Des sources communes pour des
perspectives différentes
I Résidus et congruences dans les journaux en France
de 1801 à 1850
Nous sommes maintenant en mesure de préciser où et comment interviennent dans les périodiques disponibles sur la scène française les travaux arithmétiques liés aux résidus et les congruences. Remarquons tout de suite que ces conclusions ne valent pas pour l’ensemble des travaux arithmétiques : les Annales de Gergonne ou le Bulletin de la Société Philomathique n’apparaissent pas ici, puisqu’on n’y retrouve pas de texte sur notre thème. Ces périodiques mathématiques du début du siècle contiennent néanmoins des articles de recherche sur l’arithmétique1.
Avant 1825, en dehors des livres, les seules publications pertinentes, d’ailleurs très rares, sont de nature académique : comme nous l’avons dit, le Journal de l’École Poly- technique apparaît alors fortement lié à l’Académie des sciences, avec les mêmes auteurs. L’article [Poinsot, 1820] est le seul mémoire où les congruences ont une place de choix, et son auteur est le principal auteur de cette période en France.
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Le milieu des années 1820 : le Bulletin de Férussac
Ce n’est qu’à partir de 1825 que l’on retrouve des entrées en lien avec notre thème dans un autre type périodique en France : le journal en question est le Bulletin de Férus- sac. Cette période voit par ailleurs une floraison d’articles dans le Journal de Crelle, en particulier ceux de Jacobi et Dirichlet.
Le rôle du Bulletin de Férussac est ici double. D’une part, il fait fonction de ré- pertoire des différentes productions publiées pendant sa période d’existence : nous avons montré que les travaux présentés à l’Académie ou insérés dans les Mémoires de l’Académie sont souvent signalés, voire commentés. Des publications indépendantes, non périodiques, comme les ouvrages de Lacroix et de Legendre, sont également indiquées. Enfin, le contenu de plusieurs périodiques y est résumé, c’est-à-dire pour notre thème, le Journal de Crelle. Les comptes rendus des articles de ce périodique allemand sont pratiquement tous confiés à Cournot, qui joue donc un rôle significatif dans la diffusion des résultats et des mé- thodes pour notre sujet. Lebesgue s’y réfère par exemple à au moins deux reprises dans
1. Voir par exemple la démonstration du théorème de Fermat sur les nombres polygones donnée par Cauchy insérée dans une note en 1815 dans leBulletin de la Société Philomathique ou encore l’article de Gergonne sur les nombres polygones publié en 1814 dans ses Annales.
ses travaux, dans lesquels il reprend notamment des résultats développés auparavant par Poinsot, Jacobi, Dirichlet.
Cournot intègre effectivement des commentaires étayés sur plusieurs articles arith- métiques du Journal de Crelle et sur d’autres mémoires, en insistant particulièrement sur certaines idées qu’il juge importantes. Il fait également le lien entre différents tra- vaux : ainsi, dans son compte rendu de [Jacobi, 1827], il rappelle que Gauss a l’intention de publier lui aussi des travaux sur le sujet abordé par Jacobi, et que Poinsot a mis lui-même en avant les idées qui y sont développées. De plus, Cournot, proche de Diri- chlet notamment, donne la primeur de certains résultats ou démonstrations non encore publiés aux lecteurs du Bulletin. Ces commentaires introduisent certains décalages par rapport aux textes originaux : nous avons vu, par exemple, que dans son compte rendu de [Dirichlet, 1828b], Cournot met en avant les résultats sur les équations, en omettant d’utiliser les congruences, pourtant largement présentes dans le texte original. Compte tenu de l’importance du Bulletin de Férussac et celle, en particulier, des commentaires de Cournot comme source d’informations pour les savants de la scène française, ces décalages de formulation ne sont pas anodins ; le Bulletin donne une forme spécifique à la réception des congruences.
