Litt´ erature math´ ematique sur la loi d’Eyring-Kramers

Cette section a pour but de rappeler les contributions math´ematiques obtenues jusqu’ici concernant la loi d’Eyring-Kramers. Le lecteur peut se r´ef´erer `a l’article [3] pour une revue sur le sujet ainsi que pour une explication des diff´erentes techniques utilis´ees. Il y a deux approches qui se d´etachent dans la litt´erature: les approches globales et les approches locales.

A.3.2.1 Les approches globales

Les approches globales reposent sur l’´etude `a basse temp´erature (h → 0) des valeurs propres du g´en´erateur infinit´esimal L(0)_f,h de la diffusion (1) sur tout l’espace Rd. Il est possible de montrer, que si le potentiel f a m minima locaux not´es {x1, ...., xm}, alors

l’op´erateur (A.24) a exactement m valeurs propres exponentiellement petites dans la limite h → 0 que l’on note {λ1, λ2, ..., λm} avec λ1 = 0 < λ2 ≤ .... ≤ λm. De plus, les

m − 1 valeurs propres {λ2, ..., λm} satisfont une loi d’Eyring-Kramers. En effet, on peut

montrer que si l’on suppose que pour chaque k ∈ {2, ..., m} il existe un unique point zk

tel que f (zk) = inf γ∈P(xk,Bk) sup t∈[0,1] f (γ(t))

o`u Bk est une r´eunion de petites boules centr´ees en chacun des minima locaux de f plus

que γ(0) = xk et γ(1) ∈ Bk. , alors dans la limite h → 0 λk = |λ(zk)| 2π pdet Hessf(xk) |pdet Hessf(zk)| e−h2(f (zk)−f (xk))(1 + o(h)), (A.32)

o`u λ(zk) est la valeur propre n´egative de la matrice hessienne de f en zk. Pour faire le

lien avec la Section A.1.2.1 et plus pr´ecis´ement avec la formule (A.4), le point zk est le

point selle de plus basse ´energie qui connecte xk`a tous les autres minima locaux de f qui

sont plus bas en ´energie que xk. Dans les articles [6,7,27], chacune des valeurs propres λk

(pour k ∈ {2, ..., m}) a ´et´e reli´ee au temps moyen mis par le processus (1) pour aller d’un minimum local xk `a un autre minimum plus bas en ´energie et une approche bas´ee

sur la th´eorie du potentiel a permis d’obtenir la formule (A.32). Dans [36], l’utilisation de techniques d’analyse semi-classique a aussi permis d’obtenir (A.32).

Citons par ailleurs le travail r´ecent [58] qui g´en´eralise les r´esultats obtenus dans [36]. Le lecteur peut aussi se r´ef´erer aux travaux plus anciens [59], [44], [17], [18], [16]. Les r´esultats qui d´ecoulent d’une approche globale permettent d’avoir acc`es aux comporte- ments asymptotiques `a basse temp´erature des temps moyens successifs pour aller d’un minimum local vers le minimum global. Ils ne permettent pas d’obtenir la formule d’Eyring-Kramers pour tous les taux de transition.

Ces approches globales sont utilis´ees pour construire une dynamique markovienne en projetant `a l’aide d’une m´ethode de Galerkine le g´en´erateur infinit´esimal de la diffu- sion (1) sur l’espace propre associ´e aux m petites valeurs propres {λ1, ..., λm}. Cette

projection permet d’avoir une tr`es bonne approximation du g´en´erateur infinit´esimal `a basse temp´erature. Ceci a ´et´e largement ´etudi´e par Sch¨utte et ses collaborateurs [66] en partant du travail [65]

A.3.2.2 Les approches locales

Dans cette th`ese nous adoptons une approche locale: nous ´etudions l’´ev´enement de sor- tie d’un domaine Ω ⊂ Rd (le point sortie et le temps de sortie) `a basse temp´erature. La th´eorie des grandes d´eviations.

L’approche la plus connue pour ´etudier l’´ev´enement de sortie `a basse temp´erature est sans doute la th´eorie des grandes d´eviations d´evelopp´ee par Freidlin et Wentzell dans les ann´ees 1970 et dont le livre [30] r´esume les principaux travaux. Cette th´eorie re- pose principalement sur l’´etude de petits bouts de processus d´efinis `a l’aide d’une suite croissante de temps d’arrˆet. La notion de fonction de taux y est fondamentale: elle donne le coˆut d’une d´eviation du processus par rapport `a une trajectoire d´eterministe (la premi`ere utilisation de la fonction de taux est due `a Schilder [62] pour un mouvement Brownien).

