Les r´ esultats des m´ ethodes LS bas´ es sur les donn´ ees mesur´eesmesur´ees

Dans le premier test nous ferons une comparaison entre les cinq m´ethodes LS : OLS (Householder), WLS (Householder), TLS (SVD), mixte OLS-TLS (Househol-der+SVD) et mixte OLS-TLS (Householder+TLS EXIN avec un taux d’apprentissage constant et exponentiel d´ecroissant) pour estimer la position du r´ecepteur avec une matrice A bien conditionn´ee (nombre de conditionnement bas).

Les figures4.22 et4.23illustrent le pourcentage d’erreur relative de positionnement quand on a appliqu´e les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Figure 4.20 – L’erreur relative de position pendant 20 minutes pour l’intervalle de temps une minute avec un nombre de conditionnement ´elev´e 10⁶.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Figure 4.21 – L’erreur relative de position pendant 20 minutes pour l’intervalle de temps une minute avec un nombre de conditionnement ´elev´e 10⁶.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Figure 4.22 – Le pourcentage d’erreur relative avec un nombre de conditionnement bas pendant 30 secondes pour l’intervalle de temps 1 second `a Aldi et Cimiti`ere, Belfort, France.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Figure 4.23 – Le pourcentage d’erreur relative avec un nombre de conditionnement bas pendant 30 secondes pour l’intervalle de temps 1 second `a Morts et Rail, Belfort, France.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES Apr`es les deux figures, nous pouvons remarquer que les cinq m´ethodes r´eagissent bien avec un pourcentage d’erreur relative 10⁻⁶. Il y a un avantage d’utiliser le OLS et W LS comme m´ethode de calcul.

Les tableaux 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 et 4.18 illustrent les comparaisons entre les cinq m´ethodes. Pour chaque point de r´ef´erence nous avons fait le test 3 fois dans des conditions de m´et´eo diff´erentes.

Tableau 4.14 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas `a Aldi1 et Aldi2, Belfort, France.

Tableau 4.15 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas `a Aldi3 et Morts1, Belfort, France.

Dans le deuxi`eme test nous ferons une comparaison entre les cinq m´ethodes LS : OLS (Householder), WLS (Householder), TLS (SVD), mixte OLS-TLS (House-holder+SVD) et mixte OLS-TLS (Householder+TLS EXIN avec un taux d’apprentis-sage constant et exponentiel d´ecroissant) pour estimer la position du r´ecepteur avec une matrice mal conditionn´ee (nombre de conditionnement ´elev´e).

Les figures4.24et4.25illustrent le pourcentage d’erreur relative de positionnement quand on a appliqu´e les cinq m´ethodes avec un nombre de conditionnement ´elev´e.

Apr`es les deux figures, nous pouvons remarquer qu’il y a un avantage d’utiliser la m´ethode T LS EXIN comme une m´ethode de calcul. Elle est plus robuste que les

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Tableau 4.16 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas `a Morts2 et Morts3, Belfort, France.

Tableau 4.17 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas `a Cimiti`ere1 et Cimiti`ere3, Belfort, France.

Tableau 4.18 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement bas `a Rail1 et Rail2, Belfort, France.

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Figure 4.24 – Le pourcentage d’erreur relative avec un nombre de conditionnement ´elev´e pendant 30 secondes pour l’intervalle de temps 1 second `a Aldi et Cimiti`ere, Belfort, France.

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Figure 4.25 – Le pourcentage d’erreur relative avec un nombre de conditionnement ´elev´e pendant 30 secondes pour l’intervalle de temps 1 second `a Morts et Rail, Belfort, France.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES autres m´ethodes.

Les tableaux4.19,4.20,4.21, 4.22, et4.23 illustrent les comparaisons entre les cinq m´ethodes avec un nombre de conditionnement ´elev´e.

Tableau 4.19 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement ´

elev´e `a Aldi1 et Aldi2, Belfort, France.

Tableau 4.20 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement ´

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

Tableau 4.21 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement ´elev´e `a Morts2 et Morts3, Belfort, France.

Tableau 4.22 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement ´elev´e `a Rail1 et Rail2, Belfort, France.

Tableau 4.23 – Comparaison entre les cinq m´ethodes LS avec un nombre de conditionnement ´elev´e `a Rail3 et Cimiti`ere1, Belfort, France.

CHAPITRE 4. ETUDE COMPARATIVE DES DIFF ´ERENTES M ´ETHODES DES MOINDRES CARR ´ES

4.5 Synth`ese

Dans ce chapitre, nous avons fait une analyse d´etaill´ee des m´ethodes LS. Nous avons commenc´e `a pr´esenter les diff´erents formats de donn´ees capt´es par le GP S. Puis, nous avons fait plusieurs tests, bas´es sur deux jeux de donn´es. Dans la premi`ere, nous avons fait une comparaison entre les trois m´ethodes Cholesky, Householder et SV D pour r´esoudre le probl`eme LS, puis un test pour ´etudier la stabilit´e de ces m´ethodes et le conditionnement du probl`eme LS a ´et´e fait.

