Description du mod`ele `a N corps

5.3 Localisation des paires . . . 114 5.3.1 Occupation spatiale du r´eseau . . . 114 5.3.2 Suppression du param`etre d’ordre supraconducteur . . . 115 5.3.3 Phase BLS . . . 118 5.4 Conclusion . . . 120

D

ans ce chapitre, nous allons ´etudier les propri´et´es des paires de Cooper sur un r´eseau d´esordonn´e bidimensionnel. Nous consid´erons ici N fermions chacun de spin 1/2 ´evoluant sur un r´eseau bidimensionnel d’Anderson et coupl´es entre eux par l’interaction attractive de Hubbard. Comme pour le probl`eme de Cooper g´en´eralis´e (N = 2), nous consid´ererons que ces N fermions peuvent interagir entre eux au-dessus d’une mer de Fermi compos´ee d’un ensemble de fermions “gel´es”. Nous ´etudierons plus particuli`erement l’´etat fondamental d’un tel mod`ele qui constitue, pour le cas d’une densit´e finie de particules (2<sub>≤ N < ∞), une extension du probl`eme de Cooper g´en´eralis´e</sub> (voir Chap. 2 et 3).

L’´etude de ce mod`ele pr´esente de multiples int´erˆets :

• L’extension du probl`eme de Cooper g´en´eralis´e permet d’´etudier la phase BLS pour un nombre N <sub>≥ 2 de particules. En effet, `a proximit´e de la mer de Fermi,</sub> dans une fenˆetre ´energ´etique petite en comparaison avec l’´energie de Fermi, les paires de quasiparticules sont tr`es ´eloign´ees les unes des autres . L’approximation la plus brutale serait de consid´erer l’ensemble des N quasiparticules comme N/2 paires r´egies ind´ependamment les unes des autres par le mod`ele TIP (2.3) du

5.1 Description du mod`ele `a N -corps probl`eme de Cooper g´en´eralis´e (voir Chap. 2 et 3). Ici, dans le mod`ele que nous allons d´ecrire, les N quasiparticules interagissent toutes entre elles, les paires de quasiparticules ne sont pas ind´ependantes les unes des autres. Nous verrons que l’interaction r´esiduelle existante entre les paires n’affecte pas la phase BLS qui s’av`ere ˆetre alors un nouvel ´etat des syst`emes `a N -corps (2≤ N < ∞).

• L’approche propos´ee ne fait aucune hypoth`ese sur l’appariement des quasiparti- cules : `a l’int´erieur de la fenˆetre ´energ´etique dont la largeur est d´etermin´ee par la fr´equence de Debye du syst`eme, toutes les transitions entre ´etats monoparticu- laires sont autoris´eesa_{. Cette approche est alors diff´erente des approches de champs}

moyen comme celle de BdG (voir section 1.4.2 et 1.5.2).

• Dans le mod`ele pr´esent´e, la nature fermionique des particules est pleinement prise en compte. Cette derni`ere n’est pas masqu´ee par l’approximation consistant `a as- similer les paires de fermions `a des entit´es bosoniques, comme cela est envisag´e dans la th´eorie des bosons d´esordonn´es de Fisher et al (voir section 1.5.2). La transition supraconducteur-isolant est ici ´etudi´ee comme r´esultante des effets com- bin´es du d´esordre et de l’interaction attractive locale entre les porteurs de charges fermioniques.

• Notre mod`ele peut ˆetre aussi pertinent pour l’´etude th´eorique de petits grains supraconducteurs. En effet, r´ecemment un grand int´erˆet a ´et´e port´e `a l’´etude de l’´energie de couplage des paires de particules dans de tels syst`emes o`u l’espacement moyen des niveaux ´electroniques est comparable au gap supraconducteur [9, 69, 91, 99, 100]. De plus les propri´et´es des paires dans des syst`emes de petites tailles peuvent ˆetre reli´ees `a celles des paires dans la phase localis´ee o`u le mouvement des paires est restreint `a s’effectuer l’int´erieur du domaine de localisation.