Le deuxième rôle du Bulletin de Férussac est celui de permettre l’insertion de plusieurs mémoires inédits. Ainsi, Cauchy et Libri, ayant pourtant leurs entrées à l’Académie des Sciences, choisissent néanmoins d’insérer dans le périodique certains de leurs travaux, sous forme de note succincte ou d’article d’une dizaine de pages, probablement pour pallier les lenteurs de l’institution. Les recherches de Cauchy sur les formes quadratiques, présentées à l’Académie et diffusées par le Bulletin de Férussac ne seront publiées que dix ans plus tard dans les Mémoires. D’autres profitent du Bulletin de Férussac comme un des seuls moyens à leur disposition pour rendre leurs travaux publics : pour notre thème, c’est le cas de Lebesgue, ou du mémoire de théorie des nombres de Galois sur les racines imaginaires de congruences.
Dans ce périodique, tous les aspects des travaux sur les résidus et les congruences sont abordés. Dans les différentes entrées du Bulletin, nous retrouvons effectivement quelques commentaires sur des travaux élémentaires, comme, par exemple, la note de Hörner sur le théorème de Fermat parue en 1826, des traités généraux et des comptes rendus (voire des mémoires complets) sur des travaux de recherche de Cauchy, Galois, Lebesgue, Jacobi, Dirichlet, . . . Ainsi, sans ce périodique, nous n’aurions retrouvé aucune trace sur la scène française d’études sur les résidus d’ordre supérieur et les lois de réciprocité associées. Jus- qu’au début des années 1830, ce périodique constitue donc la source, une ressource globale, rendant compte en temps court des différents travaux sur les résidus et les congruences.
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Début des années 1830 : le grand vide pour les périodiques
français
L’édition du Bulletin de Férussac cesse en 1831 ; cet arrêt prive ainsi les savants français d’un moyen de communication efficace et facilement accessible par rapport aux publications institutionnelles. Sur cette période, les seuls articles écrits par des auteurs de la scène française et contenant des raisonnements significatifs sur les résidus et les congruences sont au nombre de deux et sont insérés dans le Journal de Crelle ; les auteurs en question sont Libri et Germain2. Le périodique allemand prend ainsi provisoirement
le relais des éventuels moyens de communication français, et son rôle dans la diffusion du thème est majeur.
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À partir de 1835 : de nouveaux espaces éditoriaux et une
redistribution des publications
Entre 1835 et 1850, trois nouveaux périodiques publiés en France deviennent perti- nents pour notre enquête : cette fois, chacun a ses propres spécificités, du point de vue des auteurs et des contenus, mais aussi de leurs liens les uns avec les autres. Ainsi, les Comptes Rendus des séances de l’Académie contiennent les travaux de recherche ayant reçu l’approbation académique. Dans ce périodique institutionnel, Cauchy est le principal pourvoyeur de travaux sur notre thème, avec plus de vingt notes. Les notes sont géné- ralement développées dans des mémoires intégrés à d’autres périodiques : les Mémoires de l’Académie, le Journal de Liouville ou encore les Exercices d’analyse et de physique mathématique dans le cas de Cauchy.
Le Journal de Liouville, créé en 1836, est relié à l’Académie dans la mesure où des textes de Cauchy, Liouville et Poinsot insérés dans le Journal de Liouville ont, dans un premier temps, été présentés à l’Académie. Mais il est aussi relié au Journal de Crelle ou aux publications de l’Académie de Berlin, dont il reproduit certains articles, la plupart traduits en français. Il offre enfin une place à d’autres auteurs, un en particulier, puisque huit des dix articles originaux sont de Lebesgue. De ce point de vue, à cette époque, le Journal de Liouville constitue un remplacement (partiel, nous le verrons dans un instant) du Bulletin de Férussac, ce qui n’est pas le cas des Comptes Rendus de l’Académie des sciences.3 Là encore, l’éditeur Liouville joue un rôle dans la circulation de ces travaux,
notamment en entretenant une correspondance avec Jacobi et Kummer. Cette continuité entre les deux publications est illustrée de manière frappante par la réédition de l’article
2. Norbert Verdier souligne d’ailleurs la persistance de Crelle à vouloir intégrer des articles d’auteurs étrangers dans son journal ; le rédacteur allemand insiste particulièrement auprès de Hachette et Abel pour trouver des auteurs français. Norbert Verdier indique également que Sophie Germain entre en contact avec Crelle vraisemblablement par l’intermédiaire de Libri : voir [Verdier, 2009, ch. 2].
