Les approches discrètes

les systèmes masses-ressorts

Le système masse-ressort est basé sur un maillage volumique, ainsi la topologie est préservée pendant les déformations. Entre chaque couple de point relié par une arrête du maillage, une force de cohésion est appliquée pour garder l’unité du solide.

En général, la force utilisée est l’élasticité linéaire donnée par l’Equation (2.2), avec

l0, la distance entre les deux nœuds au repos, l, la nouvelle distance due à l’élongation

générée par la force F et K, la constante de rigidité.

F = K(l0− l) (2.2)

Les systèmes masses-ressorts sont souvent jugés comme les mieux adaptés pour les simulations chirurgicales étant donné leur temps de calcul rapide, leur gestion des inter-actions et leur comportement réaliste. Ils sont utilisés notamment dans l’animation de surfaces déformables telles que les textiles [?] ou d’objets volumiques organiques mous tels que les muscles des bras, du visage ou encore l’abdomen [?].

Dans [?] un système masse ressort est utilisé pour simuler le comportement pulmonaire et les conditions limites consistent à appliquer des forces orthogonales à chaque facette :

Les systèmes masses-ressorts consistent la plupart du temps à exprimer la deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique). Bien que basée sur cette loi mécanique, les propriété mécaniques ne sont pas explicites. Ainsi plusieurs travaux [?, ?] ont permis d’établir un lien entre la raideur des ressorts et les paramètres élastiques d’un matériau en fonction d’une certaine topologie de maillage. Toutefois, ces travaux sont encore limités car fonctionnnant uniquement en élasticité linéaire et en petite déformation.

Chapitre 2. Etat de l’art

Figure 2.3 – Le poumon à trois niveaux d’inspiration avec un système masse ressort

les systèmes chain mail

Le chain mail est une extension volumique au système masse-ressort [?]. Il est basé sur la discrétisation du volume en éléments cubiques. Ces éléments sont reliés par des chaines ; ainsi, dans une certaine limite, chaque élément peut bouger sans influencer les autres. En revanche, pour des grands déplacements, la propagation est directement effectuée grace aux nœuds adjacents.

La Long Element Method

Cette méthode proposée dans [?] utilise une modélisation par poutres considérées comme remplie d’un fluide pour déformer de façon très rapide des tissus mous. La dé-formation longitudinale obéit à la loi de Hook et une contrainte sur la préservation du volume total de l’objet est ajoutée grâce au principe de Pascal.

les systèmes de particules

Les système de particule constituent une généralisation des systèmes masses-ressort. Ils ont été introduits dans [?] pour modéliser des objets "flous", ayant une frontière géo-métrique difficilement définissable, comme la fumée ou les explosions. Un système de particule est un ensemble de masses ponctuelles se déplaçant sous l’action de forces ex-ternes, comme la gravité, mais également de forces internes résultant des interactions interparticulaires. Le comportement des particules en réponse à ces forces est alors régi par les lois de la physique.

Par exemple, la force de cohésion utilisée dans [?] est dérivée du potentiel de Lennard-Jones, prennant en compte la taille et surtout la masse d’une particule. Ce potentiel offre

une paramétrisation permettant d’agir sur chaque partie de la courbe (Cf Figure 2.4) :

– lorsque la distance est inférieure à r0(le rayon de la particule), une force de répulsion

éloigne les particule ;

– lorsque la distance est égale à r0, il y a équilibre, les particules ne bougent plus ;

– lorsque la distance est supérieure à r0, une force d’attraction tend à rapprocher les

particules.

Les systèmes de particules sont cependant coûteux en temps de calcul. Pour cela, dans [?], les systèmes de particules sont combinés avec les surfaces implicites. Les surfaces implicites sont utilisées pour de légères déformations et les systèmes de particules pour les objets sujets à de fortes déformations. Les poumons et le cœur sont modélisés par des

2.3. Les méthodes existantes

Figure 2.4 – Potentiel de Lennard-Jones et force dérivée exprimé en fonction de la

distance entre particules

systèmes de particules tandis que la cage thoracique, le mediastin (légèrement déformable) et la colonne vertébrale pouvant agir comme obstacles rigides pouvant contraindre le

mouvement sont modélisés par des surfaces implicites (Cf Figure 2.5).

Figure 2.5 – Modèle hybride du thorax. De gauche à droire : Vue transversale avec

représentation des particules, vue transversale avec une peau autour des oragnes et vue coronale sans l’épiderme

Le potentiel de Lennard-Jones ne permet pas une relation directe entre les systèmes de particules et les propriétés mécaniques. Dans [?], l’auteur montre comment prendre en compte l’elasticité d’un matériau composé d’un grand nombre de particules de façon ana-lytique et sans contrainte de géométrie, de taille, ou de structure. Cependant, un certain nombre de comportement sont exclus (élasticité non-linéaire, grandes déformations, ...) les systèmes à mémoire de forme

Cette notion a été introduite dans [?] et est appliquée au cas du poumon. Le système est constitué de forces de contraction (modélisant l’activité musculaire) et de mémoire de forme (modélisant les comportements élastiques). La contraction est simplement la diminution de la distance entre un point de masse et un certain nombre de ses voisins. On considère ces voisins comme des points d’attraction. Pour modéliser les comportements élastiques, la surface est définie localement en utilisant la configuration d’un point donné par rapport à ses voisins. Le comportement élastique est modélisé localement par une force tendant à ramener chaque point vers la configuration initiale. Cette force vérifie la théorie de l’élasticité : elle est nulle pour un déplacement rigide.

Chapitre 2. Etat de l’art

Ainsi, [?] a développé un modèle anatomique et fonctionnel des évolutions du tronc pendant la respiration.

Figure 2.6 – Systèmes à mémoire de forme modélisant le diaphragme avec abdomen

incompressible

Cette méthode a été étendue pour un maillage volumique 3D avec une application à la prostate dans [?].

Conclusion sur approches discrètes

Les approches discrètes présentent un bon compromis entre temps de calculs et réa-lisme de la modélisation. Toutefois, réaréa-lisme et réalité sont deux objectifs différents. Si le réalisme peut suffire pour les simulations chirurgicales pour l’apprentissage, la réalité (avec une tolérance minimale) est nécessaire pour la radiothérapie. Nous allons à présent étudier des techniques directement basés sur les lois de la mécanique des milieux continus.