Les diff´erentes techniques de traitement du signal SAR

Apr`es avoir expos´e les diff´erentes configurations, nous proposons d’explorer quelques techniques de traitement du signal SAR. Pour l’ensemble de ces techniques, la configura- tion suivante est adopt´ee. Un seul radar est consid´er´e pour l’´emission et la r´eception : cas monostatique. Le radar se d´eplace lin´eairement suivant l’axe Ox `a une vitesse constante2 V . Il ´emet un signal p´eriodique de p´eriode Tp = 1/P RF : se(t) = .kp(t − kTp), o`u p(t) est un signal limit´e en temps d´efini pour 0 ≤ t ≤ τp, avec τp < Tp. On suppose que la position du radar u sur l’axe des abscisses est comprise dans l’intervalle [−L; L] (voir Figure I.12 3). Le signal p(t) est g´en´eralement une impulsion de dur´ee inf´erieure `a Tp et modul´ee lin´eairement en fr´equence. La Figure I.13 illustre un tel signal. Il faut noter que le rapport cyclique de la figure n’est pas r´ealiste puisque, g´en´eralement, la dur´ee τp d’une impulsion est nettement inf´erieure `a la p´eriode Tp du signal. Nous allons consid´erer le cas g´en´eral d’un signal p(t) quelconque occupant une bande de pulsation 2ω0 autour de la pulsation centrale ωc, [ωc− ω0; ωc+ ω0]. L’´echo d’un tel signal apr`es r´eflexion sur un point

2_{ce qui est un cas id´eal : la non-lin´earit´e du mouvement peut alt´erer la qualit´e de l’image} 3_{Afin de simplifier la pr´esentation des m´ethodes, nous consid´erons une g´eom´etrie de sc`ene 2D}

n−1 ouverture synthétique O L = −L u... u... uj u u u0 p(t) x y Xc Yc ρ1 ρ2 ρ3 ρi (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (xi, yi) rayonnement de l’antenne

Fig. _{I.12 – G´eom´etrie du probl`eme}

cible de r´eflectivit´e4 ρ est de la forme : sr(t) = ρ.kp(t − kTp− 2R(t)/c), o`u R(t) est la distance entre le radar et la cible5. Cette expression peut s’´ecrire comme une fonction de deux variables temporelles t′ <sub>et τ o`u τ = kT</sub>

p : τ est l’´echelle de temps grossi`ere, alors que t′ est une ´echelle de temps plus fine. Le signal re¸cu en τ est alors sr(t′, τ ) = sr(t), si t = τ + t′. L’´echelle de temps, not´ee τ , associ´ee au d´eplacement est appel´ee slow-time par opposition `a l’´echelle de temps t associ´ee `a la propagation de l’onde qui est appel´ee

fast-time. La direction de propagation de l’onde est g´en´eralement consid´er´ee perpendicu-

4_{Les points cibles consid´er´es pour l’´etude ont des propri´et´es isotropes : leur r´eflectivit´e ρ n’´evolue donc}

pas en fonction de l’angle selon lequel ils sont vus par le radar donc en fonction du temps

5_{L’influence de l’antenne et les pertes par propagation ne sont pas consid´er´es dans cette partie}

1 2 3 4 5 6 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Signal pulse modul´e lin´eairement en fr´equence

temps am p li tu d e

laire au d´eplacement du porteur. Le mode particulier squint ne sera pas ´etudi´e mˆeme si toutes les techniques pr´esent´ees dans ce manuscrit peuvent lui ˆetre adapt´ees.

Le signal re¸cu peut ´egalement s’exprimer spatialement en fonction de u : sr(t, u), o`u u = V τ . Il est `a noter que la composante u d´ecrit l’espace d’´evolution du radar. Il est clair que la grandeur u peut ˆetre assimil´ee `<sub>a x : u ≡ x. Pour chaque position u, ce signal</sub> est le signal ´emis r´etrodiffus´e par une sc`ene radar d´efinie comme un ensemble de points cibles, aussi appel´es points brillants r´epartis sur un plan Oxy. Chaque point brillant i est caract´eris´e par sa position (Xi,Yi) et son coefficient de r´eflexion ρi. En utilisant ces notations, l’expression du signal re¸cu est la suivante :

sr(t, u) = / i ρi p ! t − 2_c + (Xi− u)2+ Y_i2 " (I.21)