3. Comme l’a montré Hélène Gispert, ceux-ci semblent occuper un rôle de plaque tournante, au moins pour la scène française, dans la deuxième moitié du siècle, voir [Gispert, 1991].
de Galois de 1830 en 1846, lors de l’édition par Liouville des œuvres de Galois.
Le troisième journal, les Nouvelles Annales de Mathématiques, se distingue radica- lement des deux autres par ses objectifs et la nature de son contenu : les articles le composant sont en grande majorité destinés à l’enseignement et les textes liés aux résidus et aux congruences, dont les principaux auteurs sont Terquem et Prouhet, témoignent à la fois du souhait d’intégrer ces sujets à la formation de base (au moins celle des ensei- gnants) et du fait qu’une partie au moins de cette théorie y est considérée à un niveau élémentaire. Il est remarquable de totaliser plus de dix textes sur ce thème, alors que la théorie des nombres ne figure pas aux programmes des concours dont la préparation est officiellement le principal but du journal. Certains de ces textes ont explicitement un ob- jectif pédagogique : nous pouvons par exemple penser à l’article [Prouhet, 1850], dans lequel l’auteur propose au lecteur, en guise d’exercice, de déterminer des résultats sur les propriétés opératoires des résidus et non-résidus de puissances énoncés par Euler au XVIIIesiècle. Presque tous les textes repérés se distinguent par la présence d’une nouvelle
notation visant à remplacer le symbole ≡ de Gauss, et vraisemblablement proposée par Terquem. Ainsi, les auteurs concernés abordent les notions fondamentales de la théorie des résidus, ou reprennent des articles de savants comme Gauss, Dirichlet ou Jacobi, en remplaçant le signe ≡ par leur propre notation. Avec ces quelques textes des Nouvelles Annales, nous assistons par conséquent à un développement d’une théorie élémentaire des résidus et des congruences qui semble se vouloir autonome et destiné à l’enseignement. Par rapport aux Annales de Gergonne, publiées au début du siècle et annonçant des ob- jectifs similaires, la place des résidus et des congruences dans la communauté enseignante semble donc avoir évolué.
Le seul auteur commun entre les Nouvelles Annales et les deux autres journaux est également le seul à conserver la notation de Gauss dans la note qu’il insère dans les Nou- velles Annales : Lebesgue publie ainsi un court texte élémentaire dans ce journal4, insère
quelques notes aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences et domine de manière écrasante les productions de théorie des nombres dans le Journal de Liouville. Cette di- versité de possibilités éditoriales permet donc à des savants dont la position n’est pas centrale de faire connaître leurs travaux ; elle témoigne aussi de la manière dont un auteur comprend le paysage éditorial qui lui est alors offert.
Un sujet qui reste tout au long de la période très marginal, comme les congruences, permet donc malgré tout de repérer certains changements du paysage éditorial en France entre 1800 et 1850. Au Bulletin de Férussac, dont la diversité couvre presque tous les domaines liés aux résidus et aux congruences, succède après 1835 une répartition édi- toriale entre les articles élémentaires, publiés dans les Nouvelles Annales, et les travaux
4. De nombreux articles de Lebesgue continuent à paraître dans les Nouvelles Annales à partir de 1850.
de recherche édités dans les Comptes Rendus de l’Académie et le Journal de Liouville. La tentative de développer une notation indépendante montre d’ailleurs que les auteurs des Nouvelles Annales ne voient pas leurs articles comme une simple vulgarisation, mais comme la base d’une possible discipline d’enseignement retravaillée dans cet objectif. Nous avons de plus souligné les différences dans les thématiques abordées dans les deux derniers journaux. Enfin, alors les auteurs des Nouvelles Annales sont le plus généralement liés à l’enseignement, l’auteur dominant des Comptes Rendus est au centre de l’institution, alors que celui du Journal de Liouville a une position bien plus marginale. Cette position, par rapport à la prolixité de l’auteur, montre bien qu’une spécialisation sur l’arithmétique, en particulier sur les congruences, ne sert pas à elle seule à assurer facilement une carrière académique en France5.
