par rapport au modèle précédent.
Le problème de ce modèle est que la fonction n’est pas périodique. En effet, la dérivée en 0 est différente de celle en 360, condition essentielle pour que la fonction présente une période de 360. De plus, la fonction doit être symétrique par rapport à 180.
La forme trigonométrique est donc plus adaptée. Pour améliorer la qualité du modèle, nous augmentons l’ordre. L’ordre 3 n’étant pas suffisant, nous sommes passés à 4
ε=F0[c0+c1cos(ϕ−φ1) +c2cos(2ϕ−φ2) +c3cos(3ϕ−φ3) +c4cos(4ϕ−φ4)]. (II.32) On passe alors de 5 à 9 coefficients. Il apparaît évident que l’augmentation de l’ordre a des limites, il ne peut pas dépasser le nombre d’observations.
On évalue les coefficients par moindres carrés pour obtenir la fonction de la Figure II.21. On obtient un bon ajustement des observations avec une erreur quadratique moyenne divisée par 6 par rapport au modèle d’ordre 2. Parmi les 3 modèles proposés, nous choisissons donc celui-ci.
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Figure II.21 – Fonction de transfert trigonométrique d’ordre 4
peu d’observations et que nous ne pouvons pas bénéficier d’un échantillon de test. En effet, il aurait été intéressant d’avoir des observations pour d’autres angles afin de tester les qualités prédictives du modèle. Une détermination de ces qualités par validation croisée n’est pas non plus possible car, pour certains déphasages, une seule observation est disponible. Retirer cette observation dégraderait donc grandement le modèle, ce qui fausserait le calcul d’indices de pré-dictivité.
Il est également inenvisageable de considérer une fonction de transfert par jauge, le nombre d’observations pour chacune des jauges n’est pas suffisant. Il faudrait ajouter au moins deux positions angulaires supplémentaires.
Pour ce type de fonctions de transfert, le modèle évolue de manière linéaire par rapport à la force puisqu’elle est mise en facteur dans le modèle. Nous représentons à la Figure II.22 la fonction trigonométrique d’ordre 4 avec la prise en compte d’une seconde dimension, la force.
La quantité F0 dans l’Equation II.33 est tout simplement remplacée par la variable force. Les deux graphiques de la FigureII.22sont deux prises de vue de la fonction de transfert bidimen-sionnelle (en vert) qui ajuste les observations (représentées par des points). On voit bien que l’ajustement est bon, sauf pour les plus petites forces où la linéarité n’est pas forcément assurée.
Pour améliorer le modèle sur les petites forces, nous proposons de prendre en compte la force directement dans la construction de la fonction de transfert. Ceci permet d’obtenir un modèle qui n’est plus forcément linéaire en la force. L’idée première pour ajuster un modèle aux
obser-II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Figure II.22 – Fonction de transfert trigonométrique d’ordre 4 par rapport au déphasage et à la force
vations tracées à la FigureII.22fut de considérer un modèle d’interpolation de type polynômes de Lagrange en dimension 2. L’ajustement était parfait mais le critère de périodicité n’était pas respecté. Nous sommes ici obligés de conserver la forme trigonométrique pour la variable posi-tion angulaire. Nous avons donc choisi de garder la forme trigonométrique et de faire évoluer les coefficients du modèle en fonction de la force. Le modèle trigonométrique d’ordre 4 devient
ε=F[c0(F) +c1(F) cos(ϕ−φ1(F)) +c2(F) cos(2ϕ−φ2(F)) +c3(F) cos(3ϕ−φ3(F))
+c4(F) cos(4ϕ−φ4(F))], (II.33)
oùF désigne la force. Les 9 coefficients du modèle sont évalués par moindres carrés pour chaque force grâce aux données de traction. Pour deux forces successives, il est clair que les coefficients du modèle ne sont pas indépendants. Nous pouvons donc rechercher les coefficients pour la plus grande force à notre disposition, 26 tonf, puis nous servir de ce résultat comme point de départ de la recherche des coefficients pour la force suivante. Notons que tous les coefficients évoluent dans R à l’exception des quatre coefficients situés dans les cosinus, qui évoluent dans [−π, π].
Chaque coefficient est représenté par rapport à la force (points noirs sur la FigureII.23) et on y ajuste un modèle non-linéaire en puissances de logarithme (courbes rouges sur la FigureII.23).
