3.5 0.4 0.5 0.6 0.7 !0 !Q SQ T JAF (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.4 0.5 0.6 0.7 ! 0 !Q SQ JAF (b) T=0.1
FIGURE 3.7 –(a) Diagramme de phase dans le plan(T, JAF), obtenu pour JSL = 5. Les cercles
verts, carrés bleus, et diamants rouges indiquent la température en dessous de laquelle les champs de liquide de spinϕ0,ϕQ, et d’aimantation,SQ, prennent respectivement des valeurs non nulles. (b) Variation deϕ0,ϕQ, etSQen fonction deJAF pourT = 0.1. Figure d’après [9].
le diagramme de phase obtenu en minimisant, de manière auto-consistante, l’énergie libre correspondant au Lagrangien 3.2 Il est remarquable que la solution de liquide de spin la plus stable ne soit pas homogène et corresponde à une modulation avec ϕ0 et ϕQ non nuls. Le diagramme de phase dans le plan(T, JAF) est à rapprocher qualitativement de celui obtenu expérimentalement pour URu2Si2 dans le plan(T, p), présenté figure 3.3.
3.2.4 Liquide de spin modulé : réseau3D réaliste, tétragonal centré
U Ru Si a b c A B
FIGURE3.8 – A : structure cristalline de URu2Si2. Les propriétés magnétiques émergent des
élec-trons5f des atomes U, disposés sur un réseau tétragonal centré (tc). B : structure spatiale de l’ordre AF observé pour URu2Si2à haute pression (voir diagramme de phase, figure 3.3), qui brise la symé-trie cristalline en un réseau tétragonal [146, 147].
Le liquide de spin modulé a été introduit dans la section précédente sur un réseau carré. Nous voyons ici comment cet état de spin quantique collectif peut apparaitre sur un réseau tri-dimensionnel, proposant ainsi un scenario microscopique plus réaliste pour la phase d’ordre caché [10]. Le point de départ de cette généralisation s’appuie sur la structure cristalline
3.2 Ordre caché dans URu2Si2 : le liquide de spin modulé
du composé URu2Si2, dont les atomes U forment un réseau tétragonal centré (tc), comme illustré sur la figure 3.8. Le principal effet de Ru et Si se réduit en une renormalisation de la structure de bande électronique.
FIGURE 3.9 – Structure tétragonale centrée (tc) des atomes d’uranium dans URu2Si2. Le modèle
de Heisenberg le plus simple permettant de reproduire la structure magnétique de la phase AF (voir figure 3.8) implique deux couplages proche-voisins : un échange ferromagnétique,Jintra < 0, dans les plans(a, b), et un échange antiferromagnétique, Jinter > 0, entre les atomes de deux plans voisins.
Suivant la méthode décrite pour un réseau carré dans la section précédente on commence avec un Hamiltonien de Heisenberg quantique, en utilisant pour les opérateurs de spin 1/2 une représentation fermionique standard, H = ∑
⟨i,j⟩,αα′Jijfiα†fiα′fjα† ′fjα, où les spinons
satisfont les contraintes locales ∑
αfiα†fiα = 1. Contrairement au réseau carré, ici, nous considérons deux types de couplages. En effet, la structure cristalline tc fait apparaitre des liens proche-voisins non équivalents, selon que le lien couple deux atomes U dans un même plan cristallin(a, b) ou entre deux plans voisins, comme indiqué sur la figure 3.9. On choisit le signe de ces deux couplages afin de reproduire le plus simplement la structure magné-tique de la phase AF (voir figure 3.8). On obtient ainsi une interaction ferromagnémagné-tique,
Jij = Jintra < 0, entre sites i et j appartenant à un même plan (a, b), et une interaction
antiferromagnétique,Jij = Jinter > 0, entre les sites de deux plans voisins. Phénoménologi-quement, l’effet de la pression hydrostatique ou uni-axiale exercée sur le composé URu2Si2 se traduit par une variation du rapportJinter/Jintra.
