Pour conclure ce chapitre sur l’étude du périmètre moyen de l’enveloppe convexe en présence d’un confinement partiel (point réfléchissant à une dimension et plan infini réfléchissant à deux dimensions), nous avons tout d’abord montré que l’extension moyenne du mouvement brownien à une dimension26 est une fonction croissante de la distance initiale au point réfléchissant et analytique à faible distance initiale.
Cette étude préliminaire nous a permis de mettre en évidence la spécificité du cas bidimen-sionnel, où le périmètre de l’enveloppe convexe est cette fois une fonction non monotone de la distance initiale au plan, et non analytique à faible distance initiale. L’existence de ce minimum, que nous avons démontrée en fournissant la valeur exacte du périmètre moyen à distance initiale nulle et son développement à petite distance initiale, résulte d’une compétition entre deux effets antagonistes du plan réfléchissant, d’une part une réduction de l’espace accessible et d’autre part une répulsion effective des trajectoires. Cette compétition se répercute en outre sur l’extension moyenne de la trajectoire dans une direction quelconque (autre que parallèlement et perpendi-culairement au plan réfléchissant) qui possède de même un minimum par rapport à la distance initiale au plan et une non analyticité à faible distance initiale.
Pour compléter cette analyse de l’enveloppe convexe en présence d’un plan réfléchissant, nous avons également déterminé la longueur moyenne de la portion du plan visitée par le mouvement brownien en fonction de la distance initiale au plan dont nous avons montré qu’elle décroît de manière monotone vers zéro. Par ailleurs, partant d’un besoin pratique pour l’évaluation numérique du périmètre moyen de l’enveloppe convexe, nous avons déterminé une expression légère de la probabilité de survie dans un secteur angulaire absorbant quelconque, dont l’étude possède un intérêt propre. La connaissance de cette expression permet en particulier d’obtenir de manière naturelle un développement à petit temps de la probabilité de survie dans un secteur angulaire, qui paraît inaccessible à partir de la formule de cette probabilité obtenue à l’aide des méthodes classiques.
L’étude réalisée dans ce chapitre met en évidence que le passage de la dimension un à la dimension deux modifie profondément le comportement du périmètre moyen de l’enveloppe convexe par rapport à la distance initiale. En effet, les propriétés d’analyticité de cette fonction à faible distance initiale et de monotonie par rapport à la distance initiale au plan en dimension deux diffèrent radicalement de celles obtenues en dimension un. La modification de ces deux propriétés découle en fait de l’importance que prend l’effet de répulsion effective des trajectoires à deux dimensions, qui est plus grande qu’à une dimension. Cette différence d’efficacité de la répulsion effective provient probablement de ce qu’à une dimension, il a un impact sur la
25. Le développement à petit temps (ou grande distance initiale) de la probabilité de survie suggère fortement une approche exponentielle de la valeur asymptotique 4/√
π de l’extension moyenne de l’enveloppe convexe obtenue en partant infiniment loin du plan réfléchissant.
26. Qui est l’équivalent unidimensionnel du périmètre de l’enveloppe convexe d’un mouvement brownien bidi-mensionnel.
2.5. Conclusion 45
position d’un point (l’extrémité droite de l’intervalle visité par le mouvement brownien) alors qu’à deux dimensions, il agit sur la position d’une courbe entière (la portion vers l’extérieur de l’enveloppe convexe), amplifiant ainsi son effet sur l’enveloppe convexe. Il est donc assez naturel de conjecturer que cet effet devrait être exacerbé à trois dimensions27, et probablement produire un minimum de la surface de l’enveloppe convexe plus prononcé que celui du périmètre moyen de l’enveloppe convexe à deux dimensions. Cette conjecture n’a pas été vérifiée pour l’instant, ni numériquement où il faudrait adapter l’algorithme de détermination de l’enveloppe convexe d’un nuage de points tridimensionnel, ni analytiquement où le calcul du périmètre de l’enveloppe convexe risque de se révéler encore plus ardu qu’à deux dimensions, notamment car il n’existe pas de généralisation de la formule de Cauchy à trois dimensions28.
On remarque sans surprise que l’effet principal du confinement, qui est ici un élément réfléchissant, est de réduire l’espace occupé par le mouvement brownien par rapport à la situation sans confinement, et en particulier le périmètre moyen de son enveloppe convexe. Cet effet est néanmoins d’amplitude assez faible, réduisant le périmètre moyen à une dimension de 4/√π ' 2, 26 à√π ' 1, 77, c’est-à-dire de 20% environ, et le périmètre moyen à deux dimensions de 4√
π ' 7, 09 à 2√πSi(π) ' 6, 57, c’est-à-dire de 7% environ. En effet, l’élément réfléchissant ne représente qu’un confinement partiel, c’est pourquoi la contrainte qu’il impose sur le mouve-ment brownien est relativemouve-ment faible, et ce d’autant plus que la dimension spatiale est élevée. On s’attend donc à ce que dans une situation équivalente à trois dimensions, c’est-à-dire pour un mouvement brownien tridimensionnel en présence d’un plan réfléchissant, la réduction du pé-rimètre de l’enveloppe convexe soit proportionnellement encore plus faible qu’à deux dimensions.
A l’issue de ce travail, plusieurs questions qui semblent intéressantes restent ouvertes. L’aire moyenne de l’enveloppe convexe d’un mouvement brownien bidimensionnel possède-t-elle les mêmes propriétés surprenantes que son périmètre moyen ? Que se passe-t-il en dimension supé-rieure ? Quel serait l’impact d’un autre type de confinement, absorbant ou de forme différente ? La question de l’aire moyenne de l’enveloppe convexe est plus complexe car elle fait intervenir la probabilité jointe du maximum de la trajectoire dans une direction et de l’instant auquel ce maximum a été atteint. Les simulations numériques29 semblent indiquer que cette observable est monotone par rapport à la distance initiale au plan, contrairement au périmètre moyen, en gardant néanmoins à l’esprit qu’elle peut posséder un minimum de faible amplitude noyé dans le bruit numérique. Une étude plus approfondie serait nécessaire pour donner un résultat fiable.
27. Où l’enveloppe convexe est un polytope dont la surface est l’équivalent du périmètre à deux dimensions. 28. A ma connaissance.
Chapitre 3
Temps de couverture de stratégies de
recherche aléatoire
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 47