A.3 Strat´ egie pour prouver la formule d’Eyring-Kramers
A.3.1 Expression des taux de transition entre les ´ etats
En Section A.3.1.1, nous donnons l’expression des taux de transition et nous expliquons pourquoi ces expressions sont compatibles avec une m´ethode Monte-Carlo cin´etique. En Section A.3.1.2, nous expliquons notre strat´egie de preuve pour obtenir un ´equivalent pr´ecis `a basse temp´erature des taux de transition.
A.3.1.1 Expression des taux de transition
Soit (Xt)t≥0 le processus (1). Consid´erons la collection de domaines {Ω1, ...., ΩN} in-
troduite en (A.14) qui forme une partition de l’espace des phases Rd en domaines m´etastables o`u chaque domaine Ωj correspond `a un ´etat j du syst`eme (cf. (A.15)).
Pour chaque i ∈ {1, ..., N }, τΩi d´esigne le premier temps de sortie du domaine Ωi (cf.
D´efinition A.19).
Consid´erons d´esormais un entier i ∈ {1, ..., N }. Pour j ∈ {1, ..., N }, j 6= i, nous d´efinissons le taux de transition de l’´etat i vers l’´etat j par
ki,jL := 1 Eνh,ΩiτΩi
P
νh,ΩiX
τΩi ∈ ∂Ωi∩ ∂Ωj, (A.22)
o`u νh,Ωid´esigne la distribution quasi stationnaire associ´ee au processus (Xt)t≥0 et au
nous consid´erons un syst`eme dont l’´evolution est mod´elis´ee par l’´equation de Langevin suramortie (1). Remarquons que lorsque l’´etat i n’est pas voisin de l’´etat j nous avons ∂Ωi∩ ∂Ωj = ∅ et ainsi on a bien kLi,j = 0.
Remarque A.10. Si l’on veut retrouver la formule d’Eyring-Kramers (A.17)-(A.18), il faut multiplier l’expression (A.22) par un facteur 12. Ceci est dˆu au fait suivant: une fois que le processus (1) est sur ∂Ωi∩∂Ωj, il a, dans la limite h → 0, une chance sur deux de
revenir dans Ωi et une chance sur deux d’aller dans Ωj. En effet, en dimension un, ce
r´esultat se montre en utilisant un calcul similaire `a celui permettant de prouver (A.6). En dimension sup´erieure, on peut se ramener au cas de la dimension un en utilisant un syst`eme de coordonn´ees adapt´e autour de zj. Des m´ethodes similaires `a celles utilis´ees
pour prouver [4, Lemma B.1] permettent aussi de montrer ce r´esultat.
Nous allons maintenant expliquer pourquoi l’expression des taux de transition (A.22) est compatible avec un algorithme de Monte-Carlo cin´etique pour mod´eliser l’´ev´enement de sortie de l’´etat i. Pour cela, supposons que le domaine Ωi est un ouvert born´e C∞
et que le potentiel f : Rd → R du syst`eme est C∞; ceci nous permettra d’utiliser les
propositions A.1 et A.3 pour la justification qui suit. Dans ce cas, et comme nous l’avons vu en fin de Section A.2.1.4, puisque le domaine Ωi est m´etastable, le processus (Xt)t≥0
est rapidement (en comparaison du temps moyen de sortie EτΩi) distribu´e suivant
la distribution quasi stationnaire νh,Ωi (cf. D´efinition A.1 et Proposition A.1). Il est
donc raisonnable d’´etudier l’´ev´enement de sortie de Ωi en supposant que le processus est
initialement distribu´e suivant la distribution quasi stationnaire νh,Ωi. De plus, lorsque
X0 ∼ νh,Ωi, d’apr`es la Proposition A.3, il existe λi telle que τΩi ∼ E(λi) et donc
d’apr`es (A.22), nous avons:
N X j=1,j6=i ki,jL = 1 Eνh,ΩiτΩi Pνh,ΩiXτΩi ∈ ∂Ωi = 1 Eνh,Ωi[τΩi = λi. (A.23)
Le choix d’avoir distribu´e initialement le processus (Xt)t≥0suivant νh,Ωidans la d´efinition
des taux de transition (A.22) est donc compatible avec la premi`ere ´etape de la r´ecurrence d’un algorithme de Monte-Carlo cin´etique qui permet d’´echantillonner le temps pass´e dans chaque ´etat, cf. Section A.2.1.2. De plus, lorsque X0 ∼ νh,Ωi, d’apr`es la Proposi-
tion A.3, le temps de sortie et le point de sortie sont ind´ependants. Enfin, d’apr`es (A.22) et (A.23), nous avons pour tout ` ∈ {1, ..., N }, ` 6= i:
Pνh,ΩiXτΩi ∈ ∂Ωi∩ ∂Ω` =
ki,`
PN
j=1, j6=iki,j
,
et donc la probabilit´e de passer de l’´etat i `a l’´etat ` est ki,`
PN
j=1, j6=iki,j. Ainsi, l’expression
des taux de transition (A.22) est compatible avec la deuxi`eme ´etape de la r´ecurrence d’un algorithme de Monte-Carlo cin´etique qui permet d’´echantillonner le prochain ´etat visit´e, cf. Section A.2.1.2.
