L’éthos

Uma fun¸c˜ao B-spline de grau p ´e um conjunto de “partes” (ou tro¸cos) polinomiais de grau p ligadas entre si de uma maneira “especial”. Os n´os κ = {κ0, κ1, . . . , κv} dividem o intervalo

de varia¸c˜ao dos dados, [xmin, xmax], da seguinte forma:

xmin = κ0 < κ1< . . . < κv−1< κv = xmax. (5.4)

Encarado desta forma, v ´e o n´umero de intervalos em que os n´os dividem o intervalo dos dados. Os pontos κint= {κ1, . . . , κv−1} s˜ao ditos n´os internos. Vamos apenas considerar o caso em que

os n´os s˜ao igualmente espa¸cados.

Uma B-spline de grau 1 ´e uma fun¸c˜ao constitu´ıda por dois tro¸cos lineares entre 3 n´os. Uma B-spline de grau 2 ´e constitu´ıda por fun¸c˜oes quadr´aticas, equanto que uma B-spline de grau 3 ´e constitu´ıda por fun¸c˜oes c´ubicas. Note-se que cada fun¸c˜ao B-spline c´ubica ´e positiva num dom´ınio definido por 5 n´os adjacentes e ´e constitu´ıda por 4 tro¸cos polinomiais de grau 3 que se unem nos n´os. Nos pontos de jun¸c˜ao, n˜ao s˜ao apenas as ordenadas que coincidem, mas tamb´em as primeira e segunda derivadas. Algumas das caracter´ısticas mais relevantes duma fun¸c˜ao B-spline de grau p s˜ao resumidas a seguir (Eilers e Marx,1996):

• ´e constitu´ıda por p + 1 tro¸cos polinomiais, cada um de grau p; • os tro¸cos juntam-se em p n´os interiores;

• nos pontos de jun¸c˜ao as derivadas at´e `a ordem p − 1 s˜ao cont´ınuas; • ´e positiva num dom´ınio definido por p + 2 n´os adjacentes;

• intersecta at´e 2p fun¸c˜oes B-spline vizinhas;

• em cada ponto do intervalo [x_min, xmax] h´a p + 1 fun¸c˜oes B-spline n˜ao nulas;

5.1 Regress˜ao PB-spline

• o n´umero de fun¸c˜oes B-spline necess´arias para cobrir todo o intervalo [xmin, xmax] ´e de

v + p;

• o n´umero total de n´os necess´arios `a constru¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes B-spline requeridas ´e v + 2p + 1.

As fun¸c˜oes B-spline s˜ao muito ´uteis como fun¸c˜oes de uma base a utilizar num quadro de regress˜ao n˜ao-param´etrica. A representa¸c˜ao da fun¸c˜ao m(x) em B-splines ´e dada por

m(x; b, p) =

Q

X

q=1

bqBq(x; p), (5.5)

onde Bq(x; p) s˜ao as fun¸c˜oes B-spline de grau p que constituem a base da curva m(x) e b =

(b1, . . . , bq)> representa o vector dos coeficientes de regress˜ao.

Ao considerarmos o conjunto de n´os internos {κ1, κ2, . . . , κv−1}, estes definem v tro¸cos de

igual amplitude, sendo necess´arios 2p + 2 n´os extra para definirmos as fun¸c˜oes de base B-spline, totalizando K = v − 1 + 2p + 2 n´os. Assim, o conjunto completo de n´os ´e dado por

{κ−p < . . . < κ0 = xmin < κ1< κ2 < . . . < κv−1< κv = xmax< . . . < κv+p}.

Dado que esta nota¸c˜ao poder´a causar algumas dificuldades definimos daqui em diante, sem perda de generalidade, que o conjunto completo dos n´os para as fun¸c˜oes B-spline B(x; p) ´e dado por

{κ₁ < κ2 < . . . < κK}. (5.6)

Um exemplo simples de uma base de fun¸c˜oes B-spline c´ubicas, surge na figura 5.1, onde s˜ao vis´ıveis 8 fun¸c˜oes B-spline c´ubicas. Neste caso, v = 5 e considera-se que o intervalo de varia¸c˜ao dos dados ´e [0, 1]. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x B[, 1] −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Figura 5.1: Base de B-splines - B-spline c´ubicas (p = 3) com 4 n´os internos {0.2, 0.4, 0.6, 0.8} igualmente

espa¸cados. Considera-se que os dados variam no intervalo [0, 1]. No caso necessitamos de 8 n´os adicionais, totalizando 12 n´os {−0.6, −0.4, −0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1.2, 1.4, 1.6} igualmente espa¸cados.

