Chapitre II : La génération du signal in-situ
IV. Les nouvelles structures pour les modulateurs ΣΣΣΣ∆∆∆∆
La conception des modulateurs Sigma Delta numérique d’ordre élevé avec un seul bit de quantification présente beaucoup de défis. En particulier, la stabilité doit être garantie et la complexité de l’implantation numérique doit être minimale en évitant l’utilisation des multiplieurs. Dans ce paragraphe, nous proposons une méthode originale de conception et une topologie spécifique pour cette classe de modulateurs qui sera utilisée pour les oscillateurs Sigma Delta [Reba02-a].
H(z) X(z)+ Y(z) -(a) (b) e u H(z) X(z)+ Y(z) -e u E(z)
Figure II. 19 : Structure standard pour le modulateur Sigma Delta (a), modèle linéaire (b). La structure typique d'un modulateur sigma delta d'ordre élevé est montrée dans figure II. 19.a. Elle se compose de trois blocs principaux: un additionneur, un filtre linéaire H(z) et un quantificateur 1-bit. Modéliser le quantificateur comme une source de bruit blanc additif E, figure II. 19.b, nous permet de caractériser le modulateur de delta sigma par sa fonction de transfert du bruit de quantification NTF(z) et sa fonction de transfert du signal STF(z). Les équations suivantes décrivent la fonctionnalité du modulateur dans le domaine z :
( )
z STF( ) ( )
z X z NTF( ) ( )
z E z Y = + (II - 27)( )
z 1 H1( )
z NTF + = (II - 28)( )
z 1 NTF( )
z STF = − (II - 29)La NTF est conçu pour atténuer le bruit de quantification dans la bande d'intérêt afin de produire le SNR désiré. Les zéros de la STF, qui sont également les pôles de H(z), devraient se trouver sur le cercle d'unité dans la bande du signal, afin d’augmenter le SNR dans cette bande.
La bande utile du signal est définie comme [-Fh/(2OSR), Fh/(2OSR)], où Fh est la fréquence d’échantillonnage du système et OSR représente le taux de suréchantillonnage.
La condition de stabilité du modulateur peut être assurée si l’amplitude de NTF(z) est limitée à toutes les fréquences. Les simulations ont prouvé qu’en général cette limite doit être inférieur à 2 [Chao90][Schr93].
( )
z 2 NTF max z 1< = (II - 30)Chapitre II : La génération du signal in-situ
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Un modulateur Sigma Delta d'ordre élevé peut être réalisé avec une NTF dont le numérateur et le dénominateur ont le même ordre et les mêmes principaux coefficients :
( )
z 1NTF z=∞= (II - 31) Le NTF doit être conçue en tenant compte des contraintes (II - 30) et (II - 31). On peut utiliser des logiciels spécifiques pour la conception des filtres. Notamment, le logiciel MATLAB peut être utilisé pour concevoir une NTF de type Butterworth, Chebychev ou elliptique. Dans la suite, nous présentons une méthode originale pour la conception de modulateurs d’ordre élevé. Elle consiste à effectuer une synthèse du filtre H(z) pour réaliser la NTF voulue.
IV.1. Conception des modulateurs d’ordre élevé
La figure II. 10 illustre le cas le plus simple d’un modulateur Σ∆, il s’agit d’un modulateur de premier ordre. Plus l’ordre du modulateur augmente, plus ne niveau de bruit dans la bande utile sera faible. Ce qui va améliorer la qualité du signal codé par le modulateur. Dans la figure II. 20, on présente la configuration générale d’un modulateur Σ∆
passe bas d’ordre k. Elle est réalisée en mettant en cascade k intégrateur (Hi(z)). La fonction de tranfert du bruit est donnée par :
( ) (
1)
k z 1 z NTF = − − (II - 32) + -+ -X(m) + Y(m) -E(m)H
1(z) H
2(z) H
k(z)
Figure II. 20 : Structure générale d’un modulateur d’ordre k.
