CHAPITRE 4 RÉSULTATS FINAUX ET DISCUSSION GÉNÉRALE
4.1.3 Limites et optimisation du critère d’erreur
La borne sur l’erreur du modèle UC, calculée avec (3.18), a permis d’évaluer le temps de relaxation magnétique. Cette étape était nécessaire pour valider l’utilisation de pulses de courant dans les microsecondes. Cependant, cette borne a plusieurs limites et l’estimation expérimentale de l’erreur du modèle UC peut être améliorée.
D’abord, l’équation (3.18) est valide uniquement si le courant et la température du REBCO calculés avec le modèle UC concordent avec leurs valeurs réelles. Les simulations du chapitre 3 montrent que cette condition est toujours respectée pour la température, mais le courant calculé avec le modèle UC n’est valide que durant le plateau dû , entre autres, au voltage inductif parasite. On ne peut donc pas se fier à la borne d’erreur calculée durant la montée du courant.
Ensuite, l’équation (3.18) donne une borne supérieure de l’erreur, mais les simulations du modèle électrodynamique indiquent une différence atteignant un ordre de grandeur entre la borne et la vraie valeur de l’erreur. Ceci vient du fait que la boucle inductive rectangulaire fournit de l’information sur le champ électrique au bord et au centre de l’échantillon, mais aucune information sur le profil complet du champ électrique.
Ceci nous amène à la dernière limitation majeure de (3.18), c’est-à-dire que cette équa- tion n’est pas valide en présence d’un champ magnétique externe. Bien que (3.8) demeure valide si le champ externe est statique (dans le cas contraire, sa contribution sur la tension induite peut facilement être calculée et soustraite à la mesure), il est nécessaire d’assumer que le champ électrique est minimum au centre de l’échantillon et maximum au bord pour arriver à (3.18), ce qui n’est pas forcément le cas en présence d’un champ magnétique externe [45].
Pour remédier à cette situation, il faut modifier la géométrie de la boucle inductive de façon à recueillir de l’information sur le profil du champ électrique sur toute la largeur de l’échantillon. En prenant un grand nombre de boucles rectangulaires, en alignant un de leurs côtés sur x0et en utilisant (3.8), on peut cartographier le champ électrique. C’est-à-dire qu’on
peut mesurer Ez(x0) − Ez(x1), Ez(x0) − Ez(x2), et ainsi de suite, où x0− xi est la largeur de la boucle i. Évidemment, mettre des dizaines de boucles inductives rectangulaires de largeurs différentes sur l’échantillon n’est pas une solution acceptable en pratique. Cependant, ce raisonnement nous oriente vers l’étude de la tension induite dans une boucle triangulaire, car celle-ci correspond à une suite de boucles rectangulaires de différentes largeurs et de longueurs infinitésimales. La géométrie d’une boucle triangle est représentée à la figure 4.8.
x
y
z
x
2x
1V
it`
On calcule la tension induite Vt
i dans la boucle triangulaire de la figure 4.8 en utilisant la même démarche que pour (3.8). La largeur de la boucle étant donnée par z(x2− x1)/`, on
obtient Vit= Z ` 0 Z z(x2−x1)/`+x1 x1 µ0 ∂Hy ∂t dxdz (4.12) = Z ` 0 Z z(x2−x1)/`+x1 x1 ∂Ez(x, y) ∂x dxdz = Z ` 0 [Ez(z(x2− x1)/` + x1, y) − Ez(x1, y)] dz (4.13) = ` x1− x2 Z x2 x1 Ez(r, y)dr − `Ez(x1, y). (4.14)
On a fait le changement de variable r = z(x1− x2)/` + x1 pour passer de l’équation
(4.13) à (4.14). Dans le cas où la boucle inductive est collée sur la surface de l’échantillon (y = 0), que x1 est au rebord de l’échantillon et que x2 et au rebord opposé, (4.14) mène à
vti = hEzi − Es, (4.15)
où on a utilisé que vt
i = Vit/`. L’équation (4.15) montre que la tension induite dans une boucle triangulaire donne bel et bien de l’information sur l’ensemble du profil du champ électrique, car la moyenne est faite sur toute la largeur de l’échantillon. Cette équation est valide même en présence d’un champ magnétique externe statique. Si le champ magnétique externe varie dans le temps, on peut simplement calculer son effet sur la tension induite dans la boucle et la soustraire à la tension induite totale dans la boucle triangulaire.