On remarque qu’à partir de 5 tonf les coefficients ont une évolution linéaire, ce qui coïncide avec la linéarité observée sur les données de traction à partir de 5 tonf (cf. Figure II.17). Dans l’équationII.33, chaque coefficient est remplacé par le modèle logarithmique enF.
Cette méthode nous permet d’obtenir un modèle beaucoup plus fidèle aux observations des plus petites forces. Le problème est que ce modèle a également vocation à être utilisé pour
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Figure II.23 – Représentation des coefficients du modèle trigonométrique d’ordre 4 en fonction de la force
tandis que lors d’essais réels en rotation, ces forces sont beaucoup plus importantes, pouvant atteindre 100 tonf sur notre cas d’application. Cet ajustement sur les petites forces risquent de détériorer le modèle en extrapolation.
Comme on a pu vérifier que le modèle était linéaire à partir de 5 tonf, nous réalisons une ex-trapolation linéaire suivant la force en ajoutant plusieurs points entre 26 tonf et 100 tonf. Nous ajoutons 7 points de 40 à 100 tonf et nous obtenons l’évolution des coefficients du modèle par rapport à la force avec ces points supplémentaires à la Figure II.24. Nous obtenons le modèle représenté à la Figure II.25. Il semble bien ajuster les points d’observation. Le modèle obtenu divise l’erreur quadratique moyenne par 8.6. La qualité du modèle peut être vérifiée par le tracé du graphe réel contre observé de la Figure II.26. Plus les valeurs estimées de la déformation grâce au modèle sont proches des valeurs réelles, plus les points du graphe sont alignés sur la bissectrice. L’erreur faible entre les données estimées et les données réelles est confirmée par ce graphe. La fonction de transfert ainsi établie représente un bon ajustement des données et pourra être utilisée ensuite pour évaluer l’effort à partir des signaux de jauges mesurés lors des essais en rotation.
II.6 Méta-modélisation pour le cas test secondaire
Figure II.24 – Représentation des coefficients du modèle trigonométrique d’ordre 4 en fonction de la force avec ajout de points d’extrapolation
Figure II.25 – Fonction de transfert trigonométrique d’ordre 4 avec prise en compte de la force et de points d’extrapolation par rapport au déphasage et à la force
Le modèle que nous retenons pour cette étape de calibration de jauges est un modèle tri-gonométrique d’ordre 4 avec prise en compte de la force dans l’établissement des coefficients et ajout de points d’extrapolation. La construction de ce modèle n’est pas des plus standards. En effet, la forme de la fonction était imposée suivant une des deux variables, la position angulaire
II.7 Conclusion
Figure II.26 – Graphique réel contre observé pour le modèle trigonométrique d’ordre 4 avec prise en compte de la force et ajout de points d’extrapolation
de l’effort. Ce modèle est donc propre à cette situation, difficilement transposable à des cas autres que l’effort aux paliers.
7 Conclusion
Nous avons vu dans ce chapitre qu’il existait de nombreuses méthodes de réduction de la dimension et de méta-modélisation. Certaines sont d’ailleurs complémentaires, d’autres per-mettent de remplir ces deux objectifs simultanément. Chaque méthode s’applique à certains types de problèmes et dans certaines situations. Il est donc indispensable de bien décrire le problème et l’objectif de l’étude. Nous avons notamment pu constater sur le cas test principal que le criblage ne pouvait pas s’appliquer lorsque certaines expériences sont des échecs. Il faut alors appliquer d’autres méthodes de réduction de la dimension comme la sélection de modèle ou les indices de Sobol.
Les méthodes de méta-modélisation dépendent également du type de problème. Les méthodes usuelles peuvent être appliquées dans les cas les plus réguliers. Dans des cas plus particuliers comme pour le cas test secondaire, il faut faire appel à des méthodes moins traditionnelles assurant les conditions du problème.
Une fois la réduction de la dimension effectuée et le méta-modèle obtenu, nous pouvons effectuer les principales études du problème. Il s’agit notamment de l’optimisation et de la résolution
II.7 Conclusion
de problèmes inverses. Ces deux objectifs font l’objet des deux chapitres suivants. Le premier porte sur l’optimisation robuste dont les méthodes seront appliquées au cas test principal pour optimiser la masse du CHP.