Dans la suite, nous étudions ce modèle de Heisenberg par des approximations de champ moyen, issues de découplages par des transformations de Hubbard-Stratonovich dans les canaux magnétique et RVB. En faisant apparaitre naturellement deux types de liens diffé-rents (inter- et intra-plan), le réseau tc permet de distinguer plusieurs types de découplages. Pour cette étude, l’interaction ferromagnétique intra-plan est découplée intégralement dans le canal magnétique. L’interaction antiferromagnétique inter-plan, quant à elle, pourrait être découplée de manière mixte, dans les deux canaux, AF et RVB. Cependant, au niveau champ moyen, le découplage dans le canal AF ne ferrait que renormaliser le champ de Weiss local issu de l’interaction ferromagnétique intra-plan. Par conséquent, sans perdre en généralité, l’interaction inter-plan est découplée exclusivement dans le canal RVB. On obtient un La-grangien effectif pour les spinons formellement assez proche de celui obtenu pour le réseau carré (Eq. 3.2), impliquant plusieurs champs moyens : un champ RVB éventuellement
mo-dulé φij = −Jinter
∑
3.2 Ordre caché dans URu2Si2: le liquide de spin modulé de Weiss localmi = Jintra∑
αα⟨fiα† fiα⟩. La figure 3.10 présente des exemples de
modu-FIGURE 3.10 – Modulations de liquide de spin possibles représentées sur une cellule unitaire du
réseau tétragonal. Les lignes pointillées représentent un lien φij = φ0 + φQ, et les lignes pleines un lienφij = φ0 − φQ. (a) Trois vecteurs d’ondes différents pertinents car ils correspondent à un nombre impaire de modulations. (b) Respectivement, le liquide de spin homogène, un vecteur d’onde exclus avec modulation paire, et une modulation mixte pouvant faire intervenir plusieurs vecteurs d’ondes.
lations pouvant être considérées pour le champ RVB. Parmi la multitude de modulations possibles, sont exclues celles qui sont caractérisées par un nombre paire de directions mo-dulées, comme par exemple la modulation(1, 1, 0). En effet, ces états préservent la symétrie du réseau tc, et ne donnent pas lieu à une transition de phase, mais à un crossover. Motivés par la recherche d’un scenario tri-dimensionnel permettant de décrire la transition d’ordre caché observée dans URu2Si2, nous nous intéressons aux états LSM dont le nombre de mo-dulations est impaire, et nous avons étudié plus particulièrement les trois états correspondant aux vecteurs de modulation(1, 0, 0), (0, 0, 1), et (1, 1, 1). En calculant l’énergie libre du mo-dèle champ-moyen obtenu pour chacune de ces trois modulations [10], nous observons que l’état LSM le plus stable correspond au vecteur d’onde Q = (1, 1, 1). Notons que ces trois modulations sont équivalentes du point de vu de l’ordre magnétique à longue portée, qui est un ordre défini sur les sites du réseau tc (voir figure 3.8). Cependant, ces trois vecteurs d’onde diffèrent lorsqu’ils décrivent l’état LSM, qui définit un ordre sur les liens du réseau. Le vecteur de modulation obtenu, Q = (1, 1, 1) permet alors de caractériser à la fois une modulation particulière de l’ordre de liens RVB, et en même temps l’ordre AF. Le scenario bi-dimensionnel illustré sur un réseau carré par la figure 3.6 est ainsi adapté au réseau tri-dimensionnel tétragonal centré : les deux phases, LSM, et AF, différent du point de vue de la présence ou non d’un moment magnétique local, mais elles brisent la symétrie spatiale en formant le même réseau bipartite de symétrie tétragonale, et sont caractérisées par le même vecteur d’onde Q = (1, 1, 1) = QAF. Pour prendre en compte phénoménologiquement la pression uni-axiale ou hydrostatique exercée expérimentalement, une relation linéaire a été supposée, entre la valeur des couplages magnétiques du modèle,Jintra etJinter, et la