Dans cette expression, les coordonn´ees (Xi, Yi) sont prises par rapport `a l’origine du rep`ere, c’est `a dire par rapport `_{a l’emplacement du radar en τ = 0 (≡ (u = 0)) (voir} Figure I.12). Dans ce mˆeme syst`eme de coordonn´ees, (Xc, Yc) sont d´efinis comme les coordonn´ees du centre de la cible. Nous notons alors (xi, yi), les coordonn´ees du point i par rapport au centre de la cible :

0

Xi = Xc+ xi Yi = Yc+ yi

La sc`ene est compl`etement d´ecrite dans un plan par la fonction cible dans le domaine spatial :

f (x, y) =/ i

ρ_iδ_{(x − Xi, y − Yi}) (I.22)

Le traitement SAR cherche `a estimer cette fonction f (x, y). Nous pouvons aussi exprimer sa transform´ee de Fourier 2D selon les dimensions (x, y) par :

F (kx, ky) = T Fx,y[f (x, y)] = , x , yf (x, y)exp(−kxx − ky y)dydx (I.23)

o`u kx et ky sont appel´ees les fr´equences spatiales et forment le plan dual du plan (x, y). Elles s’expriment en rad.m−1. Il est `a noter que la dimension y de la fonction image se d´eduit simplement de la dimension temps avec y = 1₂ct.

I.3.3.1 La m´ethode range-Doppler

La technique dite de range-Doppler est une op´eration de double filtrage adapt´e. C’est la m´ethode que nous avons utilis´ee dans la section I.2.2 pour introduire la synth`ese d’ou- verture. Ce traitement est bas´e sur l’approximation de Fresnel : distance d’observation tr`es grande devant la taille de la sc`ene radar. De plus, deux hypoth`eses simplificatrices sont pos´ees. La premi`ere consid`ere que la dimension de la synth`ese d’ouverture est plus faible que la distance radar-cible (approximation de lobe ´etroit). La seconde suppose que le signal est `a bande ´etroite (approximation de bande ´etroite). La fonction cible est alors

estim´ee (voir Annexe B) par : ˜ f (x, y) ≈ exp(−2ω_c Yc) [sr(t, u) ∗ p∗(−t)] ∗ exp( ωcu2 cYc ) (I.24)

dont le synopsis de r´ealisation est pr´esent´e par la Figure I.14. Cette m´ethode de range- Doppler [Soumekh 1999] est la premi`ere m´ethode d’imagerie SAR mise en oeuvre.

sr(t, u) filtre fast-time sM(t, u) filtre slow-time exp%−kcu2 Yc & y = 0.5 c t x = u f (x, y) p∗_(−t)

Fig._{I.14 – Synopsis de la technique de range-Doppler}

I.3.3.2 La m´ethode range stacking

Une autre approche, appel´ee range stacking, utilisant moins d’approximations et n´e- cessitant donc de plus longs calculs, peut ˆetre envisag´ee. On peut l’interpr´eter comme un filtrage adapt´e du signal re¸cu avec une fonction de r´ef´erence Si(ω, ku) calcul´ee en Yi et d´ecrite par :

Si(ω, ku) = P (ω) exp(−kuXc) exp(−*4k2− ku2Yi) (I.25) Ainsi, pour chaque valeur de Yi, la fonction cible s’´ecrit avec (voir Annexe C) :

f (x, Yi) = , ku $, ω S_i∗(ω, ku)Sr(ω, ku)dω ' exp(kux)dku (I.26)

La m´ethode range stacking n´ecessite de r´ep´eter l’op´eration d´ecrite par la relation (I.26) autant de fois que de valeurs Yi. Cette m´ethode, dont le synopsis est pr´esent´e Figure I.15, n´ecessite donc un temps de calcul sup´erieur `a la m´ethode range-Doppler pr´esent´ee pr´ec´edemment. sr(t, u) FFT 2D (t, u) → (ω, ku) Sr(ω, ku) S∗ i(ω, ku) # ω kx= ku Fx(kx, Yi) IF F Tx kx→ x f (x, Yi)

