Les formulations fournies dans cette section sont issues d’un travail de formalisation de la conception robuste effectué à Safran Aircraft Engine.
3.1 Conception admissible
Dans le code de calculs, chaque expérience est déterministe et les variables indépendantes de la conception,V, sont fixées à leur valeur caractéristiquev(c). Le but du code de calculs seul est de satisfaire les contraintes du système. Cela consiste donc à trouver des valeurs nominales u∗i des variables Ui telles que la fonction g(u∗, v(c)) ≥ 0, où g = (g1, ..., gm), soit satisfaite. La formulation mathématique de ce problème est le suivant
Trouveru∗Adm tel que g(u∗Adm, v(c))≥0. (III.7) Elle conduit à une conception admissible au nominal. Dans la pratique, pour garantir la meilleure performance possible, le concepteur cherchera à se rapprocher le plus possible de l’égalité.
3.2 Conception déterministe optimale
L’optimisation sans contrainte de la performance du système consiste à rechercher la concep-tion déterministe optimale, ce qui peut être formulé mathématiquement de la façon suivante
Trouver u∗Opt tel que u∗Opt= arg max
u∗
f(u∗, v(c)). (III.8)
III.3 Formulation du problème de conception robuste
L’analyse de sensibilité déterministe de la fonction f peut aider dans cette démarche en iden-tifiant la direction de recherche privilégiée de ce maximum. Il s’agit d’un problème d’optimi-sation sans contrainte pouvant conduire à une solution non admissible vis-à-vis des fonctions contraintes.
C’est pourquoi nous considérons plus généralement l’optimisation sous contraintes en ajoutant les contraintes de conception à la formulation précédente.
3.3 Conception optimale et admissible
Ceci conduit à la définition d’une conception optimale vis-à-vis de la fonction objectif et admissible vis-à-vis des fonctions contraintes, ce que l’on formule mathématiquement par
Trouver u∗OptAdm tel que
Il s’agit d’un problème classique d’optimisation sous contraintes sans incertitude sur les diffé-rentes variables.
3.4 Conception robuste
La résolution d’un problème de conception robuste passe par la considération des incerti-tudes sur les différentes variables en jeu et sur leur impact sur la fonction objectif et non sur les fonctions contraintes (cas de la fiabilité). La robustesse d’un système se mesure par son aptitude à avoir une performance optimale et insensible aux différentes sources d’incertitudes. Il s’agit d’une propriété locale qui consiste à faire un compromis entre moyenne et dispersion de la per-formance. La forme de la loi deU est fixée, sa dispersion est donc également fixée. Pour chaque valeur nominale u∗ évaluée, la loi de U est centrée sur u∗. Il s’agit de la loi conditionnelle de U sachant que E[U] =u∗. On note Uu∗(w) la variable aléatoire suivant cette loi conditionnelle et entachée d’incertitudes. On noteUu∗(wj), j = 1, . . . , N des réalisations de cette variable. De même V(wj), j = 1, . . . , N sont des réalisations de la variable V entachée d’incertitudes. La conception robuste est la conception qui rend optimale la robustesse du système. Cette robus-tesse peut être définie mathématiquement de différentes façons. Vu comme une optimisation bi-objectifs, le problème de conception robuste se présente de la manière suivante
Trouver u∗Rob tel que u∗Rob = arg min
u∗
{E[f(Uu∗(w), V(w))], V ar(f(Uu∗(w), V(w)))} (III.10)
III.3 Formulation du problème de conception robuste
Au sens de Taguchi, la robustesse est vue comme la maximisation de la fonction de perte, ou Signal-to-Noise Ratio (SNR). Le lecteur intéressé pourra se référer à (Trosset, 1996) où un état des lieux de la méthode Taguchi est réalisé. Lorsque la performance du système n’a pas de valeur cible, la fonctionMean Square Deviation(MSD) de Taguchi est définie par une espérance mathématique
Cet indicateur prend en compte l’espérance et la variance de la performance, dans le sens où E[(f(Uu∗(w), V(w)))2] =V ar(f(Uu∗(w), V(w))) + (E[f(Uu∗(w), V(w))])2.
De plus, il est lié au Signal-to-Noise Ratio (SNR) par la relation
SN R(u∗) =−10 log10(M SD(u∗)), (III.12) expression plus lisse et donc plus simple à optimiser. La formulation mathématique de la re-cherche de la conception robuste optimale est donc, au sens de Taguchi,
Trouver u∗Rob tel que u∗Rob = arg max
u∗
SN R(u∗), (III.13) ce qui est équivalent à trouver lesu∗ qui minimise M SD(u∗).
3.5 Conception robuste et admissible
Pour prendre en compte à la fois la robustesse de la conception sans perdre de vue que celle-ci doit être admissible vis-à-vis des fonctions contraintes, on considère la conception robuste et admissible formulée mathématiquement de la façon suivante
Trouver ¯DRobAdm tel que
C’est ce type de problème que nous tenterons de résoudre dans ce chapitre.
