1.1.1 Les modèles physiques . . . 152
1.1.2 Les modèles phénoménologiques . . . 153
1.1.3 Bilan. . . 154 1.2 Méthode d’identification des paramètres des trois modèles
hyperélastiques sélectionnés . . . 155
1.2.1 Choix du nombre de paramètres . . . 155
1.2.2 Procédure d’identification . . . 156 1.3 Résultats . . . 160
1.3.1 Résultats sur la base de données d’identification . . . 160
1.3.2 Résultats sur les autres essais en traction-torsion simultanées . 165
Introduction
Les modèles de comportement hyperélastiques, isotropes incompressibles adaptés aux grandes déformations sont considérés ici. L’hyperélasticité est définie par l’existence d’une énergie de déformation dont dérive la contrainte. Choisir une loi revient donc à choisir une forme d’énergie de déformation. Le formalisme de l’hyperélasticité incompres- sible a été introduit dans le chapitre1de la partie II (équations (II.1.16-II.1.18)), et pour plus de détails, le lecteur pourra se référer àHolzapfel (2000). L’objectif ici n’est pas de proposer une synthèse des nombreux modèles hyperélastiques existants. Les principales approches seront d’abord présentées en se basant sur Boyce et Arruda (2000), Verron
(2003) et Marckmann et Verron (2006). Ensuite, trois modèles seront sélectionnés : le modèle du tube étendu, le modèle de Mooney-Rivlin généralisé et le modèle d’Ogden. Le modèle du tube étendu et le modèle d’Ogden sont choisis car ils font partie de ceux qui
permettent de prédire le plus précisément des essais dans différentes directions, comme l’ont montréMarckmann et Verron(2006) en les comparant avec les données d’essais de
Treloar (1944b) et Kawabata et al. (1981), en traction uniaxiale, biaxiale, équibiaxiale et en cisaillement pur. Le modèle de Mooney-Rivlin généralisé est également sélectionné pour son formalisme simple en puissances de I1 et I2, et son adaptabilité induite par la
présence de séries. De plus,Hartmann (2001a,b) a montré qu’il était possible d’obtenir avec ce modèle des résultats satisfaisants sur les essais de traction-torsion. Alors qu’il a été vu que l’étude des dérivées de l’énergie de déformation par rapport aux invariants
I1 et I2 est peu pertinente, il ne faut pas exclure les modèles qui proposent d’exprimer
l’énergie de déformation comme une fonction de ces invariants, puisqu’il est aisé de cal- culer des dérivées de l’énergie de déformation par rapport à d’autres grandeurs, comme les extensions principales à partir des dérivées de l’énergie de déformation par rapport à I1 et I2. Après avoir présenté ces trois modèles, la procédure d’identification de leurs
paramètres matériau sera exposée. Enfin, les résultats issus des modèles et des essais seront comparés.
1.1 Les modèles hyperélastiques
On distingue les modèles physiques des modèles phénoménologiques.
1.1.1 Les modèles physiques
Les modèles physiques sont basés sur des théories statistiques du réseau moléculaire. Deux étapes sont nécessaires au développement de ce type de modèle. D’abord, il faut décrire le comportement d’une chaîne polymère, une chaîne étant définie comme la par- tie de molécule entre deux points de jonctions successifs (réticulation, enchevêtrement). Pour cela, on considère que la chaîne est constituée de N segments, un segment cor- respondant à un monomère inextensible, de longueur a. Chaque segment de la chaîne étant considéré comme inextensible, l’élasticité de la chaîne est uniquement due au dé- pliement de la chaîne. Ainsi, l’élasticité de la chaîne est directement liée à la position relative de ses segments c’est-à-dire à ses différentes conformations, qui peuvent être décrites par une densité de probabilité. L’hypothèse la plus simple est de considérer un distribution gaussienne (Guth et Mark (1934)), mais cette approche ne permet pas de prendre en compte le comportement de chaînes très étirées puisque l’hypothèse est faite qu’une chaîne ne s’approche jamais de sa configuration entièrement étirée. Une nouvelle distribution qui ne présente pas cette limitation, est alors proposée par Kuhn et Grün
(1942), reliant force de rétractation et distance entre les extrémités de la chaîne par une fonction de Langevin. La formulation adoptée permet alors de prendre en compte le cas de chaînes complètement étirées.
