Les lois phénoménologiques de transfert en milieu poreux

2.3.1 Loi de Darcy pour un écoulement en milieu poreux saturé

Cette relation a été établie par Henri Darcy en 1856. En étudiant le débit de fluide recueilli après percolation d’eau à travers une colonne de sable (Figure 1- 3), Darcy déduisit cette loi phénoménologique : L h A K Q=− ⋅ ∆ 1. 11 Q débit volumique du fluide, [m3.s-1] ;

∆h différence de charge de l’eau entre le sommet et la base du massif sableux, [m] ; A et L section et épaisseur du massif sableux, [m] ;

K coefficient de perméabilité, [m.s-1], appelé aussi conductivité hydraulique par les hydrogéologiques. Si l’on note A Q v= la vitesse filtration et L h

i= ∆ la perte de charge par unité de longueur du milieu poreux traversé, encore dénommé gradient hydraulique, on obtient une expression plus simple :

i K

v=− ⋅ 1. 12 qui peut être étendue sous forme vectorielle :

h grad K

v=− ⋅ 1. 13 Cette loi se base sur les hypothèses suivantes :

- les forces d’écoulement dues à la viscosité prédominent sur les forces d’inertie ;

- l’écoulement du fluide est supposé laminaire ;

- le fluide d’infiltration est inerte vis-à-vis du milieu poreux, c’est-à-dire qu’il n’y a aucune interaction chimique ou physique entre le fluide et le matériau.

Le coefficient de perméabilité K dépend des propriétés du milieu poreux et de celles du fluide. On utilise la notion de perméabilité intrinsèque, k, indépendante des caractéristiques des fluides. La relation entre le coefficient de perméabilité K et la perméabilité intrinsèque, k est : g K k ρ µ ⋅ = 1. 14 avec µ la viscosité dynamique du fluide [Pa.s] etρ la masse volumique du fluide [kg.m-3]. Dans le système SI, l’unité de la perméabilité intrinsèque est le m2. Dans le domaine pétrolier elle est exprimée en Darcy (1 Darcy = 10-12 m2).

Figure 1- 3 : Schéma de l’expérience de Darcy réalisée en 1856 (in Jacob Bear, 2006)

Perméabilité relative en milieu poreux non saturé

Lorsque deux fluides ou plus s’écoulent simultanément dans un milieu poreux, l’écoulement est encore décrit par la loi de Darcy en considérant l’écoulement de chaque fluide comme un écoulement homogène. On appelle alors perméabilité effective Ke, la capacité du milieu

poreux à transmettre un fluide en présence d’un autre fluide. La perméabilité relative kr par rapport à un fluide est la perméabilité effective Ke divisée par la perméabilité du milieu poreux saturé par ce seul fluide K0.

0

/ K

K

k_r = _e 1. 15

La perméabilité relative est un facteur correctif, fonction du degré de saturation du fluide considéré, qui permet de relier le flux effectif à celui qui se serait établi pour la même dissipation d’énergie si le milieu était totalement saturé par le fluide considéré :

i i r i r i k S K gradh v = ( ) ₀ 1. 16

avec kri perméabilité relative par rapport au fluide i (sans unité) ; Sri degré de saturation en fluide i (sans unité) ;

0

K perméabilité au fluide considéré dans le cas saturé.

En pratique, il est délicat de réaliser un écoulement simultané de deux ou plusieurs fluides avec un contrôle du gradient de charge pour chaque fluide. La pression capillaire liée à la différence de pression entre les fluides n’est pas prise en compte explicitement dans la notion de la perméabilité relative. La pression capillaire influence la distribution des fluides et elle peut même conduire à un passage de l’état continu à l’état non continu du fluide considéré. Quand une phase n’est pas continue, la perméabilité effective n’a plus de sens. Donc les notions de perméabilité et de perméabilité relative ne reflètent pas les phénomènes physiques au niveau microscopique. Ce sont des notions macroscopiques.

2.3.2 Loi de Fick

La loi de Fick permet de quantifier un autre mécanisme de transport de masse dans un milieu poreux qui correspond à un transfert de particules depuis les zones à concentration élevée vers les zones à faible concentration. Ce phénomène s’appelle aussi la diffusion. Cette loi peut être écrite sous la forme :

C

D

J

=

−

.∇

e

D est le coefficient de diffusion effectif, J

r

est le flux de particules dans le milieu considéré et C est la concentration de particules dans le milieu considéré.

Dans le cas d’un gaz, le gradient de concentration,

∇C

∇P

En considérant un bilan local de masse, le transfert par diffusion de particules peut s’écrire :

+∇

=

0

∂

∂

J

t

C

En incorporant la loi première dans la formule au-dessus (1.18), nous obtenons la forme de la seconde loi de Fick

C D t C e 2 ∇ = ∂ ∂ 1. 19 2.3.3 Loi de Henry

Cette relation établie par William Henry en 1803 établit que la concentration maximale d’un gaz en solution est proportionnelle à la pression partielle de ce gaz dans la phase gazeuse en contact avec la solution. Elle s’écrit :

Hi i i K P X = 1. 20 i

X fraction molaire du gaz i, c’est le rapport de nombre de moles du gaz i au nombre total de moles de la solution ;

i

P pression partielle du gaz i dans la phase gazeuse égale au produit de la pression totale de la phase gazeuse par la fraction représentative de la composition volumique (ou molaire) ;

Hi

K constante de Henry du gaz i (Pa). Ce coefficient est fonction de la température (Wilhelm, 1977 ; Barenko, 1989 ; Alvarez et al, 1988 , voir Figure 1-4).

Les données expérimentales montrent que l’hydrogène, l’hélium, et l’azote ont une faible solubilité dans l’eau (Figure 1-4). Ainsi à une pression de 5 MPa et une température de 30°C, la solubilité de l’hydrogène par exemple est de l’ordre de 37 mol.m-3 d’eau.

Figure 1-4 : Solubilité des gaz dans l’eau en fonction de la température (Wilhelm,1977, in V. Rebour 1995)

La diffusion des gaz dissous dans le fluide interstitiel des argilites saturés peut donc être décrite par deux paramètres : le coefficient de diffusion et le coefficient de solution ; ce processus sera étudié et simulé dans le chapitre 3.