Lien entre la transition Supraconducteur-Isolant et la transition

transition M´etal-Isolant d’Anderson

L’´etat de supraconduction d’un syst`eme peut ˆetre d´etruit `a partir de l’applica- tion d’un champ magn´etique suffisamment ´elev´e Bc amenant le syst`eme dans un ´etat

dit normal. Des travaux exp´erimentaux [10] sous un intense champ magn´etique puls´e (kBk = 61T )a _{ont permis de supprimer la supraconductivit´e dans les cuprates du type}

La2−xSrxCuO4 (LSCO) et d’´etudier par cons´equent l’´etat normal de ceux-ci. Cette ´etude

de l’´etat normal des compos´es LSCO s’est faite en fonction du dopage x en Strontium (Sr). Le dopage joue ici le rˆole du d´esordre. Les r´esultats principaux de [10] sont r´esum´es sur la Fig. 1.16 : En l’absence de supraconductivit´e, l’´etat normal entreprend une tran- sition d’un ´etat isolant pour les mat´eriaux sous-dop´es (x faible) vers un ´etat m´etallique pour les mat´eriaux avec dopage plus ´elev´e (x fort). Pour une temp´erature T & 10K, les comportements respectifs de la r´esistivit´e ρab dans les plans ab perpendiculaires au

champ magn´etique et de la r´esistivit´e ρc selon le troisi`eme axe cristallographique c sont

diff´erents. En augmentant le dopage x en Sr, le r´egime m´etallique s’´etablit d’abord dans les plans ab (dρab/dt > 0 et dρc/dt < 0) puis finalement suivant les trois dimensions

(dρab/dt > 0 et dρc/dt > 0). A tr`es basse temp´erature (T → 0K) par contre la transition

m´etal-isolant (MI) s’op`ere simultan´ement suivant les trois dimensions pour un dopage critique particulier xc. Cela sugg`ere que la transition MI est de nature tridimensionnelle

et peut donc s’apparenter `a la transition d’Anderson (voir section 1.2). De plus le do- page critique xc pour lequel se produit la transition est tr`es proche de ce qu’on appelle

le dopage optimal, c’est-`a-dire celui qui donne la plus grande temp´erature critique Tc(x)

du supraconducteur.

Une telle corr´elation entre la transition supraconducteur-isolant (SI) et la transition MI fut ´egalement observ´ee dans d’autres mat´eriaux supraconducteurs comme les cu- prates YBa2Cu3O6+x [41], YBa2Cu3O7−δ [85]b, Pr2−xCexCuO4 [27], Bi2Sr2−xLaxCuO6+δ

[78]c _{et les films de InO [40].}

Dans ce type d’exp´eriences [10, 41, 40, 27, 85, 78] assist´ees par un champ magn´etique, il semble que la phase isolante (la phase m´etallique) ne soit pas induite par le champ magn´etique [5]. Ce dernier au contraire en d´etruisant l’´etat de supraconductivit´e d´evoile la nature intrins`eque de l’´etat normal du syst`eme ´etudi´e [5]. Ces mat´eriaux apparaissent comme des syst`emes dont l’´etat normal peut ˆetre d´ecrit par un mod`ele pr´esentant une transition m´etal-isolant, comme le mod`ele d’Anderson, et auquel on surimposerait l’effet de supraconduction. Dans cette optique nous ´etudierons dans un premier temps au Chap.2 deux particules ´evoluant sur un r´eseau d´esordonn´e d’Anderson tridimensionnel et coupl´ees entre elles par une interaction attractive locale de Hubbard. Ceci constitue ce qu’on appellera le probl`eme de Cooper g´en´eralis´e. Nous ´etudierons ensuite ce mˆeme mod`ele en deux dimensions (2d) et sous l’influence d’un champ magn´etique (Chap. 3), puis nous ´etendrons notre mod`ele `a plus de deux particules afin de prendre en compte un syst`eme `a N-coprs (Chap. 5).

a_{Le champ magn´etique est dirig´e suivant l’axe cristallographique c perpendiculaire aux plans supra-}

conducteurs du cristal.

b_{Cependant, il est `a noter que les travaux [41, 85] indique la possibilit´e que l’´etat fondamental de}

l’´etat normal des cuprates YBaCuO demeure m´etallique `a temp´erature nulle.

c_{Pour le cuprate Bi}

2Sr2−xLaxCuO6+δ le dopage critique xc ne correspond pas `a celui donnant la

Probl`eme de Cooper g´en´eralis´e

J. Lages et D. L. Shepelyansky, Phys. Rev. B, 62 (2000), 8665 J. Lages, dans le proceeding “Electronic Correlations : from meso- to nano-physics” (Rencontres de Moriond 2001)

