Les résidus et les congruences dans les
livres
Dans ce chapitre, nous commentons les passages faisant intervenir les résidus et les congruences dans des livres publiés en France entre 1801 et 1850. Nous analysons tout d’abord la place des résidus et des congruences dans les traités généraux d’algèbre et de théorie des nombres. Les traités explicitement destinés à l’enseignement1 sont examinés
dans la section suivante.
I Les monographies de recherche
Comme nous l’avons indiqué dans l’introduction, les traités de Gauss et de Legendre sont les sources usuelles des mathématiciens pour leurs recherches arithmétiques dans la première moitié du XIXe siècle. Nous y reviendrons donc en détail dans la deuxième
partie. Ces monographies mises à part, les congruences ne sont pas traitées dans les autres ouvrages. On retrouve des allusions aux résidus et aux travaux de Legendre et Gauss dans deux traités, dont les statuts sont très différents : l’un est une référence de base en algèbre et fait partie des listes d’ouvrages recommandés pour l’enseignement, tandis que l’autre est marginal et témoigne de la résistance de certains savants à l’introduction des notions de Gauss dans les années 1850.
1 -
Le Traité de la résolution des équations numériques de tous
les degrés de Lagrange (1808)
À l’occasion de la deuxième édition de son traité sur la résolution des équations nu- mériques2, Lagrange ajoute quatorze notes sur la théorie algébrique des équations3. La
quatorzième note reprend la méthode de résolution algébrique des équations binômes don- née par Gauss en 1801 ; Lagrange en propose une simplification, qui évite la résolution d’équations intermédiaires, mais il conserve le cœur de la méthode de Gauss : l’utilisation des racines primitives de nombres premiers.
Lagrange commence par un rappel du théorème de Fermat, de la définition des racines primitives, ainsi que de leur propriété fondamentale utilisée par Gauss dans la section VII : une racine primitive a pour le nombre premier p est telle que les termes 1, a, a2, a3,
1. Nous désignons ainsi les ouvrages qui contiennent, dans leur introduction ou leur titre, une mention explicite à un public donné d’élèves ou à un établissement d’enseignement.
2. La première édition, intitulée De la résolution des équations numériques de tous les degrés, est publiée en 1798 sans additions ; il ne contient pas de raisonnements sur les résidus et les congruences.
3. Lagrange a publié un important travail sur la théorie générale des équations en 1770. Voir [Lagrange, 1772-1773].
. . . , ap−2 donnent tous les restes compris entre 1 et p− 1, dans un ordre différent de celui
déduit de l’ordre sur les entiers naturels. Ainsi, les racines différentes de l’unité r, r2, r3,
. . . , rp−1 de l’équation xp− 1 = 0 peuvent être remplacées par les termes
r, ra, ra2, ra3, . . . , rap−2.
Il justifie l’intérêt de ce choix en considérant un nombre premier µ :
L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que si dans la série des racines
r, ra, ra2, ra3, ra4, etc., raµ−2,
on met ra à la place de r, elle devient
ra, ra2, ra3, ra4, ra5, etc., r ;
et si l’on y met ra2
à la place de r, elle devient ra2, ra3, ra4, ra5, ra6, etc., r, ra, et ainsi de suite[Lagrange, 1808, p. 332].
Lagrange ne mentionne qu’une seule fois la théorie des nombres dans cette note XIV, mais il indique explicitement l’utilité des racines primitives dans cette méthode de résolu- tion. La suite de la note est consacrée à l’exposé de la méthode de résolution des équations binômes - qui se base sur des outils similaires à ceux de Gauss - et ne contient plus de résultats de théorie des nombres.
2 -
. . . et un texte plus tardif et marginal : le Traité de l’analyse
indéterminée du second degré à deux inconnues de Desmarest
(1852)
Un texte sur les racines primitives a été présenté à l’Académie des Sciences en 1845 par Eugène Desmarest, pharmacien de formation. Poinsot donne un rapport favorable de ce travail lors de la séance du 9 février 1846, et propose d’insérer la table des racines primitives donnée par Desmarest dans les Mémoires des savants étrangers. Ce texte est repris dans la quatrième partie du traité de Desmarest publié en 1852 ; le titre de l’ouvrage est effectivement suivi de la mention « Mémoire présenté à l’Académie des Sciences et inséré, après rapport, au recueil des savants étrangers » et l’auteur lui-même précise en note au début de la quatrième partie que celle-ci a été présentée indépendamment du traité à l’Académie et qu’elle doit être publiée dans les Mémoires des savants étrangers. Malgré la marginalité de son auteur, nous avons pris en compte ce traité à cause de cette
reconnaissance par l’Académie.
