Les équilibres cinétiques

3.1.3 Plan du chapitre . . . 77 3.1.4 Modèle numérique et normalisations . . . 78

3.2 Impact des électrons sur l’équilibre BAS . . . . 78

3.2.1 Conditions initiales . . . 79 3.2.2 Description générale et limitations . . . 83 3.2.3 Effets cinétiques des électrons . . . 85

3.3 Reconnexion magnétique asymétrique et conditions

initiales . . . . 87

3.3.1 Conditions initiales . . . 88 3.3.2 Relaxation de la couche de courant . . . 89 3.3.3 Évolution du taux de reconnexion . . . 90 3.3.4 Evolution des signatures de la reconnexion magnétique . 93

3.4 Résumé et discussion . . . 102

3.1

Introduction

Il est admis que l’évolution de la reconnexion magnétique (taux de reconnexion, champ de Hall, etc.) dépend des propriétés du plasma et des champs électroma-

gnétiques de part et d’autre de la couche de courant. En revanche, les recherches menées jusqu’à présent ont toujours fait l’hypothèse que l’état initial de la couche de courant, c’est-à-dire la structure interne de la transition entre les milieux, n’avait pas d’influence une fois le régime stationnaire de la reconnexion atteint. Pour véri- fier cette hypothèse, nous allons observer l’évolution de la reconnexion magnétique dans une "boîte" initialisée avec plusieurs types de couches de courant séparant deux milieux plasmas identiques.

Le rayon de courbure de la magnétopause est de quelques rayons terrestres, tandis que l’étendue spatiale de la région de diffusion ionique à la magnétopause est de l’ordre de quelques centaines de kilomètres au plus. Par conséquent, à ces échelles, la magnétopause peut être considérée comme une couche de courant uni- dimensionnelle, c’est-à-dire que les grandeurs physiques macroscopiques du sys- tème ne varient que selon la direction normale N . De plus, en tant que frontière séparant deux milieux de conductivité différente, elle est également tangentielle, ce qui signifie que le champ magnétique BN = 0 et la vitesse fluide VN = 0 au niveau de la discontinuité. Pour des milieux identiques, la couche frontière peut cependant être très différente, que ce soit à l’échelle macroscopique (profils des champs électromagnétiques, de densité, de courant, etc.) ou à l’échelle microsco- pique (distribution des particules). Dans un contexte fluide, seules les grandeurs macroscopiques sont prises en compte. Il ne suffit alors que de respecter un équi- libre de pression pour obtenir une couche de courant tangentielle stationnaire. Autrement dit, pour une direction z normale à la couche, il faut avoir une varia- tion de densité n(z), de champ magnétique B(z) et de température T (z) telle que

nkBT + B2/2µ0 = constante. Lorsque nous utilisons une description cinétique, en

revanche, satisfaire uniquement cette condition ne garantit pas la stationnarité du système (voir Sec.3.1.1). Pour un même équilibre fluide, nous pouvons donc avoir une infinité de distributions cinétiques différentes, certaines stationnaires, d’autres non.

3.1.1

Les équilibres cinétiques

Une description cinétique d’un plasma nécessite de connaître une fonction de distribution F des particules. Pour en décrire l’évolution temporelle dans l’espace des phases, nous utilisons l’équation de Vlasov :

dF (r, p, t) dt = ∂F ∂t + dr dt ∂F ∂r + dp dt ∂F ∂p = 0 (3.1)

La fonction F donne le nombre de particules de l’espèce décrite qui à un moment

classique non collisionnel, cette équation devient : dF (r, p, t) dt = ∂F ∂t + p m · ∇rF + q(E + p m × B) · ∇pF = 0 (3.2)

où nous avons (r, p) la position et l’impulsion, m et q la masse et la charge, respec- tivement, de l’espèce décrite et (E, B) le champ électromagnétique. Les détails du calcul sont donnés dans la Sec.2.2.1. Une distribution est à l’équilibre si ∂F/∂t = 0. De nombreux travaux ont été réalisés pour décrire les couches de courants tangentielles à l’aide d’un équilibre cinétique. Parmi les premiers et plus connus se trouve le travail de Harris (Harris 1962). La couche dite "de Harris" est un modèle analytique avec :

— une description coplanaire avec B = Bx(z)ux = B0tanh(z/L)ux, où z est la direction normale à la couche, B0 la norme de B loin de la couche et L

la largeur de la couche.