2.1 Description du mod`ele . . . 60 2.2 Etude de l’´´ etat fondamental . . . 62 2.2.1 Distributions de probabilit´e . . . 62 2.2.2 Diagramme de phase de la d´elocalisation / localisation . . . 65 2.2.3 Energie de liaison . . . .´ 68 2.2.4 Comparaison avec l’ansatz de Cooper . . . 70 2.3 Etude des ´´ etats excit´es . . . 72 2.3.1 Distribution des ´ecarts de niveaux d’´energie . . . 72 2.3.2 Propri´et´es des fonctions d’onde des ´etats excit´es . . . 75 2.4 Conclusion . . . 76

N

ous allons ´etudier ici un mod`ele de deux particules situ´ees au-dessus d’une mer de Fermi et coupl´ees par une interaction attractive dans un milieu tridimensionnel al´eatoire. Outre l’int´erˆet th´eorique d’´etudier le mod`ele TIP (voir section 1.3) pour le cas particulier d’une interaction attractive en pr´esence d’une mer de Fermi gel´ee, ce mod`ele constitue une g´en´eralisation du probl`eme original de Cooper (voir section 1.1). Le probl`eme de Cooper ´etant `a l’origine de la th´eorie BCS de la supraconductivit´e (voir section 1.4), on peut alors esp´erer que l’´etude d’un mod`ele le g´en´eralisant en in- cluant le d´esordre puisse ´eclairer notre compr´ehension de la supraconductivit´e en milieux d´esordonn´es. La g´en´eralisation du probl`eme de Cooper propos´ee ici consiste [60, 58] :

• d’une part, `a introduire du d´esordre. Pour cela nous utiliserons le mod`ele d’Anderson tridimensionnel, pour lequel on connaˆıt l’existence d’une transition m´etal-isolant pour un certain d´esordre critique. Comme il a ´et´e vu au chapitre pr´ec´edent, il existe une forte corr´elation entre la transition m´etal-isolant (MI) et la transition supraconducteur-isolant (SI). C’est pourquoi il est int´eressant, pour ´etudier cette corr´elation MI/SI, de fonder notre ´etude sur le mod`ele d’Anderson.

2.1 Description du mod`ele Nous ´etudierons donc l’effet d’une interaction attractive et locale entre les deux particules `a proximit´e de la transition d’Anderson,

• d’autre part, `a abandonner l’ansatz de Cooper qui consiste `a autoriser seule- ment les transitions induites par l’interaction entre ´etats sym´etriques par renver- sement du temps (k ↑, −k ↓) (voir section 1.1.2). Ici nous autoriserons toutes les transitions possibles induites par l’interaction dans une fenˆetre ´energ´etique o`u l’interaction est attractive. Notre m´ethode est alors exacte et sans approximation quant `a l’appariement des ´etats par l’interaction. Nous montrerons que effective- ment il est n´ecessaire de consid´erer toutes les transitions possibles pour permettre la mise en ´evidence des diff´erents ph´enom`enes physiques dus aux effets conjugu´es du d´esordre et de l’interaction attractive.

2.1

Description du mod`ele

Supposons donc deux particules de spins oppos´es sur un r´eseau tridimensionnel de volume L3 _{r´egies toutes deux par le mod`ele TIP (1.41) avec interaction attractive (U <}

0)

H = H1⊗ 1d+ 1d⊗ H1+ U

X

n

|nnihnn|. (2.1)

H1est l’Hamiltonien `a une particule sans interaction. L’interaction HU = UP_n|nnihnn|

est l’interaction attractive de Hubbard couplant localement les particules sur le r´eseau. Utilisons `a pr´esent la base sym´etris´ee (1.43) des ´etats biparticulaires sans interaction

|αβi =        1 √ 2(|φαi ⊗ |φβi + |φβi ⊗ |φαi) si α 6= β |φαi ⊗ |φαi si α = β, (2.2)

construite `a l’aide des ´etats monoparticulaires sans interaction_|φαi d´efinis naturellement

par l’´equation de Schr¨odinger H1|φαi = Eα|φαi. Dans cette base {|αβi}α<β l’´equation

de Schr¨odinger du Hamiltonien TIP (2.1) s’´ecrit (Eα′+ E_β′)χλ_α′_β′ + U

X

α,β

Qα′_β′_αβχλ_αβ = Eλχλ_α′_β′ (2.3)

o`u _|χλ_{i =}P

α,βχλαβ|αβi est l’´etat propre de l’Hamiltonien TIP d’´energie Eλ. L’´el´ement

de matrice de transition induit par l’interaction entre les ´etats biparticulaires noninte- ractifs |αβi et |γδi est

