Loi de Johnson-Cook

Cette loi est très répandue a été proposée en 1983 par Johnson et Cook [140]. Depuis lors, elle a été utilisée avec des variantes dans de nombreux cas [141-144].

σ = ( ( ) (IV.1) A, b, n et c sont les constantes définissant le matériau : A est contrainte limite d’élasticité, b est le taux d’écrouissage, n : l’exposant de l’écrouissage, C : le coefficient du taux de déformation et avec

la vitesse de déformation initiale.

Le premier facteur de l’expression donne la dépendance de la limite élastique à la déformation non linéaire, le deuxième facteur représente la sensibilité à la vitesse de déformation. Cette approche ne prend pas en compte les effets dus à l’histoire de la vitesse de déformation.

Ce modèle est une loi purement empirique. Il a rencontré beaucoup de succès vu sa simplicité et la grande disponibilité de paramètres pour déférents matériaux. De plus, ces paramètres peuvent être obtenus par un nombre peu élevé d’expériences. Des modèles plus complexes peuvent fournir une description plus précise du comportement du matériau, mais ces modelés plus complexes ne sont pas toujours aisément intégrables dans les codes de calcul commerciaux via les routines utilisateurs. L’inconvénient de ce modèle est la forme imposée de l’écrouissage du matériau (de type puissance). Le choix de ε0 influence la valeur du paramètre C : lors du processus d’identification des contraintes, on obtient une valeur déférente pour C si la valeur de ε₀ est modifié. Il n’y a pas d’unanimité dans la littérature concernant le choix de ε0, mais une valeur de ε0 = 1s− 1 est couramment utilisée.

La relation suivante a été supposée pour modéliser le comportement du matériau, qui est similaire à l'équation de Johnson-Cook. Cette loi a souvent été utilisée pour représenter le comportement de l’os [145,146]. Il s’agit d’un modèle simple destiné à modéliser le comportement des métaux à de grandes déformations, pour des vitesses de déformation, et utiliser pour décrire le comportement des matériaux soumis à des sollicitations dynamiques.

La loi est élastique linéaire jusqu’à la limite d’élasticité. La figure IV-3 représente la courbe contrainte-déformation dans la partie non linéaire. Quand la déformation maximale est atteinte, l’élément est supprimé.

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Figure IV-3 : La loi de Johnson-Cook utilisée pour représenter le comportement structurel de l’os.

La loi d’endommagement de Johnson-Cook est fréquemment utilisée pour analyser les structures osseuses sous chargement dynamique. Cette loi de durcissement est généralement mise en œuvre dans les codes EF, y compris ABAQUS / Explicit [147].

Le matériau présente un comportement élastique linéaire avant de subir une phase d’endommagement au delà d’un certain seuil d’endommagement fixé selon les caractéristiques mécaniques du matériau [148].

Les déformations et les contraintes dans chaque direction sont données par :

(IV.2) (IV.3) ^(IV.4) [ ] (IV.5) _{[ ]} (IV.6)

Les conditions pour ces équations sont :

(IV.7) Où 0 < d < 1 est le facteur d'endommagement.

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ε = εt ; d=0 ε = ε_m ; d=1

Cette loi a souvent été utilisée pour représenter le comportement de l’os. Il s’agit d’un modèle simple destiné à modéliser le comportement des matériaux à grande vitesse de déformations. Le comportement est élastique linéaire jusqu’à la limite d’élasticité ensuite, il devient non linéaire jusqu’a ε_t1. Au de cette valeur l’endommagement commence jusqu’à la rupture totale de l’os pour la déformation ε_m1 (Élimination de l’élément du maillage). Les paramètres JC utilisés dans les simulations sont donnés dans le tableau IV-1 [145,146].

Tableau IV-1 : Les paramètres Johnson-Cook utilisés dans la simulation.

A (Mpa) B (Mpa) C n

117 101 0.03 0.08

IV .4.Modélisation :

L’obtention du modèle 3D solide du fémur du patient consiste à prendre des images de la région d'intérêt à l'aide d'une technique d'imagerie médicale (CT-scan). L'épaisseur de chacune des tranches est de 1 mm pour la partie proximale jusqu'au le petit trochanter, et de 8 mm du petit trochanter à la partie la plus distale de la diaphyse. (Voir chapitre III)

Deux régions peuvent être distinguées (os cortical et os spongieux). La reconstruction 3D des deux régions se réalise séparément [149].

IV .4.1.Assemblage:

Afin de simuler la rupture de l’os sous chargement dynamique, nous avons obtenus la représentation complète de la jonction fémur/os coxal figure IV-4.

La structure complète permet de simuler la fracture pour différentes positions du corps humain (position assise) et aussi. Elle nous permet aussi de bien structurer les conditions des frontieres ( genou/hanche).

La tête fémorale est onboité dans la cavité coxale et l’épiphyse distal vas recevoir l’impact sous forme d’une plaque rigide associe à une masse qui nous permet de simuler l’effet de l'inertie.

La figure IV-4 montre une vue de gauche et une vue de dessous, l’orientation du bassin et le fémur dans la position "neutre". l'angle abduction / adduction du fémur a été fixé de telle sorte qu'une

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ligne reliant le point milieu des condyles fémoraux à la hanche et la perpendiculaire à une ligne reliant les centres de hanche gauche, où le centre d’articulations de la hanche a été estimé par la palpation de la tête du fémur.

L'articulation coxo-fémorale est modélisée comme des surfaces liées entre elles, elle est entièrement fixe tandis que la conjointe du pubis a été accueillie en plan sagittal. Les conditions aux limites sont considérées comme représentatives de la configuration anatomique [150] (figure IV-5). Par conséquent, trois simulations paramétriques d'impact frontal sont réalisées pour trouver les différentes zones de fracture.

. Figure IV-4 : Angles fémur bassin utilisé dans de la simulation du modèle.

Le fémoral mi-distale par rapport à l'axe de tête est perpendiculaire au plan coronal du bassin, et l'angle cuisse bassin a été positionné dans une position assise dans l'automobile qui se réfère à 120° entre le grand axe du fémur et le plan défini par les épines iliaques antéro-supérieures et la symphyse pubienne [153].

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