La m´ ethode des moindres carr´ es mixte OLS-TLS

Chaque probl`eme d’estimation des param`etres lin´eaires engendre un ensemble des ´

equations lin´eaires surd´etermin´ees Ax ≈ b. G´en´eralement la matrice de donn´ees A et le vecteur d’observation b sont inexactes, la m´ethode des moindres carr´es totaux (T LS) est appropri´ee pour r´esoudre cet ensemble d’´equations. Le probl`eme de l’estimation des param`etres lin´eaires se pose dans une large classe des disciplines scientifiques telles que le traitement du signal, l’automatique, la th´eorie des syst`emes, les statistiques, la physique, l’´economie, la biologie et la m´edecine. On peut le d´ecrire par une ´equation lin´eaire :

a₁x₁+ ... + a_nx_n= b (2.68)

O`u a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>et b d´esignent les donn´ees et x = [x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>]T joue le rˆole d’un vecteur de param`etre qui caract´erise le syst`eme. Un probl`eme fondamental des math´ematiques ap-pliqu´ees est de d´eterminer une estimation du vrai param`etre avec de certaines mesures des donn´ees. Cela donne un ensemble m d’´equations lin´eaires surd´etermin´e (m ≥ n) :

CHAPITRE 2. LES M ´ETHODES MATH ´EMATIQUES POUR CALCULER LA POSITION D’UN R ´ECEPTEUR GPS

O`u la i^èmeligne des donn´ees dans la matrice A ∈ R^m×n et le vecteur d’observations

b ∈ Rm×1 contiennent les mesures des donn´ees a₁, ..., a_n et b.

Dans les moindres carr´es classiques (LS) les mesures des donn´ees de la matrice A (Le cˆot´e gauche de (2.68)) sont suppos´es sans erreur et, par cons´equent, toutes les erreurs sont confin´ees au vecteur d’observation b (le cˆot´e droit de (2.68)). Toutefois, cette hypoth`ese est souvent irr´ealiste : les erreurs d’´echantillonnage, les erreurs humaines et les erreurs de mod´elisation peuvent impliquer des impr´ecisions de la matrice de donn´ees

A. Pour ces cas, T LS a ´et´e con¸cu et revient `a ajuster un ”meilleur” sous-espace pour

les points de mesure (A^T_i, b_i), i = 1, ..., m, o`u A_i est la i^ème ligne de A.

Si les colonnes n₁ de la matrice des donn´ees A sont connus de fa¸con pr´ecise, le probl`eme est appel´e mixte OLS-TLS. Il est ´evident d’exiger que la solution T LS ne pas perturber les colonnes exactes.

Comme nous avons pr´ec´edemment pr´esent´e, notre probl´ematique est de trouver la position d’un r´ecepteur GP S le plus rapidement possible avec une pr´ecision acceptable. Pour r´esoudre ce probl`eme, il faut trouver la solution d’une ´equation non lin´eaire (1.22). Il y a plusieurs m´ethodes pour r´esoudre ce probl`eme, la plus connue est lin´earis´e l’´equation non lin´eaire avec le d´eveloppement de Taylor, puis r´esolu l’´equation lin´eaire avec la m´ethode des moindres carr´es.

La plupart des chercheurs ont choisi la m´ethode OLS ou W LS pour r´esoudre l’´ equa-tion (1.28). Nous proposons d’utiliser la m´ethode mixte OLS-TLS pour faire ce calcul. L’id´ee de choisir cette m´ethode est que dans la matrice A `a l’´equation (1.28) il y a une colonne exacte (le dernier) ´egale `a un. Donc on commencera avec la m´ethode T LS pour les trois premi`eres colonnes puis la m´ethode OLS pour la quatri`eme.