A.3.1.2 Strat´egie pour ´etudier la limite `a basse temp´erature des taux de transition
Dans la suite, nous abandonnons l’indice i ∈ {1, ..., N } et notons
Ω = Ωi ∈ {Ω1, ..., ΩN}
un domaine m´etastable du processus (1) (cf. (A.14)). Afin d’expliquer notre strat´egie pour ´etudier dans la limite d’une petite temp´erature les taux de transition (A.22) entre les ´etats du syst`eme, nous allons montrer que les taux de transition (A.22) peuvent s’exprimer `a l’aide des ´el´ements spectraux de l’op´erateur infinit´esimal de la diffusion (1) avec conditions homog`enes de Dirichlet sur ∂Ω. Rappelons d’abord quelques r´esultats standards sur le g´en´erateur infinit´esimal de la diffusion (1).
Dans toute cette section, le domaine Ω est un ouvert born´e C∞ et le potentiel f : Rd→ R est C∞.
Un probl`eme aux valeurs propres reli´e `a la distribution quasi stationnaire sur Ω.
Consid´erons l’op´erateur L(0)f,h d´efini par:
φ ∈ Cc∞(Rd, R) 7→ L(0)f,hφ = h
2∆φ − ∇f · ∇φ, (A.24)
o`u Cc∞(Rd, R) d´esigne l’espace vectoriel des fonctions infiniment d´erivables de Rddans R et `a support compact. L’exposant (0) dans la notation L(0)f,hfait r´ef´erence au fait que l’on travaille avec un op´erateur agissant sur des fonctions (c’est-`a-dire des 0-formes). Pour justifier les conditions aux limites associ´ees `a l’op´erateur L(0)f,hsur ∂Ω, il faut comprendre quelles sont les conditions aux limites satisfaites par la loi du processus (1) conditionn´e `a rester dans Ω. Pour cela, consid´erons le semi groupe (sous-markovien) du processus (1) absorb´e au bord de Ω: il est d´efini pour tout φ ∈ C∞(Rd, R), x ∈ Ω et t ≥ 0 par:
Ptφ(x) = Exφ(Xt) 1{t≤τΩ}.
Un calcul d’Ito, montre que (au moins formellement):
∂tPtφ = L(0)f,hPtφ.
Un candidat naturel pour ˆetre le g´en´erateur infinit´esimal du semi groupe de diffusion (Pt)t≥0 est donc l’op´erateur L(0)f,h. Il faut d´esormais identifier les conditions aux limites
sur ∂Ω du g´en´erateur infinit´esimal du semi groupe de diffusion (Pt)t≥0. Par un r´esultat
classique sur les semi groupes fortement continus, pour tout t > 0, Ptφ appartient au
domaine de son g´en´erateur infinit´esimal. Or, pour tout t > 0 et x ∈ ∂Ω, nous avons: Ptφ(x) = 0.
Les conditions aux limites `a associer `a L(0)f,h sont donc des conditions de Dirichlet sur ∂Ω. Afin d’introduire un cadre fonctionnel adapt´e `a l’op´erateur L(0)f,havec des conditions de Dirichlet sur ∂Ω, remarquons que pour tout φ ∈ Cc∞(Ω) et ψ ∈ Cc∞(Ω),
Z Ω φ L(0)f,hψ e−2hf = −h 2 Z Ω ∇φ · ∇ψ e−h2f.
Introduisons alors les espaces de Hibert suivants: L2w(Ω) = n u : Ω → R, Z Ω u2(x)e−h2f (x)dx < ∞ o et
Hw1(Ω) :=u : Ω → R, u ∈ L2w(Ω) et pour tout i = 1, ..., d : ∂iu ∈ L2w(Ω) . (A.25)
Nous avons le r´esultat suivant qui permet de d´efinir l’op´erateur L(0)f,havec des conditions de Dirichlet sur ∂Ω.
