2.3 Cas bidimensionnel
2.3.4 Longueur moyenne de la portion du plan réfléchissant visitée
Nous avons discuté longuement la pertinence du découpage de l’enveloppe convexe en deux portions, séparées par la droite parallèle au plan réfléchissant passant par le point de départ (portions vers le plan et vers l’extérieur, voir figure 2.7). De manière complémentaire, il est possible d’obtenir une quantification supplémentaire intéressante de l’enveloppe convexe en étu-diant la longueur de la portion du plan réfléchissant visitée par le mouvement brownien au temps d’observation t15. Elle est définie comme la distance maximale entre deux points où la trajec-toire a touché le plan réfléchissant (voir figure2.13). Dans ce qui suit, nous allons déterminer la fonction d’échelle de la longueur moyenne de cette portion ˜E(x) ≡ hE(d, t)i/√Dt en fonction de la distance initiale au plan x = d/√
Dt. Nous examinerons tout d’abord le cas où le marcheur brownien part sur le plan réfléchissant, puis nous en déduirons le résultat dans le cas où le point de départ n’est plus situé sur le plan.
d
Figure 2.13 – Définition de la longueur de la portion du plan réfléchissant visitée E (d, t) au temps t pour un mouvement brownien partant d’une distance d du plan réfléchissant. Il s’agit en pratique de la portion d’enveloppe convexe située le long du plan réfléchissant, représentée par le segment bleu, l’enveloppe convexe étant symbolisée par les pointillés verts.
2.3.4.1 Cas particulier d’un mouvement brownien partant du plan
Déterminons tout d’abord la longueur moyenne de la portion du plan visitée dans le cas simple où la distance initiale vaut zéro, c’est-à-dire ˜E(0). La démonstration s’appuie sur des raisonnements déjà employés pour les calculs de maximum moyen de mouvement brownien effectués dans les paragraphes précédents.
La probabilité pour que la longueur de la demi-portion du plan visitée Edemi, définie comme la longueur de la portion visitée d’un seul côté du point de départ, soit plus petite que m est exactement la probabilité de survie de la trajectoire en présence d’une demi-droite absorbante le long du plan réfléchissant s’arrêtant à une distance m du point de départ (voir figure2.14(a))
Prob(Edemi< m) = S(m, π), (2.70)
correspondant également à la probabilité de survie dans un secteur angulaire absorbant d’angle au sommet 2π avec un point de départ situé à une distance m du sommet du secteur et paramétré
30 Chapitre 2. Enveloppe convexe d’un mouvement brownien confiné m demi-droite absorbante (a) m secteur angulaire absorbant (b)
Figure 2.14 – La probabilité de survie en présence du plan réfléchissant et de la demi-droite absorbante représentée en bleu (a) est égale à celle dans un secteur angulaire absorbant d’angle 2π avec un point de départ situé à une distance m du sommet du secteur angulaire et paramétré par l’angle ϕ0= π (b).
par l’angle ϕ0 = π (voir figure 2.14(b)). En introduisant la distance renormalisée u = m/√ Dt, cette probabilité de survie est donnée par
S(u, π) = erfu 2 + u π3/2exp −u 2 8 Z +∞ 0 dv exp −u 2 8 chv shv 2arctan 1 √ 2 shv4 ! (2.71)
d’après l’expression de la probabilité de survie dans un secteur angulaire que l’on établira dans la section2.4. En suivant les mêmes étapes que lors du calcul du maximum moyen dans la direction θ (équations (2.5) à (2.8)), on obtient l’expression de la longueur moyenne renormalisée de la portion du plan réfléchissant visitée (le double de la demi-portion Edemi)
˜
E(0) = 2 ˜Edemi(0) = 2 Z +∞
0
du [1 − S(u, π)] . (2.72)
Cette intégrale possède une expression analytique exacte ˜
E(0) = √2
π ' 1.128. (2.73)
On remarque que la longueur moyenne de la portion du plan visitée vaut exactement la moitié de l’extension moyenne de la trajectoire parallèlement au plan réfléchissant, ou encore la moitié de l’extension moyenne de la trajectoire en l’absence de confinement.