Soulignons au passage que le rôle bien connu de certains hommes dans la circulation des idées mathématiques à cette époque se retrouve à l’échelle bien plus petite des résultats sur les résidus et les congruences : en effet, les commentaires de Cournot donnent un aperçu général de certaines recherches publiées à l’étranger, Crelle encourage la collaboration de certains auteurs français à son journal, Liouville agit, comme l’a souligné de manière plus générale Norbert Verdier, pour « faire de son Journal un lieu d’échanges et de sociabilité »[Verdier, 2009, p. 178].
Par rapport au Bulletin de Férussac dans les années 1820, ni Journal de Liouville ni les Nouvelles Annales ne contiennent de comptes rendus détaillés sur le Journal de Crelle par exemple. Néanmoins, d’après les références données par les auteurs français publiant dans les années 1840, les travaux publiés dans le périodique allemand par Jacobi, Dirichlet, Eisenstein, Kummer, semblent au moins en partie connus. Plus généralement, l’examen de ces références croisées permet de mettre en lumière plusieurs choses6 :
Tout au long de la période, nos auteurs citent Euler, Lagrange, Legendre et Gauss. Ces références sont présentes de manière générale, mais dans les années 40, Lagrange est moins cité par les auteurs du Journal de Crelle. Par ailleurs, on constate que les auteurs de notre corpus pour la deuxième période se citent souvent entre eux, et citent aussi les auteurs de la première période, comme Poinsot et Libri. Poinsot, en revanche disparaît des références du Journal de Crelle. Celles-ci d’ailleurs tendent à se refermer sur elles- mêmes : en 1844, Eisenstein cite Gauss, Jacobi et Dirichlet presque exclusivement (deux fois Legendre, une fois Abel), alors que c’est beaucoup moins le cas pour les auteurs de notre corpus. Cauchy par exemple fait référence à presque tous les autres auteurs. On peut se demander si c’est un effet de la nature du Journal de Liouville qui donne un aperçu assez complet de nombreux auteurs, ou si cela tient aux recherches engagées en tant que telles. Le contenu du Journal de Crelle semble être connu au moins partiellement
5. Il serait intéressant d’explorer cette question en référence avec les cas contraires rapportés pour la Prusse dans [Pieper, 2007].
6. Nous ne développons pas cette approche ici, mais renvoyons aux exemples de [Goldstein, 1999], [Gauthier, 2007], [Brechenmacher, 2010].
par Cauchy : nous verrons dans notre quatrième partie que Cauchy se réfère en 1847 à un texte de Kummer, publié en allemand dans le Journal de Crelle seulement. Quoi qu’il en soit, nous comprenons mieux comment a pu se développer, à partir de la seule lecture des textes du Journal de Crelle une historiographie quelque peu tronquée du sujet - il est à noter d’ailleurs que certains auteurs de ce journal, comme Arndt, n’en sont pas moins oubliés.
II Résidus et congruences en France de 1801 à 1850 :
un discours commun, des réponses variées
Ces différences dans les modes de publication et les références sont-elles le signe de dif- férences dans les pratiques mathématiques elles-mêmes ? Dans l’analyse développée dans le chapitre précédent, nous avons mis en évidence certaines spécificités des savants français au cours de la première moitié du XIXesiècle. Dès l’introduction générale et dans l’étude
des monographies liées aux résidus et aux congruences dans notre deuxième chapitre, nous avons confirmé que la réception en France des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss au début du siècle est liée principalement à la section VII, c’est-à-dire au traitement de l’inscription des polygones réguliers dans le cercle, que Gauss interprète comme l’étude de l’équation vérifiée par les racines de l’unité ; c’est à cette étude qu’il applique sa théorie des congruences, en utilisant tout particulièrement les racines primitives, développée dans les premières sections. Ce lien entre théorie algébrique des équations et théorie des nombres en général, congruences en particulier transparaît implicitement ou explicitement dans la plupart des travaux des auteurs rencontrés dans notre corpus.
