2.2 Logique(s)
2.2.1 Logique du premier ordre
On étend la définition de signature pour y inclure des symboles de prédicat.
Définition 2.18 (Signature). Une signature du premier ordre est un triplet (F, P, a)
constitué d’un ensemble des symboles de fonctionF, d’un ensemble de symboles de
pré-dicat distincts des symboles de fonctionP, et d’une fonction d’arité deF ∪P dans N.
La définition des termes est inchangée.
Définition 2.19(Formule). Étant donnés une signatureΣet un ensemble dénombrable
de variablesV, étant donné un symbole de prédicatA d’arité n dansΣ et (t1, . . . , tn)∈
T(Σ, V)n, on dit que A(t1, . . . , tn) est une proposition atomique.
On définit alors l’ensemble des formules de la logique du premier ordre par la
gram-maire suivante :
P ::=A | ⊥ | ⊤ | ¬P |P ∧P |P ∨P |P ⇒P | ∀x, P | ∃x, P
où x appartient à V et A a valeur dans les propositions atomiques.
On utilisera les notationsA⇔B pour(A⇒B)∧(B ⇒A) et, pour tout ensemble fini
de formulesΓ ={P1, . . . , Pn}, on noteraVΓpourP1∧ · · · ∧Pn etWΓpourP1∨ · · · ∨Pn.
Le quantificateur universel∀et le quantificateur existentiel∃lient une variable. Il faut
donc définir l’ensemble des variables libres apparaissant dans une formule :
Définition 2.20(Variables libres). L’ensemble desvariables libres F V(P)apparaissant
dans une formule est défini par :
– F V(A(t1, . . . , tn)) =S
1≤i≤nF V(ti);
– F V(⊥)
déf= F V(⊤)
déf= ∅;
– F V(¬P)
déf= F V(P);
– F V(P∧Q)
déf= F V(P ∨Q)
déf= F V(P ⇒Q)
déf= F V(P)∪F V(Q);
– F V(∀x, P)
déf= F V(∃x, P)
déf= F V(P)\ {x}.
Il faut alors considérer les formules àα-conversion près : siy6∈F V(P) alors∀x, P et
∀y, {y/x}P sont les mêmes formules.
On peut définir un ordre bien fondé sur les formules :
Définition 2.21 (Ordre sous-formule). L’ordre sous-formule > est le plus petit ordre
sur les formules tel que
– ¬P > P ;
– P ∧Q > P et P∧Q > Q, de même pour P∨Q et P ⇒Q;
– ∀x, P >{t/x}P pour tout terme t, de même pour∃x, P.
La logique classique du premier ordre peut être définie grâce à sa sémantique.
Définition 2.22 (Modèle classique). Étant donnés une signatureΣ, unmodèle pour la
logique classique du premier ordre est définit par un ensemble non videDappelé support
du modèle, une fonction fˆ:Dn→Dpour chaque symbole de fonction f d’aritén et un
ensemble Pˆ ⊆Dn pour chaque symbole de prédicatP d’aritén dansΣ.
Unevaluation est une fonction de V dansD.
Étant donnée une valuationρ, on définit une interprétation sur les termes par
induc-tion sur leur structure :
– [[x]]ρ=ρ(x)
– [[f(t1, . . . , tn)]]ρ= ˆf([[t1]]ρ, . . . ,[[tn]]ρ)
puis on définit la relation suivante entre le modèle et une formule par induction sur la
formule :
– m|=ρA(t1, . . . , tn) ssi ([[t1]]ρ, . . . ,[[tn]]ρ)∈Aˆ
– m6|=ρ⊥
– m|=ρ⊤
– m|=ρ¬P ssi m6|=ρP
– m|=ρP ∧Q ssi m|=ρP et m|=ρQ
– m|=ρP ∨Q ssi m|=ρP ou m|=ρQ
– m|=ρP ⇒Qssi m|=ρP impliquem|=ρQ
– m|=ρ∀x, P ssi pour tout d∈D on am|=ρ
′P où ρ′ est la valuationρ sauf pour x
à qui elle associe d.
– m|=ρ∃x, P ssi il existe un élémentd de D tel quem|=ρ
′P où ρ′ est la valuation
ρ sauf pour x à qui elle associe d.
Finalement,m|=P ssi m|=ρP pour toute valuation ρ.
De façon équivalente, on peut dire que l’on interprète les symboles de prédicats d’arité
npar une fonction deDn dans{0; 1}. On dit alors que0et1sont desvaleurs de vérité.
C’est cette définition qu’il est plus facile de généraliser pour d’autres logiques.
On parle de logique propositionnelle du premier ordre quand on se restreint aux
for-mules sans quantificateurs. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de parler de termes,
puisqu’on peut utiliser un prédicat nullaire At
1,...,t
nau lieu de la proposition atomique
A(t1, . . . , tn). Pour distinguer, on parle alors parfois de logique des prédicats du premier
ordre quand on autorise les quantificateurs.