Les trois premières parties du Traité de l’analyse indéterminée du second degré de Desmarest contiennent des méthodes permettant de résoudre des équations indéterminées du second degré de différentes sortes, comme par exemple aX2+ bX + c = kY ou ax2+
2bxy+ cy2 = M. Les résultats sur les résidus, et en particulier sur les racines primitives,
sont exposés dans une soixantaine de pages dans la quatrième et dernière partie. Cette section comprend les démonstrations des théorèmes de Fermat et de Wilson, des propriétés générales sur les racines primitives et sur les relations existant entre celles-ci, et des réflexions sur la détermination de ces racines primitives. À aucun moment Desmarest n’utilise les notations et le vocabulaire des Disquisitiones Arithmeticae et il s’en explique dès la préface et l’introduction :
dans les sciences exactes, et surtout dans une théorie sur les nombres, tout néo- logisme non puissamment motivé, toute innovation, si elle n’est pas impérieusement exigée, doivent être bannis ; or, les notations, les dénominations, introduites par Gauss, nous paraissant avoir en général, à un haut degré ce caractère négatif. Ce défaut explique peut-être, et le petit nombre de lecteurs conquis chez nous par le savant Allemand, et par suite l’idée fausse qu’on s’est fait du progrès de la partie que nous traitons ici[. . . ][Desmarest, 1852, Préface, p. vi]
Desmarest explique ensuite que le lecteur de son traité peut n’avoir que des connais- sances en arithmétique, puisqu’il n’utilise pas dans son travail d’outils étrangers à cette discipline :
[. . . ] suit-il qu’un traité sur un point des sciences exactes doive prendre la forme encyclopédique, qu’un traité sur les nombres, doive chercher ses preuves dans une analyse transcendante ou même simplement dans l’algèbre ? Cet écueil, créé en gé- néral par une vanité puérile, nous avons voulu, à l’exemple des Gauss, des Poinsot, etc., etc., soigneusement l’éviter, et nous pouvons affirmer que tout lecteur, fami- liarisé avec les principes ordinaires de l’arithmétique, pourra lire, comprendre notre travail, et de cette lecture retirer, nous l’espérons, un profit réel[Desmarest, 1852, Préface, p. viii].
Dans son introduction, Desmarest revient sur les ouvrages de Legendre et Gauss :
Ne parlons des ouvrages que les plus étendus et qui offrent un ensemble de prin- cipes sur le sujet qui nous occupe : Essai sur la théorie des nombres par Legendre ; Disquisitiones Arithmeticae de Gauss. Malgré notre profond respect pour ces maîtres de la science, nous pensons que le premier est un simple recueil, et son titre l’indique, de principes déjà connus ou dus à l’auteur, sur la théorie des nombres, c’est-à-dire sur toute l’analyse indéterminée. Quant au second ouvrage, peut-être est-il permis de reprocher au savant allemand l’emploi de notations particulières, de dénomina- tions nouvelles qui ne paraissent pas indispensables. Remarquons, d’ailleurs, que le travail de Gauss, justement intitulé Recherches, est purement théorique, ne donne
aucun moyen pratique de résoudre en nombres entiers les équations du second degré à deux inconnues[Desmarest, 1852, Introduction, p. 1-2].
Desmarest émet donc des réserves sur les ouvrages de théorie des nombres en général, et sur celui de Gauss en particulier : les résultats obtenus lui semblent dispersés et trop théoriques, ne permettant pas souvent des applications pratiques. De plus, l’étude de l’ouvrage de Gauss, et de certains travaux ultérieurs, nécessitent d’intégrer de nouvelles notions, comme les congruences par exemple. Malgré ces réticences, Desmarest cite un nombre important de savants en liaison avec la théorie des nombres : Euler, Johann Heinrich Lambert, Lagrange, Legendre, Gauss, Poinsot et Jacobi. Insistons finalement sur l’exigence de Desmarest de construire un traité fondé uniquement sur les « principes ordinaires de l’arithmétique » : on verra au cours de notre étude à quel point cette volonté d’isoler l’arithmétique des autres domaines mathématiques confirme le caractère marginal de ce livre par rapport aux pratiques des mathématiciens français de notre corpus dans la première moitié du XIXesiècle.