Une fois que le comportement statistique d’une chaîne a été établi, il faut l’intégrer au comportement du réseau de chaînes, c’est-à-dire déterminer comment les chaînes se meuvent les unes par rapport aux autres, et donc, comment les points de jonction se dé- placent. Kuhn et Grün (1942) commencent par émettre l’hypothèse d’une déformation
affine. Pour expliquer cette théorie, il faut d’abord préciser qu’on distingue la position moyenne de chaque point de jonction (c’est-à-dire la plus probable), et leur position instantanée. On dit que les points de jonction fluctuent si leur position instantanée est différente de leur position moyenne. Une fluctuation est en fait causée par l’agitation thermique de chaque chaîne. Plus les chaînes sont liées entre elles, plus le réseau peut- être considéré comme rigide, et donc plus la flexibilité due à l’agitation thermique des chaînes est négligeable. Par conséquent, Kuhn et Grün (1942) font l’hypothèse que les fluctuations sont négligeables. Alors, positions moyennes et instantanées sont confon- dues. La deuxième hypothèse fondamentale consiste à considérer que chaque point de jonction fait partie du milieu continu. Ainsi la déformation en chaque point de jonction est proportionnelle à la déformation macroscopique d’où le nom de déformation affine. Par la suite, James et Guth(1947) choisissent de ne plus négliger les fluctuations. Pour cela, ils établissent la notion de « réseau fantôme » : les chaînes peuvent s’interpénétrer librement, elles n’ont pas d’autre propriété que de transmettre les efforts aux points de jonction. Cette hypothèse permet de réintroduire les fluctuations propres à chaque chaîne. Cette fois-ci, seule la position moyenne des points de jonction suit le milieu continu, et donc subit une déformation affine. La position instantanée est influencée par les fluctuations, qui sont elles considérées comme indépendantes de la déformation. Une fois que ces considérations sont faites, la question se pose de savoir comment passer de l’énergie de déformation d’une chaîne à celle du réseau. On peut considérer que les chaînes sont distribuées aléatoirement dans une sphère, et l’énergie de déformation totale est trouvée en intégrant la réponse contrainte/déformation de chaque chaîne (Treloar et Riding, 1979; Wu et Van der Giessen, 1993). Cependant, ce calcul est numériquement très coûteux, et peut-être aisément simplifié en considérant un certain nombre de chaînes dont des points de jonction sont inscrits dans une cellule élémentaire (un cube, un tétra- èdre). Ainsi, le modèle 3-chaînes (James et Guth,1943;Wang et Guth,1952) considère trois chaînes orientées selon trois arrêtes qui partagent le même sommet du cube, le mo- dèle 4-chaînes (Flory et Rehner Jr,1943;Treloar,1946) considère quatre chaînes reliées entre elles au centre d’un tétraèdre, chacune d’entre elles étant attachée à l’un des som- mets du tétraèdre. Le modèle 8-chaînes (Boyce et Arruda,2000), considère huit chaînes reliées entre elles au centre d’un cube, et chacune est reliée à l’un des sommets du cube. Enfin, d’autres modèles moléculaires sont basés sur la théorie des tubes : l’ensemble des positions que peut prendre une chaîne est définie par un tube virtuel autour de celle- ci. On citera par exemple Edwards et Vilgis (1988), Doi et See (1996) et Heinrich et Kaliske (1997). Ces modèles ont ensuite été étendus pour prendre en compte la limite d’extensibilité des chaînes, et ainsi améliorer le comportement en grandes déformations parKaliske et Heinrich(1999).
1.1.2 Les modèles phénoménologiques
Treloar(1975) définit ces modèles comme « des approches ayant l’objectif plus limité [que celui des approches moléculaires] de décrire les propriétés mécaniques du caou- tchouc à l’aide d’un cadre mathématique bien défini sans ce soucier des interprétations moléculaires ». Ces modèles se focalisent donc sur le comportement macroscopique du
matériau. De nombreux modèles existent, et les deux approches les plus utilisées sont présentées ici.
Parmi ces modèles, on distingue d’abord ceux qui exprime l’énergie de déformation comme un développement en série de I1− 3 et I2− 3 (Rivlin,1948):
W =
∞
X i=0,j=0
Cij(I1− 3)i(I2− 3)j. (III.1.1)
Plusieurs troncatures de ce développement peuvent être considérées, englobées par le nom de modèle de Mooney-Rivlin (certains cas font l’objet d’une appellation particu- lière, qui ne sera pas considérée ici, à part le modèle deMooney(1940) qui ne considère que la première puissance en I1 et I2). Évidemment, un compromis est à faire pour fixer
le nombre de termes dans la somme, puisqu’augmenter le nombre de termes permet de générer un modèle plus proche des données d’essais sur lesquelles les paramètres sont identifiés, mais diminue également la robustesse du modèle : plus il y a de paramètres, plus il est probable que le modèle ne soit pas fiable en dehors de la plage de défor- mations considérées pour l’identification. D’autres auteurs ont développé des modèles phénoménologiques en invariants des tenseurs de Cauchy-Green (Gent et Thomas,1958;
Hart-Smith, 1966; Gent, 1996;Yeoh et Fleming, 1997), avec des exponentielles ou des logarithmes.
D’autres auteurs préfèrent exprimer l’énergie de déformation comme une fonction des trois extensions principales (deux dans le cas incompressible). Ce formalisme a été introduit parValanis et Landel(1967), qui proposent une forme séparable :
W = w (λ1) + w (λ2) + w (λ3) . (III.1.2)
Parmi ces modèles, le plus utilisé est incontestablement le modèle de Ogden (1972), qui propose d’écrire l’énergie de déformation comme un développement en séries des puissances de λi. L’auteur montre qu’avec N = 3 (6 paramètres), le modèle peut prédire de manière précise le comportement en grandes déformations.
1.1.3 Bilan
Comme il a été expliqué dans l’introduction, il a été choisi de comparer trois modèles aux essais quasi-statiques, l’un étant issu de l’approche moléculaire et les deux autres de l’approche phénoménologique :
— Le modèle du tube étendu ; — Le modèle de Mooney-Rivlin ; — Le modèle d’Ogden.
Parmi ces modèles, deux sont écrits sous forme de séries. Avant d’identifier les paramètres matériau, il faut d’abord choisir combien de termes sont à prendre en compte, et donc combien de paramètres sont à déterminer. L’objectif est d’utiliser le moins de paramètres possible pour assurer la robustesse du modèle. Ensuite, la procédure d’identification à proprement parler peut être mise en place.