A r´ep´eter tous les Yi

filtrage adapt´e en Yi

I.3.3.3 Interpolation des fr´equences spatiales

Cette m´ethode est bas´ee sur l’interpolation de donn´ees sph´eriques dans un plan car- t´esien. Dans l’Annexe C, la transform´ee de Fourier 2D de la fonction cible est exprim´ee comme un produit de convolution dans le domaine spectral du signal re¸cu et du conjugu´e du signal ´emis :

F [kx(ω, ku), ky(ω, ku)] = Sr(ω, ku)P∗(ω) (I.27) L’hypoth`ese d’un d´eplacement du radar `a vitesse constante donne une ´echelle de temps

slow-time r´eguli`erement espac´ee. De mˆeme, le signal est ´echantillonn´e sur l’´echelle fast- time `a intervalles de temps constants. Ces hypoth`eses impliquent que les valeurs de Sr(ω, ku) sont prises `a intervalles r´eguliers dans le plan (ω, ku). Or les fr´equences spa- tiales (kx et ky) sont des fonctions non affines des variables (ω, ku) :

0

kx(ω, ku) = ku

ky(ω, ku) =*4k2− ku2

(I.28)

La Figure I.16 illustre ce ph´enom`ene. Il n’est donc pas possible de retrouver f (x, y) par transform´ee inverse de Fourier puisque les valeurs de F [kx(ω, ku), ky(ω, ku)] se situent `

a intervalles irr´eguliers dans le plan (kx, ky). L’id´ee est alors d’´evaluer F (kx, ky) par interpolation `a intervalles r´eguliers. Nous retrouvons ainsi la fonction cible f (x, y) par transform´ee de Fourier inverse `a deux dimensions de F (kx, ky) interpol´ee. Le sch´ema

−6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 k ku

(a) Positions des couples (k, ku) pour lesquels Sr(k, ku) est connu 0 kx = ku ky =*4k2− k2u =⇒ −6 −4 −2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 kx ky

(b) Positions des couples (kx, ky) pour lesquels

on a une valeur pour F (kx, ky)

Fig. _{I.16 – Repr´esentation des fr´equences spatiales SAR pour des donn´ees discr`etes}

r´ecapitulatif de cette m´ethode est illustr´e sur la Figure I.17.

I.3.3.4 Format polaire

Une autre approche du traitement SAR peut se faire en exprimant les grandeurs kx et ky par l’interm´ediaire de fonctions trigonom´etriques. Pour simplifier l’´ecriture, nous allons supposer que les coordonn´ees (xi, yi) des points brillants sont consid´er´ees par rapport au

sr(t, u) f (x, y) FFT 2D (t, u) → (ω, ku) Sr(ω, ku) P∗_(ω) F [kx(ω, ku), ky(ω, ku)] interpolation F (ω, ku) = F (kx, ky) IFFT 2D (kx, ky) → (x, y)

Fig. _{I.17 – Synopsis de la technique d’interpolation dans le domaine des fr´equences spa-} tiales

centre de la cible (Xc, Yc). Nous pouvons donner une approximation (voir Annexe D) du signal compress´e6 sc(ω, u), dans le domaine (ω, u) :

sc(ω, u) ≈ |P (ω)|2 /

i

ρiexp (−kx(ω, u)xi− ky(ω, u)yi) (I.29)

avec :

kx(u) ≈ 2kcsinθc− 2kccos

2_θ c

Rc u

ky(ω) ≈ 2kcosθc

(I.30)

Les approximations sont conditionn´ees par une double hypoth`ese de faisceau ´etroit (u ( Yc) et bande ´etroite (ω0 ( ωc). Les deux variables kx et ky sont approch´ees par des fonctions affines des variables, respectivement, u et ω. L’interpolation n’est alors plus n´ecessaire : il suffit d’une modification de l’´echelle avant de proc´eder `a une transformation de Fourier inverse du signal compress´e. Le sch´ema de la Figure I.18 r´esume le traitement pour les deux hypoth`eses de faisceau ´etroit et bande ´etroite.