Les approches continues

Ces modèles considèrent la matière comme un milieu soumis à des lois de compor-tement globales. L’objet simulé ne sera finalement discrétisé que pour les besoins de la simulation numérique.

Les éléments finis

La méthode la plus répandue est celle des éléments finis. Indispensable dans l’industrie, elle fait l’objet de publications en mécanique et en mathématiques appliquées depuis des

dizaines d’années. Cette méthode sera spécialement étudiée dans le chapitre 2.5. C’est

une méthode utilisée pour résoudre des équations différentielles définies sur un certain domaine et avec des conditions limites données.

Dans le cas linéaire simple, elle consiste à résoudre des équations de la forme

K.U = F (2.3)

Avec U les déplacements aux nœuds, F les forces aux nœuds et K la matrice de rigidité.

Les premiers travaux portant sur un modèle mécanique du poumon sont assez anciens. Parmis les précursseurs, nous pouvons par exemple citer Rohrer [?] qui utilisait en 1921 un modèle isotropique, après avoir montré que des cerles imprimés sur la surface extérieure du poumon gardaient leur forme dans des grands déplacements. Puis, plusieurs travaux ont porté sur la modélisation du poumon par éléments finis [?, ?, ?, ?, ?]. Notamment, dans [?], les auteurs font une étude par éléments finis des déformations du poumon sous

2.3. Les méthodes existantes

l’action de son propre poids. Le maillage est construit par symétrie et il est illustré par la

Figure 2.7.

Figure 2.7 – Maillage simplifié de poumon pour une analyse par éléments finis

Récemment, de nombreux travaux ont étudié la physiologie avec le comportement des muscles [?, ?] ou la biomécanique avec le comportement mécanique du tissu pulmo-naire [?, ?]. Notons que ces publications mettent en évidence le fait que le poumon a un comportement au contraire, anisotropique et inhomogène. Cependant, les approximations d’homogénéité et d’isotropie semblent raisonnables d’après ce qui est souligné dans [?]. Nous pouvons considérer le tissus pulmonaire comme homogène et, quant à l’anisotropie, elle existe mais elle est trop insignifiante pour justifier l’ajout des contraintes qu’elle ap-porte surtout qu’elle diminue avec l’âge (l’âge moyen de la population ciblée par notre étude étant de 65 ans environ). De plus, rares sont les travaux qui ont pour but de mo-déliser la respiration. Dans la plupart des cas, l’objectif final de ces recherches est d’avoir un modèle biomécanique utilisable pour la mécanique des chocs.

Figure2.8 – Déplacement du contour par FEM dans [?] (résultats en cm)

Certains travaux ont néanmoins eu pour cadre la radiothérapie et modélisent donc la respiration. Dans [?], les déplacements issus de la respiration sont calculés par un heuristique : des déplacements imposés en surface sont appliqués perpendiculairement à la surface et ne dépassent pas la course maximum du poumon. Dans [?] les conditions limites sont données par un recalage non-rigide issu de processus d’analyse d’image dont les limites ont été citées plus haut.

Nous verrons dans §3.2.1 comment adapter les conditions limites à la réalité

Chapitre 2. Etat de l’art Les éléments finis "optimisés"

Pour être applicable à la modélisation des organes déformables, la méthode des élé-ments finis doit être optimisée au niveau de l’espace mémoire nécessaire dû à la repré-sentation matricielle. Afin d’obtenir un temps interactif pour des applications d’aide à la chirurgie le temps de calcul doit également être optimisé.

Dans [?] les déplacements négligeables sont filtrés pour préserver les ressources mé-moire et réduire le temps de calcul. Leur algorithme est appliqué à un foie composé de 940 nœuds. Ils obtiennent une réduction de l’espace mémoire de 60%.

Des animations temps réel sont réalisées dans [?] et [?] grâce à des calculs effectués en quasi-statique. Les temps de pré-calculs et la place mémoire utilisée sont encore très importants mais ces méthodes ont permis de réaliser des animations temps réel.

Fast Finite Element

Cette méthode consiste à inverser la matrice K par un calcul préliminaire à la simula-tion les déformasimula-tions. Ainsi, pour chaque vecteur F, le calcul revient à une multiplicasimula-tion de matrice

U= K−1.F (2.4)

La discrétisation du volume implique la création de nombreux nœuds à l’intérieur de l’objet modélisé. Ces nœuds ne sont pas utiles pour l’affichage graphique. Une compression du système peut alors être réalisée [?].

Malheureusement, ce type de méthode ne fonctionne qu’en statique, avec de petites déformations et avec une élasticité linéaire car la matrice de rigidité ne peut pas être réactualisée.

Méthode des éléments frontières

La méthodes des éléments frontières, ou boundary element methods (BEM), reprend la même formulation des éléments finis mais en ne considérant plus un volume mais une surface. Le système est alors constitué d’une discrétisation de la surface de l’objet à simuler en "éléments de frontière". Le comportement de l’intérieur de l’objet est dicté par des lois issue de la mécanique des fluides dans [?]. Cette méthode peut être utilisée pour les objets déformables dans le cas quasi-statique et avec une élasticité linéaire.

Méthode hierarchique

Cette méthode consiste à utiliser un maillage volumique multi-résolution [?]. Suivant les conditions limites, le maillage peut être plus ou moins raffiné. Les opérateurs de déri-vation discrets sont réécris pour être utilisés sur un modèle indépendant du maillage.

En pratique, les différentes résolutions du maillage sont précalculées et mises en mé-moire sous forme de structure de type octree. La simulation de déformation est alors effectuée en temps réel.

Elements finis explicites

La méthode des éléments finis explicites [?] ne regroupe pas toutes les équations re-latives à tous les points dans un grand système matriciel, mais résoud les équations rela-tives à chaque élément séparément. Cette approximation locale réduit la taille du système à résoudre et donc le temps de calcul, au prix d’une perte de précision. Pour chaque