Loi de Beer-Lambert

où Ndiff est le nombre de particules diffusées par seconde, Ninc est le nombre de particules

incidentes par unité de temps et N/S est le nombre de particules cibles contenues dans la surface

S du faisceau incident. Tous les éléments du processus diffusif sont contenus dans la section

efficace de diffusion. Ce formalisme permet donc de traiter de la même manière la diffusion de particules (comme en physique nucléaire) ou la diffusion d’ondes (sonores ou lumineuses). Dans la suite, nous nous limiterons au cas des ondes lumineuses.

À ce titre, la section efficace de diffusion est telle que le produit σscIinc soit égal à la puis-

sance prélevée sur l’onde plane incidente et diffusée dans tout l’espace, Iinc étant l’intensité

(en W·m−2_{) de l’onde incidente. Cependant, la détection de la puissance diffusée ne peut pas}

se faire dans tout l’angle solide, la surface du détecteur ne couvrant pas tout l’espace. On ne mesure donc qu’une fraction de la lumière émise dans un angle solide donné. En outre, pour tenir compte du caractère anisotrope de la diffusion, nous introduisons une section efficace dif- férentielle notée dσsc

dΩ , voir figure I.1.1. La puissance diffusée dPsc dans la direction (θ, φ) dans

un angle solide élémentaire dΩ s’écrit :

dPsc= |Esc(r, θ, φ)|2r2dΩ. (I.1.3)

Par définition de la section efficace de diffusion, nous avons alors : dσsc dΩ = 1 Iinc dPsc dΩ . (I.1.4)

En utilisant l’équation (I.1.1), nous pouvons écrire explicitement la section efficace de diffusion différentielle :

dσsc

dΩ = |f(θ, φ)|2. (I.1.5)

σsc = Z 2π 0 dφ Z π 0 dθ sin(θ) dσsc dΩ . (I.1.6)

De la même façon, nous pouvons définir une section efficace d’extinction σext correspondant à

la puissance perdue par le champ soit par diffusion ou par absorption. Nous avons alors :

σext = σsc+ σabs, (I.1.7)

où σabs est la section efficace d’absorption. Pour les milieux non absorbant, ce qui est le cas pour

une vapeur atomique, σabs est nulle. Un résultat très important de la théorie de la diffusion des

ondes est le théorème optique. Celui-ci relie l’amplitude de diffusion vers l’avant (définie par

θ = 0) et la section efficace d’extinction selon :

σext =

4π

k × Im[f(0)], (I.1.8)

avec Im la partie imaginaire. Les conséquences de ce théorème sont à la fois pratiques et fondamentales. Il montre que l’extinction est due à l’interférence entre le champ incident et le champ diffusé vers l’avant. Il en découle donc que, pour un milieu non absorbant, la seule mesure (ou le calcul) du champ diffusé vers l’avant renferme toute l’information sur la diffusion. Le cadre de cette thèse est l’étude de la diffusion de la lumière dans un gaz d’atomes froids. Les diffuseurs, les atomes, ont donc une taille bien inférieure à la longueur d’onde de la lumière, le diamètre atomique étant de l’ordre du dixième de nanomètre alors que la longueur vaut typiquement quelques centaines de nanomètres. Nous sommes donc dans le régime de la diffusion Rayleigh. Les propriétés du champ rayonné par les atomes peuvent s’obtenir dans le cas de l’approximation dipolaire électrique. Celui-ci s’exprime en fonction de la polarisabilité atomique

αat, qui s’écrit dans le cas d’un atome à deux niveaux :

αat(δ) = −

3πΓc3

ω03

1

δ − iΓ/2, (I.1.9)

où Γ est largeur naturelle du niveau excité, ω0 est la fréquence angulaire de la transition

atomique et δ = ωL− ω0 est le désaccord de la pulsation de la lumière incidente par rapport

à la résonance. On peut alors montrer que l’amplitude de diffusion est proportionnelle à la polarisabilité atomique :

f(θ) = k

2

4παat(δ). (I.1.10)

Un commentaire s’impose à ce stade sur l’absence de dépendance angulaire de l’amplitude de diffusion dans l’expression précédente. En effet, cette non-dépendance traduit le fait que la diffusion est isotrope. Cela n’est vrai que dans l’approximation d’un atome à deux niveaux. Dans le cas non absorbant, l’application du théorème optique (I.1.8) donne la section efficace de diffusion d’un atome :

σsc(δ) =

3λ2

2π

1

1 + 4δ2_/Γ2. (I.1.11)

La section efficace de diffusion est donc maximale à résonance et on définit σ0 = 3λ 2