La plupart de ces auteurs observent aussi régulièrement, en le déplorant, ce qu’ils décrivent comme l’isolement de la théorie des nombres. À partir de ce constat, ils pro- posent différentes approches visant le plus souvent à rattacher les congruences à d’autres domaines mathématiques. Leurs écrits sont parsemés de commentaires sur la nature des démonstrations des résultats arithmétiques, sur la nature et la praticabilité des méthodes proposées. Ce sont les modalités des travaux de recherche sur les résidus que nous exami- nons dans cette section, cette fois, du point de vue des auteurs eux-mêmes.
Remarquons tout d’abord leur petit nombre, une douzaine sur l’ensemble de la pé- riode. Mis à part Legendre, né au milieu du dix-huitième siècle, on y trouve d’exacts contemporains de Gauss (Sophie Germain et Louis Poinsot sont respectivement nés en 1776 et 1777), puis la génération née autour de la Révolution (comme Cauchy né en 1789 ou Lebesgue né en 1791) ; viennent ensuite Libri, Jacobi, Dirichlet (nés entre 1803 et 1805), enfin un groupe né autour de 1810 (Galois, Liouville, Kummer, Schönemann).
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Jusqu’en 1825 : Louis Poinsot
Selon l’historiographie usuelle, un quart de siècle s’écoule après la publication des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss sans véritable développement de ses idées, sauf par lui-même7. Les recherches récentes de Andrea Del Centina, Reinhard Laubenbacher et
David Pengelley sur les manuscrits de Sophie Germain, dont nous avons parlé aupara- vant, ont déjà montré comment le programme de recherche de cette mathématicienne sur le dernier théorème de Fermat s’appuie sur les congruences et les résidus : ses re- cherches arithmétiques ont donc pour objet la résolution d’un célèbre problème d’analyse indéterminée, qu’elle étudie à partir de sa connaissance approfondie des Disquisitiones Arithmeticae.
Dans notre corpus, Poinsot est le seul auteur qui publie des mémoires de recherche en lien direct avec les congruences (même s’il n’adopte pas la notation introduite par Gauss, mais utilise la notation Mp de Legendre). Les extraits cités dans le chapitre pré- cédent nous donne plusieurs informations sur sa pratique arithmétique. Dans son article publié en 1818, il résume ses recherches de géométrie, algèbre et théorie des nombres en indiquant que ces trois domaines sont basés sur une notion commune : l’ordre. Ses re- cherches de théorie des nombres sont centrées sur la résolution des équations binômes : il met en avant une analogie existant entre les racines des équations binômes et celles des congruences binômes afin d’obtenir une expression de ces dernières. Il commente à cette occasion l’introduction des racines imaginaires de congruences, qui sera développée en 1820. La section VII y est interprétée comme mêlant géométrie, algèbre et arithmétique, trois domaines dont l’interaction est mise en relief par Poinsot. Le lien qu’il propose entre algèbre et arithmétique est un transfert par analogie des questions et outils de l’algèbre des équations aux congruences.
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1825-1835 : des directions variées
D’ordinaire, cette période est considérée comme celle marquant la renaissance d’un intérêt pour les résidus, surtout avec les travaux de Jacobi et Dirichlet sur les lois de réciprocité supérieures, lesquels contribuent (notamment avec les cours de Jacobi) à faire des résidus l’objet central d’une discipline enseignée à l’université. Or, si nous ne trou- vons pas cette tendance chez les auteurs de notre corpus, nous constatons néanmoins un