U Qαβγδ = U

X

n

φ∗α(n)φ∗β(n)φγ(n)φδ(n) avec φα(n) =hn|φαi . (2.4)

Dans le cas o`u l’Hamiltonien H1 est celui d’une particule libre sur un r´eseau cristallin

sans d´esordre, les ´etats propres associ´es |φαi sont alors des ondes planes et les ´energies

propres associ´ees Eα peuvent ˆetre index´ees par des vecteurs d’onde kα. Dans ce cas, la

matrice de transition U Qαβγδ ∝ Uδkα+kβ,kδ+kγ est une manifestation de la conservation

consid`ere en plus de cela que seuls les transitions entre ´etats biparticulaires d’impulsion totale nulle kα+ kβ = 0 sont importantes pour la supraconductivit´e. Ceci est justifiable

pour le cas sans d´esordre (voir section 1.1.2). La condition kα+ kβ = 0 implique que

Eα = Eβ ∝ k2α = k2β, l’ansatz de Cooper (1.15) s’´ecrit alors avec nos notations

EF ≤ Eα = Eβ ≤ Em (2.5)

ou bien ce qui est ´equivalent

1≤ α = β ≤ m. (2.6)

si les indices {α} sont ordonn´es et si l’indice du niveau de Fermi est fix´e arbitrairement `a αF = 1. Avec cet ansatz (2.6) l’´equation (2.3) est alors analogue `a l’´equation de

Schr¨odinger (1.10) du probl`eme orignal de Cooper pour K = kα+ kβ = 0.

Dans le cas qui nous int´eresse, les ´etats monoparticulaires sont r´egis par le mod`ele d’Anderson (voir section 1.2.1)

H1 = HA= X n ǫn|ni hn| + V X hn,mi |ni hm| (2.7)

o`u les ´energies ǫn sont distribu´ees al´eatoirement et de fa¸con homog`ene dans l’intervalle

´energ´etique [−W/2, W/2], o`u V est l’amplitude de probabilit´e de saut, et o`u hn, mi d´enote deux sites adjacents n et m sur le r´eseau. Dans ce cas, le d´esordre implique que les vecteurs d’onde k des particules ne sont plus de bons nombres quantiques pour indexer les ´etats monoparticulaires. Comme on l’a vu (section 1.3.2) les ´el´ements de la matrice de transition U Qαβγδ peuvent alors ˆetre approxim´es par des variables al´eatoires

d’´ecart-type Utyp ∼ U/l3d/21 couplant de mani`ere ergodique les ´etats biparticulaires no-

ninteractifs|αβi et |γδi. Le d´esordre m´elange non pas seulement les ´etats biparticulaires |αβi diagonaux ob´eissant `a l’ansatz de Cooper (α = β), mais aussi les ´etats biparticu- laires hors-diagonaux (α _{6= β). Nous proposerons alors la g´en´eralisation suivante de} l’ansatz de Cooper (2.6),

2≤ α + β ≤ M (2.8)

o`u M = 2m. Ce nouvel ansatz (2.8) est donc la restriction impos´ee `a la somme sur les indices α et β dans l’´equation de Schr¨odinger du mod`ele TIP (2.3). Il englobe l’ansatz de Cooper (2.6) et permet de coupler grˆace `a l’interaction tous les ´etats biparticu- laires noninteractifs situ´es au-dessus de la mer de Fermi (2 _{≤ α + β) dans une fenˆetre} ´energ´etique de largeur ωD ∝ M∆1 (voir Fig. 2.1) ; ∆1 ∼ V/L3 ´etant l’espacement

moyen des niveaux monoparticulaires du mod`ele d’Anderson (2.7). La fr´equence ωD est

alors ce qu’on appelle la fr´equence de Debye du syst`eme, c’est la largeur de la fenˆetre d’´energie dans laquelle l’interaction peut ˆetre consid´er´ee comme attractive (voir section 1.1.1). Dans la suite de notre ´etude nous utiliserons le param`etre α = L3_{/M ∝ ω}−1

D ,

il sera gard´e constant lorsque nous voudrons comparer les propri´et´es du mod`ele pour diff´erentes tailles L du syst`eme, cela afin de garder la mˆeme fr´equence de Debyea_.

Nous pla¸cons notre ´etude du mod`ele TIP (2.3) au demi-remplissage du spectre mo- noparticulaire, ν = 1/2. Ainsi, la condition (2.8) g`ele la moiti´e inf´erieure des ´etats _|φαi

du spectre monoparticulaire noninteractif de l’Hamiltonien d’Anderson (2.7). Ces ´etats

2.2 ´Etude de l’´etat fondamental