Les équations d’état

L’équation d’état décrit l’ensemble des propriétés thermodynamiques à l’équilibre du système considéré. L’équation d’état de l’élément le plus simple, l’hydrogène, est très difficile à déterminer dans les conditions joviennes (températures modérées et pressions très élevées). Or, du comportement de l’hydrogène dans de telles conditions dépend la modélisation de la structure interne, puisqu’il représente l’essentiel de la masse.

Fig.1.2 – La structure nuageuse jovienne est supposée être stratifiée en trois couches, de composition différente : eau + ammoniac pour la plus profonde, hydrosulfure d’am- monium pour la seconde et ammoniac pour la plus élevée. En outre, des brumes sont présentes dans la stratosphère ; elles sont surtout visibles dans l’ultraviolet. La ligne pleine représente le profil pression-température. L’ordonnée de gauche est l’altitude par rapport au niveau de pression 1 bar, en kilomètre. L’ordonnée de droite est la pression en atmosphère (1 atm = 1.013 bar).

l’hydrogène est un fluide moléculaire. Dans l’intérieur profond, où des pressions de l’ordre du Mbar sont atteintes, la distance moyenne entre deux molécules devient infé- rieure au rayon de Bohr, et les liaisons moléculaires n’arrivent plus à se maintenir. Le fluide est ionisé. Ce plasma chaud et dense, caractérisé par une forte dégénérescence et une forte interaction coulombienne entre les ions ressemble aux métaux liquides. C’est ainsi que cette forme de l’hydrogène est appelée “hydrogène métallique” (e.g. Chabrier et al. 1992). Le régime de transition entre l’hydrogène moléculaire et l’hydrogène mé- tallique pose l’un des principaux obstacles à la connaissance de la structure interne de Jupiter (et de Saturne). La description de cette pression d’ionisation reste peu précise. L’équation d’état employée dans la modélisation de la structure interne repose sur des calculs théoriques incluant de nombreuses approximations qui sont restées, jusqu’il y a peu, sans confrontation possible avec des mesures expérimentales. De telles conditions

Fig. 1.3 – Equation d’état : comparaison entre données expérimentales et théoriques pour le deutérium. L’étude du deutérium au lieu de l’hydrogène présente l’avantage d’avoir à monter moins haut en pression. En effet, pour une pression donnée la masse volumique est deux fois plus élevée pour le deutérium que pour l’hydrogène. Les ellipses vides correspondent à des compressions par laser (Collins et al. 1998). Les ellipses pleines représentent des mesures par compression magnétique (Knudson et al. 2001). La ligne pleine, à gauche, présente un ajustement de mesures faites par compression par un projectile, pour la température 0 K (Hemley et al. 1990). Les trois autres lignes représentent respectivement les calculs théoriques (ligne pleine, et tirets d’après Saumon et al. (1995) et ligne pointillée d’après Militzer et Ceperley (2000)). La ligne pleine suppose l’existence d’une transition de phase discontinue. Cette figure est extraite de Guillot et al. (2004).

de températures et de pressions, dites hyperbares, ne se rencontrent pas sur Terre et il est, par conséquent, difficile de les reproduire en laboratoire. Cependant, ces dernières années ont vu une nette progression dans la précision des mesures expérimentales. Les deux principales méthodes sont la compression d’un volume d’hydrogène (ou de deuté- rium) par impact1

ou par laser. L’avantage de la méthode d’impact est la capacité de comprimer de plus grands volumes d’hydrogène que par laser (∼ 500 mm3 _{contre ∼ 1}

mm3_{), tandis que le laser permet de monter plus haut en pression (∼ 6 Mbar contre}

∼ 1 Mbar).

Outre la difficulté de contraindre précisément l’équation d’état de l’hydrogène, à haute pression et température modérée, un problème majeur est la nature de la tran- sition de phase, de l’état moléculaire à l’état plasma. La transition est-elle continue ou est-elle du premier ordre, impliquant des discontinuités de densité et d’entropie le long de la courbe ? Cette question fut ouverte par Wigner et Huntington (1935), qui oppo-

