Le Logos

Consideremos que Di = {yi, Ti, δi} representa o conjunto de dados observados para o in-

div´ıduo i. A verosimilhan¸ca para o processo longitudinal ser´a denotada por L1i enquanto que a

verosimilhan¸ca do processo de sobrevivˆencia ser´a denotada por L2i. A contribui¸c˜ao do i-´esimo

indiv´ıduo para a fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca do modelo conjunto PB-spline pode ser escrita como

Li(Ωi|Di) = L1i(bi, β1, β2, σ2|yi)L2i(β3, γ|Ti, δi), (5.23)

onde bi = (bi0, bi1, bi2, . . . , biQ)> e Ωi denota a colec¸c˜ao de todos os parˆametros do modelo,

inclu´ındo poss´ıveis parˆametros de regress˜ao,

L1i(bi, β1, β2, σ2|yi) = ni Y j=1 p{yi(tij)|bi, β1, β2, σ2} = = ni Y j=1 1 √ 2πσ2exp      − h yi(tij) −P Q q=1(β2q+ biq)Bq(t) − z>i β1− (β10+ bi0) i2 2σ2      (5.24) e L2i(β3, γ|Ti, δi) = P (T ≥ ti|β3, γ)1−δi×  − d dti P (T ≥ ti|β3, γ) δi = h(ti)δiS(ti). (5.25)

No caso de Ti∼ E(λi), sendo que λi = exp{z>i β3+ γy∗i(t)} temos que

Modelo DIC.L DIC.S DIC LPML.L LPML.S LPML D.I 13403.3 286.30 13689.60 -2945.64 -143.15 -3088.79 D.II 13379.1 285.15 13664.25 -2968.11 -142.29 -3110.40 D.III 13363.5 287.19 13650.69 -2958.58 -143.57 -3102.15 D.IV 13375.6 279.22 13654.82 -2942.57 -140.29 -3082.86 D.V 13322.0 280.19 13602.19 -2813.90 -141.56 -2955.46

Tabela 5.1: Modelos D - Valores para DIC e LPML para os modelos bayesianos conjuntos PB-spline.

e

S(ti) = exp{− exp{z>i β3+ γyi∗(t)}ti}. (5.27)

Por forma a termos a verosimilhan¸ca conjunta podemos simplesmente tomar o produto de todos os N indiv´ıduos para a verosimilhan¸ca

L(Ω|D) = N Y i=1 Li(Ωi|Di) = N Y i=1 L1i(bi, β1, β2, σ2|yi) × N Y i=1 L2i(β3, γ|Ti, δi). (5.28) 5.2.4 Ilustra¸c˜ao

Para os parˆametros da traject´oria longitudinal espec´ıfica de cada indiv´ıduo opt´amos pelas seguintes distribui¸c˜oes a priori : 1/σ2 ∼ IG(0.01, 0.01); β11, β12, β13 ∼ N (0, 100); β21, β22 ∼

N (0, 100); β_2q ∼ N (2β_2(q−1) − β_2(q−2), σ_β2

2), q = 3, . . . , Q; bi0, bi1, bi2 ∼ N (0, 100); biq ∼

N (2b_i(q−1)− b_i(q−2), σ_b2

i), q = 3, . . . , Q; γ ∼ N (0, 100). Al´em disto, escolhemos distribui¸c˜oes a

priori dos hiperparˆametros, conjugadas, isto ´e: 1/σ_β2

2 ∼ IG(0.01, 0.01); 1/σ

2

β3 ∼ IG(0.01, 0.01);

1/σ_b2

i ∼ IG(0.01, 0.01). Posto isto, a distribui¸c˜ao conjunta a posteriori de Ω ser´a proporcional a

L(Ω|D)π(σ2)π(γ)π(bi|σ2bi)π(β1|σβ12 )π(β2|σβ22 )π(β3|σ2β3)π(σ 2 β1)π(σ 2 β2)π(σ 2 β3). (5.29) 5.2.5 Resultados

Neste cap´ıtulo propusemos um modelo conjunto onde supusemos um modelo de riscos relati- vos com distribui¸c˜ao do risco de base Exponencial para o processo de sobrevivˆencia e um modelo longitudinal B-Spline com penaliza¸c˜ao tendo em conta a abordagem de Eilers e Marx (1996) e

Lang e Brezger(2004). Comparativamente aos modelos habituais, este modelo n˜ao-param´etrico n˜ao requer que a traject´oria longitudinal possua uma determinada forma ou tendˆencia e, por isso, possui um grau de flexibilidade maior, o que permite acomodar traject´orias n˜ao lineares e com alguma varia¸c˜ao.