Il est possible d’utiliser la tension induite dans une boucle triangulaire pour évaluer
ξU C
ρHT S. Pour ce faire, on part simplement de (4.15). On a
hEzi − Es = vit, hEzi hJi − Es hJi = vt i hJi, hEzi hJi − Es hJi Es hJi = v t i Es. (4.16)
Plusieurs approximations sont nécessaires pour relier (4.16) à ξU C
ρHT S. D’abord, on consi-
dère que hρHT Si = hEz/J i ≈ hEzi/hJi. La distance entre la boucle inductive et la surface de
l’échantillon est considérée nulle dans ce calcul, on a donc simplement que vs= Es. On doit aussi considérer que JU C
UC, est égale à la densité de courant moyenne réelle hJi. Ceci revient à supposer que l’erreur sur le courant calculé est négligeable et cette hypothèse a déjà été validée au chapitre 3. Si on prend la tension au bord, vs, comme paramètre d’entrée du modèle UC, au lieu de vc, on obtient que ρU C
HT S = vs/JHT SU C . Dans ces conditions, (4.16) mène à
ξρU CHT S = hρiHT S − ρ U C HT S ρU C HT S ≈ v t i vs. (4.17)
L’équation (4.17) permet de déterminer expérimentalement l’erreur du modèle UC au lieu d’une borne supérieure de celle-ci. De plus, cette équation demeure valide en présence d’un champ magnétique externe contrairement à (3.18). Si l’approximation que hEz/J i ≈ hEzi/hJi était exacte, alors (4.17) serait une égalité et non une approximation.
Il est nécessaire de comparer la borne de ξU C
ρHT S donnée par (4.17) avec celle donnée
par (3.18), pour une boucle inductive triangulaire et rectangulaire respectivement, ainsi que l’erreur réelle du modèle UC. Pour ce faire, on utilise le modèle électrodynamique pour simuler l’erreur du modèle UC et sa borne pour les deux géométries de boucles inductives. Les résultats obtenus pour une simulation d’un pulse de 250 A sont montrés à la figure 4.9 tandis que ceux pour une simulation d’un pulse de 100 A sont montrés à la figure 4.10. Tel que prédit, on observe que vt
i/vs n’est pas exactement égal à ξρU CHT S pour la boucle triangulaire,
mais l’écart entre les deux est bien moins grand que pour une boucle rectangulaire. L’erreur du modèle UC est plus grande lorsqu’on utilise vs au lieu de vc en entrée du modèle UC, comme c’est nécessaire pour la boucle triangulaire. Ceci s’explique simplement par le fait que, pour les pulses étudiés, l’écart entre Ecet hEzi est plus petit que celui entre Es et hEzi. Cependant, cette relation peut tout aussi bien s’inverser en présence d’un champ magnétique externe.
En conclusion, la borne d’erreur donnée par (3.18) peut être jusqu’à un ordre de gran- deur supérieure à l’erreur réelle et elle est invalide en présence d’un champ magnétique ex- terne. Il est possible d’améliorer l’évaluation de l’erreur du modèle UC en utilisant une boucle inductive triangulaire au lieu de rectangulaire. Cette méthode est aussi valide en présence d’un champ magnétique externe. Avant d’appliquer celle-ci pour des mesures expérimentales, il faut d’abord évaluer l’impact de la distance entre la surface de l’échantillon et la boucle triangulaire, car cette distance n’est jamais nulle dans une expérience réelle. Cependant, l’utilisation de boucles inductives rectangulaires est suffisante pour remplir les objectifs de ce mémoire.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0.01
0.1
1
10
100
1 000
Temps, t (µs)
Erreur
(%)
−ξ
U C ρHT S(triangle)
−v
t i/v
s(triangle)
|ξ
U C ρHT S|
(rectangle)
v
ih/v
c(rectangle)
Figure 4.9 Erreur du modèle UC obtenue par simulation pour un pulse de 250 A avec un
tr=10 µs à 77 K. La figure compare les résultats pour une boucle inductive rectangulaire
(rectangle) avec ceux pour une boucle triangulaire (triangle). ξU C
ρHT S (triangle) a été calculé
en prenant vs comme variable d’entrée pour le modèle UC.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
0.1
1
10
100
1 000
Temps, t (µs)
Erreur
(%)
−ξ
U C ρHT S(triangle)
−v
t i/v
s(triangle)
|ξ
U C ρHT S|
(rectangle)
v
ih/v
c(rectangle)
Figure 4.10 Erreur du modèle UC obtenue par simulation pour un pulse de 100 A avec un
4.2 Application du modèle UC