Le transport des particules par la méthode Monte Carlo

Les méthodes Monte Carlo sont des procédés statistiques dont la précision ne dépend que du nombre d’évènements indépendants simulés. La méthode Monte Carlo est particulière- ment utile pour résoudre le problème de transport de la radiation qui, jusqu’à date, n’a pas de solution analytique [37]. Les codes de transport Monte Carlo utilisent un générateur de nombres pseudo-aléatoire pour échantillonner des quantités d’intérêt et leurs incertitudes respectives à partir de fonctions de densité de probabilité qui décrivent les différentes interactions physiques [29]. L’histoire d’une particule décrit sa trajectoire à partir de la source incluant les trajectoires des particules secondaires créées par celle-ci. Pour illustrer la technique, on peut considérer l’exemple d’un photon d’énergie suffisamment élevée de sorte que les interactions dominantes sont la diffusion Compton et la production de paire

[38]. La fonction de densité de probabilité qu’il y ait interaction à l’intérieur d’une distance

x, est donnée par le coefficient d’atténuation [cm−1] de l’équation (2.6) :

p(x) = µ_tot · e−µtotx (2.22)

où µ_tot = µ_C + µ_{P P}. On peut ensuite évaluer la densité de probabilité cumulative c(x) comme suit : R1 = c(x) = Z x 0 µtot · e −µ_totx0_dx0 = 1 − e−µtotx (2.23) en inversant c(x) on obtient : x = − 1 µtot ln(1 − R1) (2.24)

La distance jusqu’à la prochaine interaction est échantillonnée par le nombre aléatoire R1 et l’équation (2.24). La prochaine étape est d’échantillonner le type d’interaction avec un deuxième nombre aléatoire R2. Si R2 < µC/µtot une interaction Compton survient, sinon il

y a production de paire. En réalité, il arrive souvent que la densité cumulative ne soit pas inversable, le cas échéant une technique de rejet est utilisée [39]. Un nombre aléatoire R1 est sélectionné pour calculer une valeur x0 = a + (b − a)R1 à l’intérieur du domaine [a, b] d’une fonction de densité f (x) normalisée. Un deuxième nombre aléatoire R2 est sélectionné et si R2 < f (x0) la valeur x est acceptée, sinon elle est rejetée. Cette technique est utilisée pour échantillonner l’énergie des particules après chacune des interactions.

La figure (2.5) résume les étapes du transport des photons par la méthode Monte Carlo. À chacune des interactions, les paramètres d’espace de phase (énergie, position, direction...) de chaque particule résultante sont stockés sur la pile pour être traités ultérieurement. Lorsque l’énergie du photon diminue sous un seuil PCUT spécifié5 _{ou que le photon quitte} la géométrie d’intérêt, son histoire est terminée.

Figure 2.5 – Diagramme montrant le processus du transport des photons par la méthode Monte Carlo. Figure basée sur A. Bielajew [38].

Le transport des électrons/positrons est beaucoup plus complexe en raison du grand nombre d’interactions [38]. Dans un code de Monte Carlo de type II 6_{, seuls les élec-} trons ayant une énergie supérieure à un seuil de production AE sont transportés et les interactions douces sont groupées en étape d’histoire condensée. Entre les interactions dures, l’énergie de l’électron décroît de façon constante selon le modèle CSDA (pouvoir collisionnel restreint) et les angles de déflection sont échantillonnés selon la théorie de la diffusion multiple de Lewis [41]. L’histoire de l’électron est finalement terminée lorsque son énergie tombe sous un seuil ECUT (ECUT ≥ AE) spécifié. Dans la limite où les étapes d’histoire condensée sont rapprochées le résultat converge exactement ce qui ralentit de plus en plus la simulation [29]. En fait, l’utilisation d’un seuil ECUT aussi connu sous le nom de technique de rejet de la portée (Range rejection) introduit une petite approxima- tion car l’électron a une très mince probabilité de créer un photon de freinage qui pourrait

transporter une partie de son énergie plus loin. L’exactitude des codes Monte Carlo utili- sant l’algorithme d’histoire condensée de classe II est de 0.1% par rapport à leurs propres sections efficaces [42].

Pour un nombre élevé d’histoires N et une variance σ2 _{sur une quantité d’intérêt (la} dose moyenne par histoire), le produit N ×σ2 est constant. Le nombre d’histoires étant directement relié au temps de simulation, l’efficacité de la simulation est définie comme suit :

 = 1

τ σ2 (2.25)

par exemple, pour réduire l’incertitude de moitié il faudra faire une simulation quatre fois plus longue [43]. Les simulations Monte Carlo étant en général très longues, plusieurs techniques de réduction de variance (VRT) ont été développées pour augmenter l’efficacité des simulations.

Deux techniques de base des VRT sont la division (splitting) des particules et la roulette russe. Une particule (photon ou électron) avec un poids wopeut être divisée en N particules qui ont chacun des poids de wo/N . Même si la contribution à la dose absorbée de chaque particule divisée est diminuée, la statistique est améliorée par leur plus grand nombre. Les particules qui n’ont pas été divisées deviennent alors lourdes (fat particles) car elles contribuent davantage au calcul de la dose. La roulette russe est en quelque sorte l’idée contraire, qui consiste à éliminer des particules existantes. Si on joue à la routelette russe avec une probabilité de survie de N , le poids de la particule survivante est ajusté à wo×

N . Ces deux idées sont souvent complémentaires. L’idée est de diviser dans les régions

importantes et de jouer à la roulette russe dans les régions qui ont peu d’importance au calcul de dose. Par exemple, on peut diviser les photons de freinage créés dans la cible de l’accélérateur. Ces photons vont créer des électrons Compton dans les mâchoires avec un poids de w = wo/N . Ces électrons ne contribueront pas à la dose absorbée, on peut donc jouer à la roulette russe avec une probabilité de 1/N ce qui redonne un poids de wo aux électrons qui ont survécu [44]. Une technique populaire avec la simulation de source d’accélérateur linéaire est la division du Bremsstrahlung directionnelle (Directional Breamsstrahlung splitting, DBS). L’utilisateur spécifie un facteur DBS qui est utilisé pour

diviser les photons Bremsstrahlung produits dans la cible. Les photons dirigés à l’intérieur des limites d’une région conique définie par l’utilisateur sont transportés normalement. Ceux dirigés vers l’extérieur sont soumis à une roulette russe avec une probabilité de 1/DBS [44]. Les photons à l’extérieur du cône ainsi que leurs progénitures deviennent donc lourds. Un bon choix de région conique est celle provenant de la projection du collimateur primaire à l’isocentre. Les simulations d’accélérateur linéaire présentées dans ce mémoire utilisent un facteur DBS de 2000 avec une région d’intérêt circulaire à l’isocentre ayant un rayon de 25.6 cm (ce qui est plus large qu’un champ 40 x 40 cm2_).