II La place des résidus et les congruences dans l’ensei-
gnement scientifique français
1 -
Présentation
Les manuels donnent des indications sur les savoirs et savoir faire attendus de groupes d’élèves dans le cadre de leur formation4. L’objectif est donc de déterminer ici quelle est
la place des résidus et des congruences, dans l’enseignement des mathématiques en France pour la première moitié du XIXe siècle.
Nous nous sommes d’abord appuyés sur les textes officiels liés à l’enseignement, afin de déterminer les ouvrages conseillés officiellement pour l’enseignement de l’algèbre et de l’arithmétique5. Le premier programme pour l’admission à l’École Polytechnique est
rédigé par Laplace, Lagrange et Monge et paraît le 28 février 1800 ; il reste en application jusqu’en 1854, sans modifications importantes6. Dans la partie réservée à l’algèbre et
l’arithmétique, il comprend l’étude des quatre opérations élémentaires, de la notion de plus grand commun diviseur, de l’étude des proportions, des progressions et des logarithmes. Le 10 décembre 1802 paraît l’arrêté concernant l’organisation de l’enseignement dans les lycées, qui est donné sous forme de deux séries de classes indépendantes : une pour les mathématiques et une pour le latin. Le 10 avril 1803 est publié le résultat des travaux de la
4. Sur le rôle joué par l’enseignement dans l’histoire des mathématiques, voir notamment [Belhoste, 1998].
5. Nous nous basons ici sur les données contenues dans [Dhombres, 1985], [Belhoste, 1989] et [Belhoste, 1995].
6. Les exigences des examinateurs deviennent néanmoins de plus en plus importantes avec le nombre croissant de candidats.
commission pour les mathématiques composée de Laplace, Monge et Lacroix. Elle fournit une liste d’ouvrages devant servir à l’enseignement des sciences. Pour les mathématiques, ce sont les manuels de Lacroix qui sont choisis. La somme des connaissances contenues dans ces ouvrages dépasse largement le bagage nécessaire pour le passage du concours d’entrée à l’Ecole Polytechnique. L’étude des Compléments des éléments d’algèbre de Lacroix est prévue pour les classes de mathématiques transcendantes7. Le 19 septembre 1809 paraît le
nouveau plan d’étude des lycées. Il restructure l’ enseignement sur la base de classes dont le contenu est à la fois scientifique et littéraire. Les classes de mathématiques spéciales, surtout vouées à la préparation au concours d’entrée des écoles spéciales, remplacent les classes de mathématiques transcendantes. Une nouvelle liste d’ouvrages est alors donnée qui comprend les ouvrages de Bézout, Bossut et Lacroix8. On retrouve également les
Compléments des éléments d’algèbre de Lacroix et le traité des équations numériques de Lagrange9. En 1814, les Éléments d’algèbre d’Euler sont ajoutés. À partir de 1821, les
programmes sont de plus en plus détaillés, et ne reposent plus sur une liste de livres imposée, même si le professeur doit s’appuyer sur des manuels recommandés. On n’y trouve aucune référence aux résidus et aux congruences.
À partir des années 1830, à côté des ouvrages de Lacroix, d’autres manuels d’algèbre sont destinés aux candidats à l’entrée à l’École Polytechnique : ce sont les traités de Reynaud, Lefébure de Fourcy, Bourdon10. Ces manuels contiennent parfois des notions
hors-programme : par exemple, dans [Lefebure de Fourcy, 1833], Lefébure de Fourcy note d’une étoile les notions qui ne sont pas exigées au concours d’entrée à l’École Po- lytechnique, on y trouve par exemple le théorème de Sturm, dont la démonstration est publiée en 1829 dans le Bulletin de Férussac11.