5.1

Description du mod`ele `a N -corps

Consid´erons N fermions en interaction sur un r´eseau bidimensionnel d´esordonn´e de L2 _{sites. L’Hamiltonien r´egissant ces fermions est alors d´efinit par l’´equation}

H =_−V X hi,ji,σ c†_iσc_iσ+X iσ ǫiniσ + U X i ni↑ni↓, (5.1)

o`u c†_iσ (c_iσ) est l’op´erateur de cr´eation (d’annihilation) d’un fermion de spin σ sur le site i, niσ = c†iσciσ est l’op´erateur donnant le nombre d’occupation du site i par les fermions

de spin σ. L’´energie V est l’amplitude de probabilit´e de saut d’un site i `a un site adjacent sur le r´eseau, V caract´erise alors l’´energie cin´etique des fermions. Les ´energies sur sites ǫi sont choisies de fa¸con al´eatoire et homog`ene dans l’intervalle ´energ´etique

[_{−W/2, W/2]. L’´energie U mesure l’intensit´e de l’attraction sur site de Hubbard (U < 0).} Des conditions p´eriodiques aux bords sont prises dans les deux directions spatiales du r´eseau bidimensionnel. La diagonalisation de l’Hamiltonien (5.1) se fera dans les sous- espaces vectoriels caract´eris´es par un spin total Sz

total = 0 lorsqu’on ´etudiera un nombre

N pair de fermions et Sz

total = 1/2 lorsque N sera impair.

a_{En particulier, l’ansatz de Cooper qui ne couple que les ´etats biparticulaires noninteractifs diago-}

Sans interaction, U = 0, l’Hamiltonien `a N -corps (5.1) d´ecrit le mod`ele monoparti- culaire d’Anderson bidimensionnel dont les ´etats sont localis´es `a la limite thermodyna- mique quelque soit le d´esordre introduit dans le syst`eme.

Pour W = 0, l’Hamiltonien (5.1) est alors celui du mod`ele de Hubbard attractif sans d´esordre. Ce mod`ele poss`ede en dimension deux une transition supraconductrice avec Tc6= 0 lorsque le remplissage ν est diff´erent de 1/2. Nous prendrons ici ν = 1/4.

Le modus operandi pour ´etendre le probl`eme de Cooper g´en´eralis´e `a une densit´e finie de particules (2≤ N < ∞) est le suivant :

i. Nous cherchons les ´energies propres_{Eα}α∈[1,L2_] et les ´etats propres (ou orbitales)

{|φαi}α∈[1,L2_] du probl`eme monoparticulaire en diagonalisant de fa¸con exacte l’Ha-

miltonien d’Anderson (section 1.2.1).

ii. L’Hamiltonien (5.1) est ensuite r´e´ecrit dans la base des orbitales_{|φαi}α∈[1,L2_],

H =X α,β Eαd†ασdασ + U X α,β,γ,δ Qαβγδ d†α↑d † β↓dδ↓dγ↑ (5.2) o`u d† ασ = P iφα(i)c †

iσ est l’op´erateur cr´eant une quasiparticule de spin σ dans

l’orbitale _|φαi. Les termes

U Qαβγδ = U

X

i

φ∗_α(i)φ∗_β(i)φγ(i)φδ(i) (5.3)

sont les ´el´ements de la matrice de transition induite par l’interaction attractive de Hubbard (U < 0).

iii. Comme dans le cas du probl`eme de Cooper g´en´eralis´e (Chap. 2 et 3), nous introduisons une mer de Fermi en restreignant les sommes dans l’Hamiltonien (5.2) aux orbitales <sub>|φ</sub>αi dont l’´energie est sup´erieure `a celle du niveau de Fermi, EαF.