III.3 Formulation du problème de conception robuste
3.6 Choix de l’indicateur de robustesse
Nous avons considéré, dans la définition du problème de conception robuste III.13, l’indi-cateur de robustesse fourni par Taguchi, mais il en existe d’autres. Dans (Beyer and Sendhoff, 2007) est proposée une approche pondérée (Agregation Approach) qui consiste à définir un indicateur de la robustesse comme étant
I(u∗) = (1−β)E[f(Uu∗(w), V(w))] +βV ar(f(Uu∗(w), V(w))), β ∈[0,1]. (III.15) Le problème de conception robuste s’écrit alors
Trouver u∗Rob tel que u∗Rob = arg min
u∗
I(u∗). (III.16)
Cet indicateur pondéré permet de considérer simultanément l’espérance et la variance de la fonction objectif, en maximisant la première et en minimisant la seconde. La recherche de la conception robuste, qui est donc un problème d’optimisation multi-objectifs, peut présenter des difficultés puisque le fait de vouloir réduire la variance def peut être contradictoire avec le fait d’augmenter son espérance. Même lorsque les deux objectifs sont des objectifs de minimisation, il n’est pas rare qu’il s’agisse encore d’objectifs contradictoires. L’approche pondérée permet d’éviter ce problème et de n’effectuer qu’une optimisation mono-objectif. En effet, l’indicateur est une somme pondérée des fonctions objectifs et a pour vocation d’être minimisé. Cependant, si nous n’avons pas d’idée a priori sur le poids des deux objectifs, alors l’optimisation doit être effectuée pour plusieurs valeurs de β.
Pour chaque valeur deβ, on trouve une solution Pareto-optimale (Beyer and Schwefel,2002). Les solutions Pareto-optimales permettent de prendre en compte les contraintes puisqu’elles sont définies par rapport à la région réalisable. La définition ci-dessous est proposée dans (Coello et al., 2002).
Définition 3 (Solution Pareto-optimale). Soit un problème d’optimisation multi-objectifs (k ≥ 2objectifs) sous contraintes. On notef1, . . . , fk lesk fonctions objectifs à minimiser ou maximi-ser. Un point x∗ réalisable (satisfaisant toutes les contraintes) est une solution Pareto-optimale pour ce problème si pour tout x réalisable, on a une des deux situations suivantes :
i. ∀i∈[[1, k]], fi(x) =fi(x∗),
ii. ∃i∈[[1, k]], fi(x)> fi(x∗) dans le cas de la minimisation (fi(x)< fi(x∗) pour la maximi-sation).
III.3 Formulation du problème de conception robuste
Ces points constituent le front de Pareto, but de l’optimisation multi-objectifs. Ces solutions reposent sur le principe qu’il est impossible de trouver une solution meilleure sur un critère sans qu’elle soit plus mauvaise sur l’autre critère. On parle de solutions non dominées. Dans un cas bi-objectifs, le front de Pareto est représenté par une courbe avec en abscisse le premier objectif et en ordonnée le second, comme le montre la Figure III.5 dans le cas de deux minimisations.
Dans des cas à k >2 objectifs, le front de Pareto est une surface de dimension k−1. Le front
Figure III.5 –Exemple d’un front de Pareto
de Pareto est défini comme étant la frontière entre la région des points faisables (satisfaisant toutes les contraintes) situés au-dessus du front et celle des points infaisables (ne satisfaisant pas au moins une des contraintes), situés en-dessous. Les points blancs appartiennent donc au front de Pareto puisque ce sont des solutions Pareto-optimales. Par contre, le point gris, qui satisfait les contraintes, n’est pas Pareto-optimal puisqu’on peut trouver un point du front qui lui est meilleur vis-à-vis des objectifs.
Dans le cas de la conception robuste, l’espérance de f est en abscisse et la variance en ordon-née. Un problème de conception robuste sera donc vu comme la résolution d’une optimisation multi-objectifs sous contraintes. On a deux objectifs : minimiser ou maximiser l’espérance def et minimiser son écart-type.
Notons que d’autres quantificateurs de la robustesse sont disponibles dans la littérature, dans le cas où la fonction objectif a une performance cible. Dans ce cas, il s’agit de quantifier la robustesse par la probabilité que la performance cible ne soit pas atteinte, ce qui fournit un indicateur probabiliste de la robustesse établi de la manière suivante
I(u∗) =P(f(Uu∗(w), V(w))≤s).
La recherche de la conception robuste optimale consiste alors à résoudre le problème suivant
III.4 Méthodes de résolution d’un problème de conception robuste
Pour résoudre des problèmes d’optimisation multi-objectifs, différentes méthodes existent. Elles sont présentées à la section suivante. Certaines permettent de construire le front de Pareto tandis que d’autres cherchent un unique point solution fournissant un compromis entre les deux objectifs.