Dans cette liste d’ouvrages, nous avons cherché les mentions aux résidus et congruences à partir des mots et symboles-clés cités dans le chapitre 1. La majorité des manuels d’algèbre et tous les manuels d’arithmétique abordent des thèmes élémentaires et on n’y retrouve aucune trace des résidus et des congruences. Nous donnons ci-dessous un panorama des extraits contenant des mentions aux résidus ou aux congruences dans les ouvrages restants. Nous commentons également les deux premières éditions du Cours d’algèbre supérieure de Joseph-Alfred Serret, publiées en 1849 et 1854, afin de voir quels
7. La création des facultés des sciences date de 1808 et les classes de mathématiques transcendantes visent alors très probablement à pallier cette absence d’enseignement supérieur en dehors des écoles spéciales.
8. Pour une étude détaillée du contenu des manuels de Bézout et Lacroix et de leur influence, voir notamment [Lamandé, 1987], [Lamandé, 2004], [Alfonsi, 2005], [Ehrhardt, 2007].
9. Il existe plusieurs éditions de ce traité ; à partir de la deuxième édition publiée en 1808, l’ouvrage de Lagrange comprend une note mentionnant les résidus et les congruences ; nous l’avons étudiée dans la section précédente puisque ce traité n’est pas explicitement assigné à l’enseignement.
10. Voir [Ehrhardt, 2007, p. 136]. Cette liste est issue duManuel des aspirants à l’École Polytechnique, de Georges Ritt (1839).
11. Le théorème de Sturm est également publié en 1832 dans la première édition du Traité élémen- taire d’algèbre de Choquet et Mayer. À ce sujet voir en particulier [Ehrhardt, 2007, p. 173-174] et [Sinaceur, 1991, p. 35-36].
résultats autour des résidus et des congruences sont mis en avant à la fin de la période étudiée ici.
2 -
Le Complément des éléments d’algèbre de Lacroix (1804)
Dès la troisième édition de l’ouvrage de Lacroix en 1804, qui traite principalement de la résolution algébrique des équations, on retrouve un résumé de la section VII de Gauss. Il est inclus dans la dernière partie, dont le titre est Des propriétés des nombres. Lacroix commence par y dresser un rapide historique des quelques résultats importants de théorie des nombres démontrés au XVIIIe siècle par Euler et Lagrange - comme par exemple le
théorème des quatre carrés et le théorème de Wilson - puis poursuit :
Il serait impossible, sans sortir beaucoup des limites où je dois renfer- mer cet ouvrage, de développer ici les démonstrations des théorèmes que je viens d’énoncer ; mais pour donner une idée de ces recherches, je vais exposer, d’après M. Gauss, la théorie des restes que laissent les puissances d’un nombre, lorsqu’on les divise par le même nombre premier, et qui conduit à prouver la proposition indiquée à la page 92 [Lacroix, 1804, p. 296]12.
Il donne ensuite quelques résultats sur les résidus des puissances : il liste en premier lieu les restes des puissances de 3 modulo 7, et remarque que les restes obtenus décrivent tous les nombres inférieurs à 7. Puis il énonce ensuite que, pour tout nombre a et tout nombre premier p, il existe un nombre t inférieur à p tel que at laisse l’unité pour reste après
division par p, et que ce nombre t est un diviseur de p− 1 ; il en déduit le petit théorème de Fermat. L’article 156 est la démonstration de l’existence d’une racine primitive pour tout nombre a et diviseur premier p. Lacroix insiste sur le fait que les diverses puissances d’une racine primitive d’un nombre premier p donnent pour restes modulo p tous les nombres compris entre 1 et p− 1. Ici, il n’utilise ni les notations de Gauss, ni celles de Legendre et ne raisonne qu’en termes de division euclidienne.
Il résume ensuite la méthode de Gauss de résolution algébrique de l’équation xn= 1,
où n est un nombre premier. Dans cette version abrégée, même si elle est intégrée dans la partie dédiée à la théorie des nombres de son ouvrage, Lacroix n’insiste pas sur la nécessité d’utiliser des racines primitives, ni sur l’utilité de la théorie des nombres dans la démonstration de ce résultat d’algèbre. Il développe, pour finir, le cas particulier de n = 17. Il indique en note que le lien entre la résolution algébrique de l’équation xp = 1
et la division du cercle en p parties égales est présentée dans son Traité élémentaire de
12. La propriété énoncée page 92 est le principe de la méthode de résolution de Gauss :
M. Gauss, dans un ouvrage très-remarquable, intitulé : Disquisitiones Arithmeticae, a fait voir quetoute équation à deux termes, dont l’exposant est un nombre premier, peut être décomposée rationnellement en d’autres équations dont les degrés sont marqués par les facteurs premiers du nombre qui précède d’une unité ce nombre premier[Lacroix, 1804, p. 92].