Ainsi, les indices α des orbitales ´etant ordonn´es par ordre d’´energies croissantes, la condition sur les indices de l’Hamiltonien (5.2) devient α, β, γ, δ > αF. Le facteur

de remplissage est ν = αF/L2 = 1/4 ce qui correspond (avec la d´eg´en´erescence de

spin) `a 2αF fermions gel´es. Les autres fermions forment alors N quasiparticules

en interaction au-dessus de la mer de Fermi.

iv. Supposons l’espace de Hilbert<sub>E sous-tendu par les fonctions d’ondes `a N parti-</sub> cules<sub>{|F</sub>li} construites `a l’aide des orbitales monoparticulaires {|φαi}α∈[1,L2_]telles

que |Fli ∝ " O α pα↑|φα ↑i # ⊗ " O α pβ↓|φβ ↓i # (5.4) o`u pασ = 0 ou 1 suivant que l’orbitale monoparticulaire|φαi est ou n’est pas oc-

cup´ee par un fermion de spin σ. On a ´evidemment P_ασpασ = N et

P

α(pα↑−pα↓) = 0 ou±1 puisque nous nous int´eressons au secteur de spin Stotalz = 0

(N pair) et Sz

total = 1/2 (N impair). Pour entretenir la similarit´e de notre mod`ele

`a N -corps avec celui du probl`eme de Cooper g´en´eralis´e, l’espace de Hilbert E dans lequel on travail est tronqu´e par une coupure `a haute ´energie qui est l’extension de celle utilis´ee (2.8) pour le probl`eme de Cooper g´en´eralis´e,

X

i

5.1 Description du mod`ele `a N -corps 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

α

α

M e r d e F e r m i

a

b

c

d

Fig.5.1 – Exemple d’´etats `a N particules sans interaction. Les diff´erents niveaux (traits) correspondent `a des orbitales monoparticulaires |φαi ordonn´ees de bas en haut par

´energies croissantes. Dans les exemples choisis ici, le nombre de particule est impair, N = 4 _{↑ +3 ↓= 7. L’´etat (a) repr´esente l’´etat N-particulaire “le plus bas” en ´energie.} L’´etat (d) repr´esente un ´etat dont l’´energie est la plus grande autoris´ee par la restriction (5.5), `a savoir P_i(αi− αF) = M = 23. Dans (d) les particules occupent comme dans

(a) les niveaux d’´energie monoparticulaires les plus bas `a l’exception d’un spin _{↑. Le} niveau monoparticulaire|φαmaxi dans lequel se trouve ce spin est l’orbitale la plus haute

accessible par une quasiparticule. La restriction (5.5) implique que αmax− αF = M −

12 = 11. Les ´etats N -particulaires (b) et (c) sont des ´etats interm´ediaires tels que P

i(αi− αF) = 20≤ M pour (b) et

P

i(αi− αF) = 23≤ M pour (c).

Chaque ´etat _|Fli de l’espace de Hilbert tronqu´e ob´eit `a la restriction (5.5) o`u

αi est la i`eme orbitale occup´ee par un fermion de spin ↑ ou ↓ dans l’´etat |Fli.

Des exemples typiques de descriptions d’´etats _|Fli `a N particules sans interaction

sont pr´esent´es `a la Fig. 5.1 [voir commentaires de l´egende]. L’´etat fondamental |Ψ0_{i des N particules r´egies par l’Hamiltonien (5.2) sera exprim´e dans la base des}

d´eterminants de Slater construits `a l’aide des ´etats N -particulaires non interactifs {|Fli}. Il est `a noter que la restriction (5.5) introduit de nouveau une fr´equence

de Debye dans le syst`eme, ωD ∝ M/L2.

v. L’´etat fondamental _|Ψ0_{i du Hamiltonien (5.2) soumis aux conditions iii et iv}

est alors d´etermin´e num´eriquement en utilisant l’algorithme de diagonalisation de Lancz¨os [94].

Nous consid´ererons dans la suite jusqu’`a N = 8 fermions en interaction pouvant op´erer des transitions entre M = 20 orbitales monoparticulaires. Les variations de la coupure M ne change qualitativement pas les r´esultats pr´esent´es ici.