Pour définir des systèmes d’inférence, nous aurons besoin de schéma de formules, avec
des variables pouvant être substituées par des formules.
Définition 2.23 (Méta-formule). On considère un ensemble dénombrable M V de
va-riables appelées à jouer un rôle particulier dans les règles d’inférence des systèmes de
déduction, les méta-variables. On considère également des ensembles dénombrables de
variables propositionnelles P Vn pour chaque arité n.
Étant donnée une signature du premier ordre(F, P, a) et un ensemble de variablesV,
uneméta-formulesera une formule du premier ordre sur la signature(F, P∪S
n
P Vn, a′)
aveca′(X) =nsiX ∈P Vneta′(f) =a(f)sinon, et les variablesV∪M V, autrement dit
les termes pourront contenir des méta-variables et les variables propositionnelles pourront
être utilisées comme des symboles de prédicat.
L’intérêt des méta-formules réside dans leur instanciation : on obtient une instance
d’une méta-formule en lui appliquant une substitution qui associe une variable à une
méta-variable, un terme quelconque à une variable non méta, et une formule dans
la-quelle on a distingué un nombre de variables égal à son arité à une variable
proposition-nelle. L’application d’une substitution σ à X(t1, . . . , tn) renvoie σ(X) dans laquelle on
a remplacé lesn variables libres distinguées par l’application deσ à t1, . . . , tn.
Il est également possible de définir la logique intuitionniste du premier ordre à l’aide
de sa sémantique, principalement par deux méthodes distinctes : les algèbres d’Arend
Heytinget les modèles de SaulKripke. Toutefois, il nous semble plus clair de la définir
comme la logique associée à la déduction naturelle (voir la section suivante).
Logique multisortée
En logique du premier ordre monosortée, tous les objets ont le même statut, et sont
interprétés dans le même domaine. Toutefois, on a parfois envie de distinguer différents
types d’objets, pour clarifier les formules. La logique du premier ordre multisortée permet
ceci, en généralisant la notion d’arité.
On se donne un ensemble de sortesS, et on choisit l’arité d’un symbole de fonction
ou d’un prédicat parmi les listes finies d’éléments de S. La coarité d’un symbole de
fonction sera un élément de S (son « type de retour »). Pour chaque sorte s de S on
considère un ensemble dénombrable de variable Vs. Pour une sorte s ∈ S l’ensemble
des termes de sorte s noté Ts Σ,(Vs)s∈S
est le plus petit ensemble contenant Vs et
tel que si f est un symbole d’arité s1, . . . , sn et de coarité s, si ti ∈ Ts
iΣ,(Vs)s∈S
alors f(t1, . . . , tn) ∈ Ts Σ,(Vs)s∈S. De même une proposition atomique A(t1, . . . , tn)
est construite à partir d’un symbole de prédicatA d’arité s1, . . . , sn et de (t1, . . . , tn)∈
Ts
1Σ,(Vs)s∈S
× · · · × Ts
nΣ,(Vs)s∈S. Pour plus de clarté, on indiquera en exposant
la sorte des variables, par exemplexs∈Vs.
Il faut aussi étendre la notion de modèle : un modèle est donné par un support Ds
pour chaques∈S, des interprétations de chaque symbole de fonction d’arités1, . . . , sn
et de coarité s par une fonction deDs
1× · · · ×Ds
ndans Ds, et des interprétations de
chaque symbole de prédicatAd’arités1, . . . , snpar un sous-ensemble deDs
1× · · · ×Ds
n.
Une valuation est donnée par une fonction de Vs dans Ds pour chaque s ∈ S. Tout le
reste fonctionne alors comme dans le cas monosorté.
Il est possible de traduire la logique multisortée en logique monosortée en ayant recours
à des prédicats d’arité 1 pour chacune des sortes, par exempleS pour la sorte s, et des
axiomes pour traduire les arités de symboles de fonctions (par exemple pourf : [s1; s2]→
s on a ∀x, S1(x) ⇒ ∀y, S2(y) ⇒S(f(x, y))) ainsi que l’existence de termes pour toute
sorte (pour toute sorteson considère un axiome∃x, S(x)). On traduit alors les formules
par induction :
|A(t1, . . . , tn)|
déf= A(t1, . . . , tn)
|P ∧Q|
déf= |P| ∧ |Q| et de façon similaire pour ∨, ⇒, ¬
|∀xs, P|
déf= ∀x, S(x)⇒ |P|
|∃xs, P|
déf= ∃x, S(x)∧ |P|
Les formules sont alors démontrables en logique multisortée ssi leur traduction l’est en
logique monosortée avec les axiomes supplémentaires.
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Bonnes démonstrations en déduction modulo
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