Proposition A.4. L’extension de Friedrichs associ´ee `a la forme quadratique
φ ∈ Cc∞(Ω) 7→ h 2
Z
Ω
|∇φ|2e−2hf,
sur L2w(Ω), est not´ee −LD,(0)f,h (Ω). C’est un op´erateur non born´e, auto-adjoint et stricte- ment positif sur L2w(Ω) dont le domaine est
D LD,(0)f,h (Ω) = Hw,01 (Ω) ∩ Hw2(Ω) o`u Hw,01 (Ω) = {u ∈ Hw1(Ω), u = 0 sur ∂Ω}.
Preuve. La forme quadratique
φ ∈ Cc∞(Ω) 7→ h 2
Z
Ω
|∇φ|2e−2hf
est sym´etrique, positive et fermable et sa fermeture est la forme quadratique
Q : w ∈ Hw,01 (Ω) 7→ h 2
Z
Ω
|∇w|2e−h2f.
Soit −LD,(0)f,h (Ω) l’op´erateur auto-adjoint associ´e `a Q. Il est d´efini sur le domaine D −LD,(0)f,h (Ω) =u ∈ Hw,01 (Ω), ∃b ∈ L2w(Ω), ∀v ∈ Hw,01 (Ω), Q(u, v) = hb, viL2 w , par −LD,(0)f,h (Ω)u = b.
Soit u ∈ D−LD,(0)f,h (Ω). Au sens des distributions, nous avons donc −h 2div e−2hf∇u = b
pour une fonction b ∈ L2w(Ω). D’apr`es un r´esultat standard de r´egularit´e elliptique, la fonction u appartient `a Hw2(Ω). Ainsi, nous avons D−LD,(0)f,h (Ω)⊂ H1
w,0(Ω) ∩ Hw2(Ω).
Une int´egration par parties montre que Hw,01 (Ω) ∩ Hw2(Ω) ⊂ D−LD,(0)f,h (Ω). Ce qui conclut la preuve de la proposition.
Le domaine Ω ´etant born´e et C∞, l’espace Hw1(Ω) s’injecte de mani`ere compacte dans L2w(Ω) et ainsi l’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω) est `a r´esolvante compacte: son spectre est donc discret. Dans la suite nous notons λh > 0 sa plus petite valeur propre. Nous avons
alors le r´esultat suivant (c’est un r´esultat standard sur la premi`ere valeur propre d’un op´erateur elliptique, cf. par exemple [28, Th´eor`eme 2]):
Proposition A.5. La plus petite valeur propre λh de −L D,(0)
f,h (Ω) est simple et son
vecteur propre associ´e, not´e uh, a un signe sur Ω. De plus, uh ∈ C∞(Ω).
Preuve. Par un r´esultat standard de r´egularit´e elliptique, tous les vecteurs propres de −LD,(0)f,h (Ω) sont dans C∞(Ω). L’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω) est auto-adjoint et donc par le principe du min-max: λh = min v∈H1 w,0(Ω) h 2 Z Ω |∇v|2e−h2f Z Ω v2e−h2f , (A.26)
et toute fonction u est un vecteur propre associ´e `a λh si et seulement si u est un
minimiseur de (A.26). Soit u un vecteur propre associ´e `a λh. Puisque nous avons
∇|u| 2 = ∇u 2 ,
nous en d´eduisons que la fonction |u| est aussi un minimiseur de (A.26) et donc est un vecteur propre associ´e `a λh. En utilisant l’in´egalit´e de Harnack, nous obtenons que
|u| > 0 sur Ω. Supposons par l’absurde que λh est une valeur propre d´eg´en´er´ee de −LD,(0)f,h (Ω). Soient alors v1 et v2 deux vecteurs propres libres associ´es `a λh. Les deux
fonctions v1 et v2 ´etant continues, il existe x0 ∈ Ω tel que v1(x0) 6= v2(x0). Ainsi la
fonction
w = v2(x0)v1− v1(x0)v2
est non identiquement nulle sur Ω: c’est donc un vecteur propre associ´e `a λh. On en
d´eduit de ce qui pr´ec`ede que |w| > 0 sur Ω, ce qui est absurde car w(x0) = 0. Ainsi λh
est non d´eg´en´er´ee.