Cependant, des problèmes de stabilité risque d’apparaîtrent des qu’on dépasse le deuxième ordre. En effet, utiliser une structure d’intégrateurs en cascade pour avoir un ordre élevé n’est pas la solution idéale puisque cette structure est difficile à stabiliser [Hawk89] [Reba02-b]. Une solution consiste à utiliser une structure de type MASH (Multi stAge noiSe sHaping). Elle combine des modulateurs du premier ordre et du deuxième ordre pour réaliser un modulateur d’ordre élevé stable [Nors96].
Une autre alternative est présentée dans ce paragraphe. C’est une méthode originale qui consiste à effectuer la synthèse du filtre H(z) pour réaliser la NTF [Reba02-a]. Une règle de causalité doit être respectée lors de la conception de la NTF : la boucle de retour ne doit pas contenir de retard. Ce qui implique que le filtre H(z) doit avoir un retard z-1, c'est-à-dire que l’ordre du numérateur de H(z) doit être inférieur à celui du dénominateur. Nous allons commencer par expliquer le problème de stabilité de la structure classique pour bien comprendre la méthode proposée.
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IV.1.1. Dérivation pure d’ordre k
Nous commençons avec la réalisation la plus simple de la fonction de transfert du bruit : une dérivation d’ordre k donnée par l’équation (II - 32). Avec cette architecture la règle de causalité est respectée. Dans la figure II. 21, on représente la réponse en fréquence de la
NTF en fonction de l’ordre k. On remarque que plus l’ordre est élevé, plus le niveau de bruit est bas pour les basses fréquences, et plus le gain est grand dans les hautes fréquences.
Cependant, cette architecture n’est pas adéquate pour la réalisation de la NTF avec un quantificateur 1 bit. En effet, pour un ordre élevé de boucle, nous aurons besoin d’un quantificateur à plusieurs niveaux pour suivre l’évolution du signal. Sinon, le système risque d’osciller, puisqu’il n’arrive pas à suivre l’évolution du signal. En général, pour une structure de dérivation pure d'ordre k, on utilise un quantificateur k niveaux [Hawk89]. Le fait qu'une boucle utilise un quantificateur de plusieurs niveaux, implique que la dynamique d’entrée du quantificateur est assez grande. Si nous utilisons seulement un quantificateur 1-bit, il saturera, affaiblissant son gain en basses fréquences. Ce qui cause des oscillations dans la boucle [Reba02-b]. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
Fréquences normalisées par rapport à Fh
Ga
in
ordre 1 ordre 3 ordre 5
Figure II. 21 : Mise en forme du bruit de la NTF d’une structure de dérivation pure.
IV.1.2. La réponse d’un filtre Butterworth de type passe haut
Le problème de la structure précédente de la NTF était la grande valeur du gain en haute fréquence pour un ordre k élevé. Nous pouvons modifier la fonction de transfert de la dérivation pure en introduisant des pôles dans la NTF :
( ) ( )
( )
z D z 1 z NTF k 1 − − = (II - 33)où D(z) est un polynôme d’ordre k.
Le but est ainsi d’aplatir la réponse en amplitude de la NTF pour les hautes fréquences (figure II. 22). La NTF peut être considéré comme une fonction passe haut d’ordre k. Un choix
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judicieux de D(z) consiste à utiliser un alignement de type Butterworth pour les pôles. Ce qui donne une région plate pour les hautes fréquences [Reba02-a].
f A m pl it ud e
Figure II. 22 : Réponse d’un filtre de type Butterworth.
IV.1.3. Placement des zéros de type Chebychev inverse
La réponse en fréquences du filtre passe haut de type Butterworth montrée au paragraphe précédant peut être modifiée pour déplacer les zéros réels dans la bande atténuée. En effet, nous voulons changer l’emplacement initial des zéros (1+j0) sur le cercle unitaire pour produire des zéros dans la fonction de transfert à des fréquences autre que la DC [Reba02-a]. L’exemple d’un filtre du quatrième ordre est montré dans la figure II. 23, où on a placé deux paires de zéros complexes. Comparé avec l’alignement de Butterworth, le niveau du bruit de la
NTF en basses fréquences est diminué. La fonction de transfert de la NTF de cette architecture s’écrit :