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saient la nature des interactions dans un métal et dans un isolant, et s’interrogeaient sur la nature d’une transition de phase entre les deux. L’hypothèse d’une transition de phase discontinue est appelée “transition de phase plasma”. Cette transition n’a jamais été observée en laboratoire, mais il se peut que les conditions expérimentales n’aient pas permis de faire les mesures nécessaires. La transition de phase plasma, si elle existe, aurait lieu entre 1.5 et 3 Mbar ; les travaux les plus récents de Saumon et al. (2000) la revoient à la baisse à T ≃ 14600 K et P ≃ 0.73 Mbar. L’existence d’une transition de phase discontinue aurait de lourdes conséquences sur la structure interne de Jupiter. Elle créerait une barrière infranchissable pour la convection, entre les enveloppes métalliques et moléculaires, ce qui affecterait la composition chimique. En effet, la condition d’équilibre des phases implique, dans un tel cas de figure, une discontinuité de la composition chimique le long de la transition de phase (Landau et Lifchitz 1994), ce qui ferait de la composition chimique de la haute atmosphère un piètre indicateur de la composition interne.

Par ailleurs, la question de l’équation d’état de l’hydrogène n’est pas la seule à poser problème. Bien que l’hydrogène reste un point crucial en raison de son abon- dance, la question de l’hélium n’est ni en reste, ni sans conséquence sur la modélisation de la structure interne. Cela tient notamment au fait que la majeure partie des ef- forts expérimentaux ont été portés sur l’hydrogène. Et plus que le comportement de l’hélium dans les même conditions de température et de pression, c’est le comporte- ment de l’hélium dans l’hydrogène qui nous intéresse. Smoluchowski (1967) et Salpeter (1973) ont introduit le concept de séparation de phases entre l’hydrogène et l’hélium : à faible température, l’hélium (ainsi que d’autres éléments) devient insoluble et forme des gouttelettes. Ces gouttelettes sédimentent, sous l’action de la gravité, vers le cœur planétaire. De nombreux modèles ont été dressés pour décrire le comportement d’un tel mélange (Stevenson 1982, Hubbard et Dewitt 1985, Klepeis et al. 1991, Pfaffenzeller et al. 1995, Fortney et Hubbard 2003). Il ressort des contraintes sur les diagrammes de phases du mélange hydrogène-hélium que la séparation des phases entre les deux composants a lieu dans Jupiter. Cependant, les incertitudes sur les contraintes expé- rimentales sont significatives et une précision accrue sur les pressions d’ionisation de l’hydrogène et de l’hélium, séparés, sont nécessaires, ainsi que la description théorique et expérimentale du mélange.

Enfin, les équations d’état des éléments lourds contribuent moins à la description générale de la structure interne, mais jouent un rôle non négligeable. Les éléments lourds ont une influence cruciale dans le calcul des opacités ou dans l’éventuelle existence d’un gradient du poids moléculaire moyen. De plus, selon les observations des moments gravitationnels, la présence d’un noyau composé de glaces et de roches est fortement suggérée. La description de ce dernier repose bien évidemment sur les équations d’état des différents éléments lourds. Des différents modèles, il apparaît que les éléments lourds sont uniformément mélangés au sein de l’enveloppe d’hydrogène et d’hélium, grâce à la convection. La séparation des phases, similaire à celle de l’hélium, aurait lieu pour les éléments présents en quantités suffisantes, telle l’eau. D’autres phénomènes sont susceptibles de perturber les profils des éléments lourds, tels la dissolution du néon dans les gouttelettes d’hélium, ou la formation de gouttes de silicates2

. Le dernier point est la dissolution éventuelle de planétésimaux, qui aurait pu enrichir l’atmosphère

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Fig. _{1.4 – Comparaison de profils de densité. Jupiter est modélisé comme une en-} veloppe d’hydrogène et d’hélium (X=0.7 ; Y=0.3) entourant un noyau de glace et de roche. Ligne pleine : l’équation d’état est celle “interpolée" de Saumon et Chabrier (Saumon et al. 1995). Ligne pointillée : présence d’une transition de phase plasma pour l’hydrogène. Lignes en tirets : équations d’état théoriques pour la glace VII (Zhar- kov et Trubitsyn 1978) et olivine à la température 0 K. Les notations “synthethic ice" et “synthetic rocks" se réfèrent aux mesures expérimentales de compression de glaces synthétiques (Hubbard et Marley 1989). Les astérisques et carrés correspondent à des valeurs mesurées par chocs. Figure extraite de Guillot et al. (2004).

en éléments lourds. Tout dépend des scenarii de formation planétaire et de l’efficacité de la convection.