Dans la suite et sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons que
uh > 0 sur Ω et
Z
Ω
u2h(x) e−2hf (x)dx = 1. (A.27)
Le lien entre la distribution quasi stationnaire νh(cf. D´efinition A.1) et uh est donn´e
par la proposition suivante (cf. par exemple [50]):
Proposition A.6. L’unique distribution quasi stationnaire associ´ee au processus (1) et au domaine Ω est: νh(dx) = uh(x)e− 2 hf (x) Z Ω uh(y)e− 2 hf (y)dy dx,
o`u uh est le vecteur propre associ´e `a la plus petite valeur propre de −LD,(0)f,h (Ω) (cf.
Nous pouvons ensuite ´enoncer un r´esultat sur l’´ev´enement de sortie plus pr´ecis que la Proposition A.3:
Proposition A.7. Consid´erons la dynamique (1) et la distribution quasi stationnaire νh associ´ee au domaine Ω. Si X0 est distribu´e selon νh, les variables al´eatoires τΩ et
XτΩ sont ind´ependantes. De plus, τΩ est exponentiellement distribu´ee de param`etre λh
et la loi de XτΩ a une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sur ∂Ω donn´ee par:
z ∈ ∂Ω 7→ − h 2λh ∂nuh(z)e− 2 hf (z) Z Ω uh(y)e− 2 hf (y)dy , (A.28)
o`u uh est le vecteur propre associ´e `a la plus petite valeur propre de −LD,(0)f,h (Ω) (cf.
Proposition A.5).
La notation ∂n = n · ∇ d´esigne la d´eriv´ee normale et n le vecteur normal sortant
de Ω.
Strat´egie g´en´erale pour ´etudier la limite `a basse temp´erature des taux de transition (A.22).
Rappelons que Ω = Ωi ∈ {Ω1, ..., ΩN} d´esigne un domaine m´etastable du processus (1)
(cf. (A.14)) correspondant `a un ´etat i du syst`eme (cf. (A.15)). Dans la suite, pour tout j ∈ {1, ...N }, j 6= i, nous notons simplement
kjL= kLi,j
le taux de transition de l’´etat i vers l’´etat j d´efini en (A.22). Nous pouvons d´esormais donner une autre expression des taux de transition d´efinis en (A.22) `a l’aide du pre- mier vecteur uh associ´e `a la plus petite valeur propre λh de −LD,(0)f,h (Ω). D’apr`es la
Proposition A.7, le taux de transition kL
j, pour j ∈ {1, ..., N } telle que Ωj 6= Ω, a pour
expression: kLj = −h 2 Z ∂Ω∩∂Ωj ∂nuh(z)e− 2 hf (z)σ(dz) Z Ω uh(y)e− 2 hf (y)dy (A.29)
o`u σ d´esigne la mesure de Lebesgue sur ∂Ω. De plus, toujours d’apr`es la Proposi- tion A.7, lorsque le processus (1) est initialement distribu´e suivant la distribution quasi stationnaire νh, le temps moyen pass´e dans le domaine Ω est:
EνhτΩ =
1 λh
(A.30)
et la loi de sortie du domaine Ω est donn´ee par :
PνhXτΩ ∈ Σ = − h 2λh Z Σ ∂nuh(z)e− 2 hf (z)σ(dz) Z Ω uh(y)e− 2 hf (y)dy , (A.31)
Remarque A.11. Bien que λh n’apparaisse pas dans l’expression des taux de transi-
tion (A.29), son comportement asymptotique peut suffir `a obtenir la formule d’Eyring- Kramers pour certains taux de transition. En effet, supposons que le domaine Ωj soit
tel que
lim
h→0P νhX
τΩ ∈ ∂Ω ∩ ∂Ωj = 1.
Il vient alors d’apr`es (A.22) et d’apr`es (A.30):
lim
h→0λhk L j = 1.
Toutefois, l’´etude du comportement asymptotique de λh quand h → 0 ne suffit pas a
priori `a obtenir le comportement asymptotique de tous les taux de transition comme le montre aussi l’expression (A.29).
Au vu des expressions (A.29), (A.30) et (A.31), notre strat´egie est d’´etudier le com- portement pr´ecis dans la limite d’une petite temp´erature (h → 0) de:
1. la premi`ere valeur propre λh de l’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω),
2. de la d´eriv´ee normale du vecteur propre uh associ´e `a λh,
3. et de la quantit´e RΩuh(y)e−
2 hf (y)dy.
Notre analyse nous permet d’expliciter les taux d’erreur lors du passage `a la limite h → 0. Enfin, nous avons ´etendu nos r´esultats sur la distribution de sortie (i.e. sur la loi de XτΩ) `a des conditions d´eterministes dans le domaine Ω.