Ensuite, une comparaison entre les cinq m´ethodes LS : OLS (Householder), WLS (Householder), TLS (SVD), mixte OLS-TLS (Householder+SVD) et mixte OLS-TLS (Householder+TLS EXIN avec un taux d’apprentissage constant et exponentiel d´ e-croissant) a ´et´e r´ealis´ee. Tous ces tests sont r´ealis´es dans diff´erentes stations de r´ef´erence qui sont situ´ees dans toute la France dans deux cas diff´erents (nombre de conditionne-ment bas et ´elev´e).

Le second jeu de donn´ees est le r´esultat d’une campagne de mesures utilisant un appareil GP S r´eel ; o`u nous avons choisi quatre endroits diff´erents `a Belfort, France (Voie ferr´ee, Aldi, Morts et Cimeti`ere). Nous connaissons la position de ces endroits avec une pr´ecision 10 cm. Nous avons fait les tests dans diff´erents environnements (ensoleill´e, temps couvert et temps nuages) `a diff´erents moments de la journ´ee. Nous avons fait les mˆemes tests bas´es sur le jeu#1, mais cette fois avec le jeu#2.

Apr`es les deux tests faits nous pouvons conclure qu’il y a un avantage d’utiliser la m´ethode T LS EXIN ; elle est plus robuste au niveau de pr´ecision par rapport au d’autres m´ethodes, surtout quand le probl`eme devient singulier (nombre de condition-nement ´elev´e).

Discussion

Les m´ethodes LS appliqu´ees aux deux jeux de donn´ees montrent un comportement similaire. OLS est la technique la plus robuste dans chaque cas. C’est la raison pour la-quelle la plupart des chercheurs l’utilisent sans consid´erer les hypoth`eses sous-jacentes. Aussi, elle est plus rapide que TLS.

En pr´esence d’une matrice de donn´ees bien conditionn´ee, ce qui est habituellement le cas dans des applications r´eelles, toutes les m´ethodes ont une pr´ecision similaire. Ce-pendant, WLS donne toujours les meilleurs r´esultats car ses pond´erations au lieu d’ˆetre estim´ees, comme dans le cas usuel, par des moyens statistiques ; sont d´etermin´ees selon des consid´erations spatiales (approche ad hoc). En effet, c’est le meilleur algorithme consid´er´e en [144].

Dans ce m´emoire, on a essay´e de comparer toutes les m´ethodes LS dans des situa-tions plus extrˆemes, telles que l’hypoth`ese de satellites lointains, ce qui implique une matrice de donn´ee mal conditionn´ee (singuli`ere). Cette comparaison peut ˆetre consi-d´er´ee comme une analyse de la robustesse des m´ethodes LS. Dans ce sens, il n’est pas important de prendre en consid´eration la pr´ecision en tant que telle, mais le compor-tement diff´erent de chaque technique. Cela est dˆu `a la sensibilit´e des hypoth`eses sur les donn´ees. Les figures 4.20, 4.21, 4.24 et 4.25 montrent que les r´esultats de la m´ e-thode mixte sont pires (grande d´et´erioration de la pr´ecision apr`es seulement quelques ´epoques), probablement `a cause du manque de pr´ecision de l’´etape TLS qui est propag´e et amplifi´e dans l’´etape OLS.

Au contraire, comme d´emontr´e th´eoriquement dans [143], l’algorithme it´eratif TLS EXIN (´evidemment, en utilisant un taux d’apprentissage exponentiel d´ecroissant) re-tourne les meilleurs r´esultats en termes de pr´ecision (vis-`a-vis du probl`eme mal condi-tionn´e). En effet, en cas de probl`eme singulier ou proche d’ˆetre singulier, TLS EXIN converge toujours vers la solution en cas de conditions initiales bonnes ou nulles, o`u une bonne condition initiale signifie des pond´erations dans le bassin d’attraction de la solution. Cependant, le choix d’utiliser la derni`ere estimation de pond´eration comme condition initiale au d´ebut de chaque sous-´epoque (pour la premi`ere sous-´epoque, des conditions initiales nulles sont utilis´ees) garantit toujours que les pond´erations restent dans le bassin de la solution (qui fonctionne comme un lieu d’attraction [143]).

Aussi, la nature it´erative de TLS EXIN ´etant un gradient, cela permet aussi des techniques d’acc´el´eration, comme la m´ethode du gradient conjugu´e et les m´ethodes quasi Newtoniennes [143]. Cependant, ce m´emoire aborde seulement la pr´ecision et la robustesse des algorithmes LS.