Calcul différentiel et intégral. Il conclut sa section sur la théorie des nombres, et donc son traité, en renvoyant le lecteur qui voudrait approfondir ce sujet aux textes de Gauss et Legendre.
Dès la quatrième édition de ses Compléments aux éléments d’algèbre, publiée en 1817, Lacroix reprend la version simplifiée par Lagrange pour exposer la résolution algébrique des équations binômes, sans la détailler mais en l’illustrant à l’aide de la résolution de l’équation x5− 1 = 0.
3 -
Les ouvrages destinés à la préparation au concours d’admis-
sion à l’École Polytechnique
Parmi cet ensemble d’ouvrages, seuls quelques-uns abordent la théorie des résidus et des congruences. Certains renvoient aux traités de Gauss et Legendre. Ainsi, dans la sixième édition des Éléments d’arithmétique, Bourdon observe :
Nous ne pousserons pas plus loin l’examen des propriétés des nombres ; mais nous recommanderons aux jeunes gens qui, déjà familiarisés avec l’analyse algébrique, vou- draient étendre leurs connaissances sur cette partie, la lecture de deux ouvrages in- titulés : Théorie des nombre par Legendre, et Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss, ouvrage traduit avec beaucoup de succès par M. Poulet-Delisle[Bourdon, 1828, p. 232].
Il en est de même pour [Choquet et Mayer, 1836] et [Francoeur, 1838]. Dans le manuel de Francoeur, qui a enseigné à la Faculté des Sciences de Paris, le cinquième chapitre est consacré aux équations déterminées et indéterminées des premier et second degrés. Il considère notamment les équations indéterminées de la forme my= x2±a, ce qui
correspond à la congruence binôme x2 ≡ a (mod m), et raisonne à partir des restes des
quotients x2
m ; il évite ainsi, consciemment ou non, l’utilisation des notations introduites
par Gauss.
Dans ses Leçons d’algèbre, Lefebure de Fourcy consacre le chapitre VII à l’analyse indé- terminée du premier degré et ne donne pas de résultats sur les résidus et les congruences. Par contre, le chapitre XII, qui est intitulé Propositions sur les nombres. Grandeurs incom- mensurables et approximations des racines. Progressions. Fractions continues. (17 pages), contient une section marquée d’une étoile - et donc considérée comme "hors-programme" pour la préparation du concours d’entrée à l’École Polytechnique - nommée Continua- tion. Théorèmes sur les résidus. L’auteur donne notamment le théorème fondamental de l’arithmétique sur la décomposition unique des nombres entiers en facteurs premiers, puis des propriétés sur les résidus, les résidus des puissances, ainsi que le théorème d’Euler - Fermat. Il en déduit le théorème de Fermat et définit ce que sont les racines primitives, en donnant pour référence Euler. Il renvoie le lecteur désireux d’approfondir le sujet à l’étude de l’ouvrage de Legendre.
4 -
Le Cours d’Algèbre Supérieure de Serret (1849 - 1854)
Ce cours contient des recherches assez récentes et approfondies, en particulier sur la théorie générale des équations. Sept éditions de ce Cours ont été éditées entre 1849 et 1928, et il constitue une référence au moins jusque dans les années 1870, comme en té- moignent les nombreuses mentions de ce livre dans les articles13. Nous avons étudié les
deux premières éditions, publiées en 1849 et 1854. La théorie des nombres est principale- ment développée dans les leçons 23 à 25. Dans les deux éditions, les leçons 23 et 24 sont pratiquement identiques14.
La vingt-troisième leçon donne des résultats fondamentaux sur les congruences. L’au- teur commence par introduire les nombres congrus, ou équivalents, ainsi que la notation ≡ qu’il attribue à Gauss. Il observe d’ailleurs :
L’avantage de la notation de M. Gauss, pour représenter les congruences, consiste surtout en ce qu’elle rappelle la grande analogie qui existe entre les congruences et