2π comme

la section efficace à résonance. Précisons que cette expression est valable dans le cadre de la réponse linéaire de l’atome à l’illumination par le laser incident. On voit aussi tout l’avantage de

z= 0 z= L

Onde collimat´ee : _Icoh(0) Onde transmise : Icoh(L) Milieu diffusant : σ , ρ

Figure I.1.2 – Illustration de la loi de Beer-Lambert dans un milieu infini dans la direction transverse et de longueur L. Le milieu est purement diffusant, de section efficace σsc, avec une densité ρ de diffuseurs.

la résonance atomique : σsc peut être modifiée de plusieurs ordres de grandeur juste en variant

la fréquence du laser. Par exemple, en décalant la fréquence du laser de deux largeurs naturelles par rapport à la résonance atomique, soit 2Γ, la section efficace de diffusion à ce désaccord est divisée par dix-sept. La section efficace de diffusion sera d’une grande importance dans la suite de ce manuscrit.

I.1.2. Loi de Beer-Lambert

Lorsque qu’une onde collimatée se propage dans un milieu désordonné, non absorbant, com- posé d’une multitude de diffuseurs, son amplitude décroît à chaque évènement de diffusion. L’énergie prélevée du mode cohérent (défini comme le mode se propageant vers l’avant) va être redistribuée dans l’espace. La dénomination cohérent provient du fait que ce champ conserve une relation de phase avec celui incident, avec lequel il peut interférer. En vertu du théorème optique, l’intensité cohérente s’écrit comme :

Icoh = |E0+ Esc|2 = |E0|2+ |Esc|2+ 2 Re[E0∗Esc], (I.1.12)

où ¯· est une moyenne d’ensemble. À cause de l’extinction par diffusion, on doit forcément avoir

Icoh < |E0|2, ce qui n’est possible qu’en tenant compte du terme d’interférences dans l’expression

précédente. C’est donc l’interférence entre le champ incident et le champ diffusé moyen qui est responsable de l’atténuation de l’onde dans le milieu.

Nous allons maintenant démontrer la loi de décroissance de l’intensité collimatée dans une géo- métrie très simple, indiquée sur la figureI.1.2. Considérons une onde plane se propageant selon la direction de l’axe Oz. Le milieu désordonné est supposé infini dans la direction transverse et constitué de particules susceptibles de diffuser la lumière et non absorbant. La densité de diffuseurs est notée ρ. La section efficace d’extinction se réduit alors à la section efficace de diffusion. Procédons à un bilan d’énergie sur une couche de largeur dz et de surface S :

Icoh(z + dz)S − Icoh(z)S = −(ρSdz) σscIcoh(z). (I.1.13)

Nous en déduisons donc que la diminution de l’intensité entre z et z + dz est due aux ρSdz diffuseurs contenus dans le volume. En intégrant l’expression (I.1.13) sur toute la longueur L

du milieu, nous obtenons finalement :

Icoh(L) = Icoh(0) e−ρσscL. (I.1.14)

L’intensité collimatée décroit donc de manière exponentielle quand elle se propage dans un milieu diffusant. L’énergie perdue est distribuée dans tout l’espace à cause de la diffusion, pour former ce que l’on appelle l’intensité diffuse. L’expression (I.1.14) est la loi de Beer-Lambert. Bien que nous nous sommes restreints à un milieu purement diffusant, on la retrouve aussi dans ceux purement absorbant. C’est le cas notamment en chimie où la mesure de l’absorbance d’une solution permet de remonter à ces constituants.

D’après le terme exponentiel de la loi de Beer-Lambert, nous pouvons définir une longueur caractéristique d’atténuation par diffusion de l’onde dans le milieu. Cette grandeur ℓsc s’ap-

pelle le libre parcours moyen et vaut ℓsc−1 = ρσsc, ce qui sera explicité à la section suivante.

En définitive, la mesure de la décroissance de l’intensité collimatée sur une distance L sert à caractériser les propriétés de diffusion du milieu dans lequel la lumière se propage, et donc à mesurer ℓsc.

Dans le cas qui nous intéressera au cours de cette thèse, le milieu diffusif est constitué d’atomes de rubidium refroidis. On peut définir alors une nouvelle grandeur à partir de la loi de Beer- Lambert : l’épaisseur optique. Elle s’écrit comme :

b(δ) = ρσsc(δ)L =

L ℓsc

. (I.1.15)

L’épaisseur optique permet de décrire la transparence d’un milieu vis à vis de l’onde incidente. Elle est évidemment maximale pour une onde à résonance avec la transition atomique. On peut réécrire la loi de Beer-Lambert pour faire intervenir l’épaisseur optique dans l’expression de la transmission Tat du milieu : Tat = Icoh(L) Icoh(0) = e−b(δ) = exp ₋ b0 1 + 4δ2_/Γ2 ! , (I.1.16)

où b0 = ρσ0L est l’épaisseur optique à résonance. Nous montrerons à la section I.2.1 le lien

direct entre épaisseur optique et évènement de diffusion.