Les coefficients électriques : développement théorique

direct de courant entre les deux est créé. La figure 3.2.16 illustre ce phénomène. Dans cette situation, un conducteur cylindrique soumis à une tension continue de 1 V est en contact avec le sol. Cela engendre une élévation de potentiel de sol, indiquée par les couleurs sur l’image. Les lignes représentent les lignes de courant, alors que les flèches donnent leur direction (sortant du conducteur et vers le sol).

Figure 3.2.16 – Exemple d’échange de courant entre un conducteur cylindrique et le sol. Les couleurs représentent l’intensité du potentiel électrique sur le sol, les lignes représentent les lignes de courant et les flèches donnent leur direction. La surface carré sur l’image est fictive, construite uniquement dans le but d’améliorer le maillage.

Dans le cas où le conducteur est à un potentiel électrique plus élevé que son environnement, comme dans la figure 3.2.16, un courant est créé dans le sens sortant du câble et vers le sol. Dans le cas contraire, le courant s’introduit dans le câble depuis le sol.

Le sol est considéré comme étant globalement neutre lorsque aucune source de courant est présente. Le sens du courant d’échange, pour un seul conducteur connecté au sol, est alors en pratique définit uniquement par la valeur du potentiel électrique de ce conducteur. Lorsque le conducteur est sous tension alternative, le sens du courant qui circule entre le conducteur et le sol change au cours des oscillations du potentiel dans le conducteur.

Dans le cas où un deuxième conducteur en contact avec le sol, les lignes de cou-rant dans le sol engendrées par le premier conducteur seront modifiées. Dans la figure 3.2.17 on peut voir un exemple avec deux conducteurs enterrés. Le conduc-teur de droite est sous une tension de 1 V , alors que celui de gauche est à 0 V .

Figure 3.2.17 – Échange de courant entre deux conducteurs enterrés. Pour quantifier ce phénomène, nous définissons une matrice des conductances, notée G. L’élément de la i − `eme ligne et j − `eme colonne, noté gij, représente le coefficient de conductance mutuelle entre les i−`eme et j−`eme conducteurs, et donc l’inverse de la résistance traversée par le courant qui circule entre le conducteur i et le conducteur j (ou vice-versa). Dans ce manuscrit, il est nommé « coefficient de conduction mutuel ». Les éléments de la diagonale, du type gii, représentent la possibilité d’échange de courant entre un conducteur et sol lointain, sans que ce courant soit absorbé par un des autres conducteurs. Dans ce manuscrit, il sont nommés « coefficients de conduction propre ».

Pour un système à N conducteurs en contact avec le sol, on peut écrire la formule suivante

I_i = gii(Vi− V_sol) + X^N

k = 1 (k 6= i)

où Ii représente le courant qui sort du conducteur i, Vi représente le potentiel sur un conducteur i et Vsol représente le potentiel du sol lointain et donc normalement

V_sol = 0.

L’équation 3.2.40 relie le courant total dégagé par le conducteur i aux différences de potentiel entre le conducteur i et tous les autres conducteurs. Cette méthode permet de connaitre la fraction de courant qui se se dirige vers chacun des autres conducteurs présents, ainsi que la fraction de courant qui part vers le sol lointain. Lorsque l’on met en évidence les termes de potentiel, l’équation 3.2.40 peut être réécrite comme : I_i = Vi     N X k= 1 g_ik     − N X k= 1 (k 6= i) V_kg_ik (3.2.41)

Pour illustrer ce phénomène, on restreint le système à un ensemble de 2 conduc-teurs uniquement. Dans la Fig. 3.2.18 on peut voir une représentation des connec-tions entre les deux conducteurs, notés 1 et 2, et chacun des conducteurs et le sol.