O algoritmo MCMC foi realizado para 200 000 itera¸c˜oes de uma ´unica cadeia, sendo que as primeiras 100 000 itera¸c˜oes foram descartadas no per´ıodo de aquecimento. Utilizou-se um espa¸camento de 100 itera¸c˜oes devido `as elevadas autocorrela¸c˜oes presentes nas cadeias. O tempo de computa¸c˜ao foi de cerca de 34 horas. Uma an´alise dos habituais gr´aficos de diagn´ostico

5.2 Aplica¸c˜ao

Parˆametro M´edia IC 95% menor HPD % cobertura Submodelo longitudinal Ord. orig. (β10) 19.51 (17.41, 22.35) sexo (β11) -0.71 (−2.55, 1.06) (−1.38, 0) 56.14% idade.int (β12) -1.0 (−3.69, 1.8) (−2.08, 0) 55.14% IOPrev (β13) -1.20 (−2.95, 0.65) (−2.44, 0) 80.1% σ2 _{4.75 (4.413, 5.13)}

Submodelo de sobrevivˆencia ord. orig. (β31) -1.33 (−2.76, −0.16)

sexo (β32) 0.27 (−0.39, 1.06) (0, 0.42) 43.06%

idade.int (β33) 0.60 (−0.26, 1.39) (0, 1.22) 85.46%

IOPrev (β34) 0.66 (−0.06, 1.42) (0, 1.34) 91.49%

liga¸c˜ao (γ) -0.17 (−0.23, −0.10)

Tabela 5.2: Intervalos de credibilidade 95% HPD e m´edias a posteriori dos parˆametros do modelo conjunto D.V,

bem como o menor intervalo HPD que cont´em o zero e a sua percentagem de cobertura.

n˜ao revelou sinais alarmantes no que toca `a convergˆencia da amostra simulada. A abordagem baseou-se num n´umero fixo de fun¸c˜oes B-Spline igualmente espa¸cadas, pelo que n˜ao se colocou a quest˜ao de determinar a localiza¸c˜ao dos n´os. Este abordagem permitiu reduzir o n´umero de parˆametros a estimar. Brown et al. (2005), que utilizam B-Spline c´ubicas para modelar a traject´oria longitudinal, necessitam de uma muito maior quantidade de parˆametros para estimar a estrutura de covariˆancia dos efeitos aleat´orios.

Considerando os resultados presentes na tabela 5.1, o modelo a escolher ser´a o D.V, pois apresenta o menor valor do DIC e o maior valor do LPML. A tabela 5.2 apresenta as m´edias a posteriori e os respectivos intervalos 95% HPD. Verifica-se que, em ambos os processos, o intervalo de credibilidade 95% HPD para as covari´aveis de base, cont´em o zero. Uma inspec¸c˜ao mais aprofundada, nomeadamente atrav´es do c´alculo do menor intervalo de credibilidade HPD que cont´em o zero, indica-nos que podemos manter no modelo longitudinal a vari´avel IOPrev, e no modelo de sobrevivˆencia as vari´aveis idade.int e IOPrev, uma vez que o percentagem de cobertura do menor intervalo HPD que cont´em o zero ´e superior a 80%, como pode ser tamb´em visto na mesma tabela.

5.2.6 Predi¸c˜oes

A utiliza¸c˜ao de fun¸c˜oes PB-Spline para modelar a traject´oria longitudinal das contagens de CD4 pode capturar uma boa parte das caracter´ısticas individuais espec´ıficas da variabilidade do CD4 ao longo do tempo (vide figura 5.2). Al´em disso, para os ´ultimos pontos longitudinais, quando est˜ao dispon´ıveis menos dados, o modelo tem a particularidade de ponderar toda a tra- ject´oria m´edia da popula¸c˜ao em vez de, simplesmente, continuar com uma traject´oria ascendente ou descendente.

A figura 5.2 mostra a traject´oria preditiva e a respectiva probabilidade de sobrevivˆencia preditiva ap´os a ´ultima contagem de CD4, baseada no modelo D.V com uma distribui¸c˜ao Expo- nencial para 11 indiv´ıduos, os quais foram escolhidos de forma aleat´oria entre os que morreram,

Modelo DIC LPML Modelo DIC LPML B.II Exp 13999.2 -3205.43 C.II Exp 14139.16 -3189.20 B.II Weib 13962.2 -3182.54 C.II Weib 14123.17 -3165.73 B.IV Exp 14738.5 -3005.44 C.IV Exp 14567.31 -3082.78 B.IV Weib 14528.9 -3002.69 C.IV Weib 14625.45 -3083.16 B.V Exp 14570.2 -3011.32 C.V Exp 14455.9 -3105.70 B.V Weib 14619.2 -3027.26 C.V Weib 14695.2 -3110.29 B.VIII Exp 14683.4 -3062.75 C.VIII Exp 14888.9 -3133.14 B.VIII Weib 14587.5 -3028.32 C.VIII Weib 14737.76 -3114.04 D.V 13602.2 -2955.46

Tabela 5.3: Valor do DIC e do LPML para a compara¸c˜ao dos resultados entre alguns dos modelos B, C e D

utilizando a amostra dos 500 indiv´ıduos.

mas que n˜ao faziam parte da amostra inicial sobre a qual o modelo foi ajustado. Verifica-se que o modelo prevˆe, por exemplo, no caso do paciente 1129, um tempo de sobrevivˆencia bastante curto. Talvez devido `a sua medida inicial de CD4 ser bastante baixa, aliada ao facto de a tra- ject´oria apresentar um declive negativo. Isto poder´a indiciar que o tempo de sobrevivˆencia para aqueles que iniciam a terapia com n´ıveis de CD4 bastante baixos, venha a ser inferior ao dos restantes. Para os indiv´ıduos que apresentam uma traject´oria longitudinal com perfil claramente ascendente (pacientes 767 e 1415) o modelo prevˆe que n˜ao venham a sofrer o evento de interesse dentro do intervalo de tempo considerado nas predi¸c˜oes.