2.3.4.2 Cas général
Déterminons maintenant la longueur moyenne de la portion du plan réfléchissant visitée au temps t par un mouvement brownien partant d’une distance d quelconque du plan réfléchissant. Si la trajectoire ne touche pas le plan avant le temps t, la longueur de la portion visitée est nulle. En revanche, si le marcheur brownien touche le plan à un temps t0 < t, le calcul de la longueur
2.3. Cas bidimensionnel 31
moyenne de la portion visitée se ramène à celui de hE (0, t−t0)i. Par conséquent, hE (d, t)i s’obtient en moyennant sur tous les temps de premier passage par le plan réfléchissant possibles
hE(d, t)i = Z t
0
dt0P (d, tabs= t0)hE (0, t − t0)i (2.74)
avec P (d, tabs = t0) la densité de probabilité de premier passage sur le plan au temps t0 partant d’une distance d de celui-ci, donnée par [Redner 2001]
P (d, tabs= t0) =√ d 4πDt03/2 exp − d 2 4Dt0 . (2.75)
L’équation (2.74) prend la forme d’une convolution, c’est pourquoi il est pratique d’en prendre la transformée de Laplace16
h ˆE(d, s)i = ˆP (d, s)h ˆE(0, s)i. (2.76) Les deux transformées de Laplace mises en jeu valent respectivement
h ˆE(0, s)i = r D s3 (2.77) et ˆ P (d, s) = exp −dr s D . (2.78)
Après transformation inverse de Laplace, on obtient finalement l’expression analytique de la longueur moyenne de la portion du plan réfléchissant visitée au temps t en fonction de la distance initiale renormalisée x = d/√ Dt ˜ E(x) = √2 πexp −x 2 4 − x erfcx 2 (2.79)
qui est tracée sur la figure2.15.
Il s’agit sans grande surprise d’une fonction décroissante de la distance initiale au plan, le marcheur ayant d’autant moins l’occasion de revenir plusieurs fois sur le plan qu’il en part loin. Cette portion du plan réfléchissant visitée par le mouvement brownien correspond, comme mentionné dans la figure 2.13, à la portion rectiligne de l’enveloppe convexe qui est située le long du plan. Si l’on se ramène à la vision schématique de l’enveloppe convexe sous la forme d’un cercle en l’absence de confinement, cette portion rectiligne est le résultat de l’amputation de l’enveloppe convexe par le plan réfléchissant (voir figure2.7(b) et (c)). En effet, son existence est due à l’effet de réduction de l’espace accessible aux trajectoires, et sa longueur n’est donc significative que dans le domaine de distances initiales tel que l’effet de réduction de l’espace accessible est actif, en pratique x6 3, 5 (voir les figures2.8et2.15). L’effet de répulsion effective des trajectoires n’influe en revanche pas sur cette partie de l’enveloppe convexe, puisque celle-ci est incluse dans la partie de l’enveloppe convexe vers le plan. L’absence de compétition entre les
16. La transformée de Laplace d’une convolution n’est autre que le produit des transformées de Laplace des fonctions convoluées.
32 Chapitre 2. Enveloppe convexe d’un mouvement brownien confiné
Figure 2.15 – Tracé de l’expression (2.79) de la longueur moyenne renormalisée de la portion du plan réfléchissant visitée au temps t en fonction de la distance initiale au plan x = d/√
Dt.
deux effets antagonistes du plan réfléchissant explique donc la décroissance monotone de cette observable.
Avant de refermer ce chapitre sur l’enveloppe convexe d’un mouvement brownien, penchons-nous enfin sur un point technique qui est d’une utilité toute particulière dans l’étude du périmètre moyen de l’enveloppe convexe à deux dimensions : l’étude de la probabilité de survie dans un secteur angulaire d’angle quelconque.