Dans cet exemple, l’équation 3.2.41 se réduit au système d’équations suivant :

I₁ = (g11+ g12) V1− g₁₂V₂ (3.2.42) et :

I₂ = −g12V₁+ (g12+ g22) V2 (3.2.43) Où, en forme matricielle :

I₁ I₂ ! = " g₁₁+ g12 −g₁₂ −g₁₂ g₁₂+ g22 # . ^V1 V₂ ! (3.2.44)

Figure 3.2.18 – Représentation des couplages conductif entre 2 conducteurs et le sol lointain.

Les valeurs des coefficients de couplage conductif peuvent alors être calculées à partir de l’équation 3.2.44 et suite aux résultats de simulation électrique par les éléments finis.

Cette simulation est, à l’instar du calcul des coefficients magnétiques, réalisée sur une coupe en 2 dimensions qui est perpendiculaire aux conducteurs du système ferroviaire. Cela consiste à imposer, en fonction de la géométrie de l’espace et des conducteurs du système, une valeur de tension sur chaque conducteur. Ensuite, on calcule, en fonction de cette tension, la valeur de courant échangé entre chaque conducteur et le sol.

Comme les tensions et courants sont reliés aux coefficients de couplage par l’équation matricielle 3.2.44, on peut alors déterminer ces derniers.

Il faut cependant noter que, pour résoudre l’équation 3.2.44 de façon univoque, il est nécessaire de réaliser un nombre de simulations égal au nombre de conducteurs en contact avec le sol. Cela vient du fait que cela est une équation matricielle dont le nombre de variables est plus grand que l’ordre de la matrice.

Pour illustrer cette méthode, on propose de résoudre, de façon uniquement théo-rique pour l’instant, l’équation 3.2.44 pour deux conducteurs enterrés. Cela s’effec-tue en deux étapes, que l’on distingue par l’utilisation d’un indice supérieur entre parenthèses du type «(i)» :

1. Une première simulation par éléments finis où les tensions imposées au niveau des conducteurs sont :V(1)

1 = 1 et V(1)

2 = 0. On calcule alors les valeurs de courant sur les conducteurs, notées I(1)

1 et I(1) 2

2. Une deuxième simulation par éléments finis où les tensions imposées au ni-veau des conducteurs sont : V(2)

1 = 1 et V(2)

2 = 0. On calcule alors les valeurs de courant sur les conducteurs, notées I(2)

1 et I(2) 2 .

En fonction de ces résultats et de l’équation 3.2.44, on arrive aux équations suivantes : I₁⁽¹⁾ I₂⁽¹⁾ ! = " g₁₁+ g12 −g₁₂ −g₁₂ g₁₂+ g22 # . 1 0 ! (3.2.45) et : I₁⁽²⁾ I₂⁽²⁾ ! = " g11+ g12 −g12 −g₁₂ g₁₂+ g22 # . 0 1 ! (3.2.46) Les valeurs des coefficients de conductions sont alors :

g12 = −I(1) 2 (3.2.47) , g₁₁ = I(1) 1 + I(1) 2 (3.2.48) et : g₂₂ = I(2) 2 + I(2) 1 (3.2.49)

Une quatrième relation peut aussi être calculée : g12 = −I(2)

1 . Cependant, l’in-formation que l’on y obtient est redondante car déjà trouvée par l’équation 3.2.47. Bien que dans les formules les conductances aient été utilisées, il est souvent plus compréhensible que les résultats soient exposés en termes de résistance (et donc l’inverse des conductances). Cela est le cas pour les résultats présentés ensuite, dans les prochaines sections. On parle alors de résistance de couplage entre conducteurs et de résistance propre des conducteurs.

Les valeurs des conductances sont linéiques sont exprimées en S/m. De ce fait, les résistances de couplage et les résistances propres ont pour unité l’inverse des conductances linéique, à savoir le Ω.m.

Dans la prochaine section, nous allons présenter un calcul plus complet des coefficients de conduction, où nous allons calculer numériquement ces valeurs en fonction d’une configuration de sol choisie.