Apr`es quelques permutations de colonnes dans la matrice A tel que A = [A1 A2], o`u A1 ∈ Rm×n1 est des colonnes exactes n₁ et A2 ∈ Rm×n2. En faisant la factorisation de Householder sur la matrice [A b] de telle sorte que

[A₁ A₂ b] = Q " R11 R12 R1b 0 R₂₂ R_2b # n1 m − n₁ n₁ n − n₁ 1 (2.70)

O`u R₁₁est une matrice n₁×n₁triangulaire sup´erieure. Ensuite on calcule la solution

T LS ˆX₂ pour R₂₂X^ˆ₂ ≈ R_2b. ˆX₂ donne le dernier n − n₁ ´el´ements de chaque solution du vecteur ˆx_i. Pour trouver le premier n₁ ligne de ˆX₁ de la solution ˆX = [ ˆXT

1; ˆXT

2 ] il faut r´esoudre le probl`eme OLS :

R₁₁X^ˆ₁ = R_1b− R₁₂X^ˆ₂ (2.71)

Nous pouvons remarquer dans l’´equation (1.28) les composants de la matrice A contiennent la position du satellite (Xk, Yk, Zk). Cette position n’est pas pr´ecise, elle contient des erreurs. De plus, dans le vecteur b plusieurs types d’erreurs sont possibles. Par exemple, dans la pseudorange P , l’horloge du satellite dtk, le d´elai troposph´erique

Tk et le d´elai ionosph´erique Ik.

Pour ces raisons, notre id´ee est d’utiliser la m´ethode mixte OLS-TLS pour r´esoudre l’´equation (1.28). Parce que cette m´ethode prend en compte les erreurs qui peuvent exister dans la matrice A ainsi que le vecteur b. Ce qui n’est pas le cas dans la m´ethode

CHAPITRE 2. LES M ´ETHODES MATH ´EMATIQUES POUR CALCULER LA POSITION D’UN R ´ECEPTEUR GPS

2.4 Synth`ese

Dans ce chapitre, un ´etat de l’art des diff´erentes m´ethodes math´ematiques pour estimer la position d’un r´ecepteur GP S a ´et´e r´ealis´e.

Premi`erement, quelques id´ees de base ont ´et´e pr´esent´ees, puis les diff´erentes m´ e-thodes Cholesky, Householder et SV D pour r´esoudre le probl`eme des moindres carr´es ont ´et´e discut´ees. De plus, la stabilit´e de ces m´ethodes et le conditionnement du pro-bl`eme LS ont ´et´e montr´es.

Ensuite, nous avons propos´e les diff´erentes m´ethodes LS : OLS, W LS, T LS et mixte OLS-TLS. Les avantages et les inconv´enients de chaque m´ethode ont ´et´e pr´esent´es. Dans la m´ethode OLS, on suppose que les donn´ees du vecteur b sont perturb´ees. W LS est souvent plus performante que OLS, car elle permet de prendre d’un poids de chaque mesure en lui attribuant une pond´eration dans la solution finale. T LS est un proc´ed´e naturel de la m´ethode d’approximation des moindres carr´es lorsque les donn´ees dans la matrice A et le vecteur b sont perturb´ees. Enfin, la m´ethode mixte OLS-TLS quand on a dans la matrice A des colonnes sans perturbations.

Dans OLS, la m´ethode lin´eaire, non lin´eaire et la diff´erence entre elles ont ´et´e pr´ e-sent´ees. Ensuite, nous nous sommes int´eress´es `a la m´ethode non lin´eaire car la plupart des syst`emes sont non lin´eaires, notre probl´ematique est la position d’un r´ecepteur qui lui aussi est non lin´eaire.

Ensuite, un ´etat de l’art de la m´ethode T LS, et des m´ethodes existantes pour r´ e-soudre ce probl`eme (SV D) a ´et´e r´ealis´e. De plus, l’application de la m´ethode T LS dans diff´erents domaines a ´et´e pr´esent´ee telles que la vision num´erique, l’analyse num´ e-rique, la reconstruction d’image, la parole et le traitement audio, modale et l’analyse spectrale, la th´eorie des syst`emes lin´eaires, le traitement du signal, l’identification de syst`eme, l’astronomie, la r´ecup´eration de l’information, la forme `a l’aide des moments syst`eme du calcul formel.

Dans le chapitre trois, une nouvelle m´ethode proposera pour estimer la position d’un r´ecepteur. Cette m´ethode est bas´ee de r´esoudre le probl`eme T LS par une approche neurale appel´ee TLS EXIN.

Chapitre 3

Le r´eseau de neurones TLS EXIN