O n´umero, Q, de fun¸c˜oes que formam a base B-spline, o n´umero total de n´os, K, e o grau da fun¸c˜ao B-spline, p, est˜ao relacionados atrav´es da f´ormula K = Q + p + 1. Repare-se que os ´ındices, q, das fun¸c˜oes B-spline, Bq, se referem ao n´o onde come¸cam a ser n˜ao nulas. Por

conseguinte, B1 refere-se `a fun¸c˜ao B-spline que se inicia em κ1 e assim sucessivamente1.

Os termos Bq(xi; p) em (II-5.5), denotam o valor da q-´esima fun¸c˜ao de base B-spline no

ponto xi e podem ser usadas como novas covari´aveis. Portanto, podemos definir o modelo de

regress˜ao B-spline a partir de (II-5.3) , em nota¸c˜ao matricial, por

E(y) = η = (η1, . . . , ηN)>= Bb + Zβ (5.7)

onde a matriz de delineamento B ´e composta por fun¸c˜oes da base B-spline avaliadas em xi, isto

´e, B =     B1(x1) . . . BQ(x1) .. . ... ... B1(xN) . . . BQ(xN)     , (5.8)

e a linha i da matriz de covari´aveis Z coincide com z>_i , sendo b = (b1, . . . , bq)> e β os vectores

dos coeficientes de regress˜ao associados.

Existem, essencialmente, duas formas para construir fun¸c˜oes de base B-splines de grau p. A mais comum ´e atrav´es de um algoritmo recursivo (de Boor, 1978), onde as fun¸c˜oes B-spline de grau p v˜ao sendo obtidas a partir de B-splines de grau p − 1. A outra, usada para construir a figura5.1, ´e atrav´es da diferen¸ca entre fun¸c˜oes potˆencia truncadas (TPF) (Eilers e Marx,2004). A obten¸c˜ao de uma fun¸c˜ao Bq(x; p) pode ser conseguida da seguinte forma:

Bq(x; p) =

(−1)p+1_∆p+1_G q(x; p)

hp_p! , (5.9)

onde h ´e a diferen¸ca (constante) entre dois n´os consecutivos. ∆αj=αj − αj−1 representa as

diferen¸cas de ordem 1, ∆2αj=∆(∆αj)=αj− 2αj−1+ αj−2 representa as diferen¸cas de ordem 2,

e assim por diante. Gq(x; p)=(x − κj)p1(x > κj) s˜ao as fun¸c˜oes potˆencia truncadas e {κj, j =

1, . . . , K} ´e o conjunto de n´os necess´arios `a constru¸c˜ao da base. Este resultado apenas ´e v´alido para n´os igualmente espa¸cados. Para uma escolha arbitr´aria dos n´os os resultados s˜ao mais complicados, podendo ser consultados emde Boor(2001).

Num contexto de regress˜ao, e considerando um conjunto de N pontos (xi, yi), i = 1, . . . , N ,

podemos obter um ajuste “suave” da curva que cont´em os valores E(Yi) atrav´es da utiliza¸c˜ao de

fun¸c˜oes B-spline calculadas sobre xi, considerando um pequeno n´umero, Q, de fun¸c˜oes de base.

Em vez disso,Eilers e Marx(1996) sugerem que se tome um n´umero elevado de n´os equidistantes (usualmente entre 20 e 40) e que se penalize a variabilidade associada aos coeficientes bq, que no

caso significar´a penalizar a rugosidade baseada nas diferen¸cas (geralmente de 1a_{ou de 2}a_ordem)

entre coeficientes adjacentes das B-splines, bq, por forma a garantir uma suaviza¸c˜ao suficiente

das curvas ajustadas. Aqui radica o nome fun¸c˜ao B-spline penalizada, a qual ´e alvo de uma

1

A forma de definir as fun¸c˜oes de base, B-spline, que aqui se apresenta, onde todas as fun¸c˜oes apresentar˜ao a mesma forma, contrasta com outras onde nas proximidades dos extremos do intervalo de varia¸c˜ao de x, as fun¸c˜oes de base tˆem formas distintas, como por exemplo as B-splines naturais

5.1 Regress˜ao PB-spline

maior aten¸c˜ao na sec¸c˜aoII-5.1.2.