Voici quelques r´esultats typiques dus `a Freidlin et Wentzell (cf. [30, Th´eor`eme 2.1, Th´eor`eme 4.1, Th´eor`eme 5.1]). Soit Ω un domaine ouvert born´e C∞. Rappelons que τΩ d´esigne le premier temps de sortie de Ω, cf. (A.19). Supposons que ∂nf > 0 sur

∂Ω et que f a un unique point critique x0 dans Ω qui est non d´eg´en´er´e et tel que

f (x0) = min_Ωf . Alors pour tout x ∈ Ω:

lim

h→0h ln E x_τ

Ω = 2(inf

De plus, pour tout x ∈ Ω tel que f (x) < inf∂Ωf et pour tout δ > 0, il existe δ0 ∈ (0, δ]

tel que pour tout y ∈ ∂Ω:

lim

h→0h ln P x_|X

τΩ− y| < δ0 = 2(f (y) − inf

∂Ωf ).

Enfin, si l’infimum de f sur ∂Ω est atteint en un seul point y0 ∈ ∂Ω, alors pour tout

δ > 0:

lim

h→0P x_|X

τΩ− y0| < δ = 1.

En d’autres termes, quand la temp´erature tend vers 0, le processus sort de Ω autour y0. Un autre r´esultat dˆu `a Day [19] affirme que sous les hypoth`eses ´enonc´ees ci-dessus,

lorsque h → 0, le temps de sortie τΩ converge en loi vers une variable exponentiellement

distribu´ee de param`etre λh et pour tout x ∈ Ω

lim

h→0λhExτΩ = 1,

o`u λh est la plus petite valeur propre de −LD,(0)_f,h (Ω) (cf. Proposition A.5). Les

r´esultats issus des grandes d´eviations s’appliquent dans des situations bien plus g´en´erales que celles que que l’on utilise dans cette th`ese (par exemple `a des fonctions f ayant plusieurs points critiques dans Ω ou `a des processus non r´eversibles [5]...). Toutefois, trois probl`emes se posent si l’on veut prouver la formule d’Eyring-Kramers `a l’aide des r´esultats issus de la th´eorie des grandes d´eviations: le premier est qu’il est souvent bien difficile de calculer explicitement l’´energie d’activation, le second est que les r´esultats ne permettent pas de determiner le pr´efacteur Ai,j dans (A.17) et le troisi`eme est que

les r´esultats obtenus ne donnent pas d’estim´ees d’erreur. Approche par des ´equations aux d´eriv´ees partielles.

Un des r´esultats les plus connus concernant le comportement `a basse temp´erature de la loi du point de sortie XτΩ, obtenu dans [60] `a l’aide de calculs formels, est le suivant:

soit F ∈ C∞(∂Ω, R) et x ∈ Ω, alors quand h → 0: ExF XτΩ
 = R ∂ΩF (z)∂nf (z) e −2 hf (z)dz R ∂Ω∂nf e −_h2f_dσ + o(h), (A.33)

Ainsi, quand la temp´erature est petite, le processus sort presque sˆurement autour des minima globaux de f |∂Ω: la loi de XτΩ se concentre sur arg min∂Ωf . De plus, un

´

equivalent asymptotique de l’esp´erance de τΩquand h → 0 a aussi ´et´e formul´e dans [60].

Ces limites ont ´et´e obtenues en ´etudiant les ´equations aux d´eriv´ees partielles satisfaites par les fonctions x ∈ Ω 7→ ExF XτΩ



et x ∈ Ω 7→ ExτΩ



et en y injectant des d´eveloppements formels. Le lecteur peut aussi se r´ef´erer aux articles [60,63,64] et [53,54] pour des ´etudes similaires `a [60]. La formule (A.33) a ´et´e prouv´ee rigoureusement par Kamin dans [47]. Cette formule a ´et´e ensuite ´etendue aux dynamiques non r´eversibles par Kamin dans [46] et par Perthame dans [61]. Les r´esultats obtenus dans [46, 47, 61] ne permettent toutefois pas d’obtenir un ´equivalent pr´ecis de la probabilit´e de sortir par un point qui n’est pas un minimum global de f sur le bord de Ω.

Enfin, nous mentionnons [22, 23, 37, 44, 51, 56, 57] pour une ´etude du comportement asymptotique de λh et uh (cf. Proposition A.5) dans la limite d’une petite temp´erature.

Le lecteur peut aussi se r´ef´erer `a l’article [20] pour une revue de la litt´erature sur le comportement `a basse temp´erature de l’´ev´enement de sortie d’un domaine.

Remarque A.12. Certains auteurs ont prouv´e la convergence vers un processus markovien de sauts en utilisant un changement d’´echelle en temps. On renvoie par exemple `a [49] pour une diffusion unidimensionnelle dans un double puits et `a [31, 57] pour un probl`eme similaire en dimension sup´erieure. Dans [68], il est montr´e qu’un changement d’´echelle temporelle permet d’obtenir une convergence de la diffusion vers un processus markovien `a sauts entre les minima globaux du potentiel f en supposant que ces derniers sont s´epar´es par des points selles `a la mˆeme hauteur.

Dans cette th`ese et comme nous l’avons expliqu´e en Section A.3.1.2, nous adoptons une approche locale pour ´etudier l’´ev´enement de sortie `a basse temp´erature afin de montrer que l’on peut mod´eliser l’´ev´enement de sortie par un mod`ele markovien de sauts param´etr´e par les formules d’Eyring-Kramers.