— la neutralité du milieu (n = ni = ne), ce qui entraine l’absence de champ électrique.

— des distributions maxwelliennes de particules pour les ions et les électrons avec des vitesses moyennes choisies de manière à respecter µ0j = ∇ × B

(Maxwell-Ampère, Eq.2.7).

— des températures et vitesses de dérives constantes

Avec ces conditions, nous obtenons un profil de densité de la forme n(z) = n0/cosh(z/L)2.

Il s’agit donc d’une couche de courant symétrique, qui concentre toute la densité et par conséquent est entourée de vide. Si ce modèle est très pratique pour étudier les feuillets de plasmas et même, en ajoutant un fond de densité constante, la queue de la magnétosphère, il se révèle par contre complètement inadapté pour décrire des couches de courant asymétriques telles que la magnétopause.

De nombreux travaux ont cherché à décrire de manière analytique un équilibre cinétique pour une couche de plasma asymétrique (Alpers 1971; Channell 1976; Lemaire & Burlaga 1976; Roth et al. 1996; Mottez 2003). Cependant, dans tous ces modèles, les champs électromagnétiques sont un produit et non une variable à fixer librement. Ils sont donc difficilement contrôlables dans l’optique de modéliser une couche de courant où le profil de champ magnétique serait un paramètre libre. Cela n’est pas sans conséquence et introduit de plus un biais dans les équilibres ciné- tiques produits, comme démontré par la suite. Par exemple, une hypothèse discu- table mais couramment utilisée est la réciprocité du théorème de Jeans. Ce dernier stipule que toute fonction de distribution est une solution de l’équation de Vlasov stationnaire si elle ne dépend explicitement que des invariants du mouvement. En supposant, à l’inverse, que toute solution de l’équation de Vlasov stationnaire ne dépend explicitement que des invariants du mouvement, nous ajoutons un biais sur les champs. Pour l’expliquer prenons les invariants du mouvement pour une couche tangentielle asymétrique 1D avec un champ magnétique antisymétrique.

Nous choisissons ici la direction z comme direction variable et fixons la position de la couche à z = 0. Un invariant du système est le Hamiltonien H :

H = Ec+ qΦ = 1

2m(p − qA)

2_{+ qΦ (3.3)}

où Ec l’énergie cinétique, m et q la masse et la charge, respectivement, de l’espèce décrite, p son impulsion, Φ le potentiel électrique tel que E = −∇Φ et A le potentiel vecteur tel que B = ∇ × A. En l’absence de champs électrique, nous avons donc simplement :

H = Ec= 1 2mv

2 _(3.4)

La couche étant invariante dans les directions tangentielles x et y, l’impulsion dans ces directions, px et py, est également des invariante. Par construction, nous avons :

p = mv + qA (3.5)

où v la vitesse de la particule, explicitement indépendante de la position. De plus, nous fixons B antisymétrique selon z de part et d’autre de la couche. A est donc symétrique selon z. Ainsi, pour E = 0 (c’est-à-dire Φ = 0), l’Eq.3.3 ne contient plus que deux termes dépendants explicitement de la position : H et A. Et le terme A est symétrique selon z, donc il doit en être de même pour H. Nous en déduisons qu’en l’absence de champ électrique, les invariants du systèmes sont symétriques selon z en vertu de l’Eq.3.3. Si nous appliquons la réciproque du théorème de Jeans, les invariants du systèmes constituent toutes les variables de la fonction de distribution F . Ces invariants étant symétriques, la distribution de particule est forcément symétrique selon z également. Le corollaire est que tout système asymétrique avec un champ antiparallèle doit avoir un champ électrique. Ce résultat dénué de justification physique montre qu’une telle hypothèse introduit des biais qui peuvent être importants.