Le transport balistique dans une pointe nanométrique

Pour tenir compte les effets de transport balistique dans le cas d’une pointe nanométrique, les cartes d’absorption A_i,j,k calculées à partir du modèle FDTD (voir partie II.3) ont été modifiées en s’inspirant de ce qui a été fait dans les films minces métallique. Il faut bien noter que dans ce cas, l’énergie absorbée par la surface du matériaux est répartie en profon-deur par l’équation IV.2. Cependant quelques raffinements ont été apportés. Tout d’abord, les cartes d’absorptions tiennent compte de la profondeur de pénétration optique ; il reste à ajouter la profondeur de pénétration balistique. Ensuite, l’énergie doit être répartie dans le volume tridimensionnel d’une structure nanométrique (la pointe). En faisant l’hypothèse que le transport d’énergie par les électrons balistiques est isotrope et que les électrons balistiques n’interagissent pas avec la surface de la pointe, on peut exprimer le transport balistique par le produit de convolution de l’énergie absorbée par la pointe avec la probabilité de trouver un électron balistique à la position~r :

P_bal(~r) = e −k~rk

ςbal (IV.3)

Ainsi à la position ~r la quantité d’énergie gagnée par le système S_r~i(~r) par l’absorption du champ optique à la position ~r_i est :

S_r~i(~r) = C_r~i × Eabs ~ ri ⊗P_bal(~r) = C_r~i×^X ~ r0 Eabs ~ ri (~r)e −k_r~0−~rk ςbal (IV.4) où

– ~_r0 correspond à l’ensemble des positions accessibles appartenant à la pointe. – Eabs

~

ri (~r) =A_r~i×δ_r~i(~r)est la distribution dans le volume de la pointe de l’énergie absorbée par l’élément de volume situé enr~_i.A_ri est un scalaire représentant la quantité d’énergie absorbée en ~r_i etδ_r~i et le pic de Dirac centré sur la position r~_i (voir IV.2 (a)).

– C_r~i est un facteur de normalisation calculé de façon à conserver la quantité d’énergie absorbée par l’ensemble du système. C’est à dire que la quantité d’énergie absorbée en

82 Chapitre IV – Modélisation de la réponse thermique d’une pointe nanométrique

Figure IV.2 – Schéma explicatif de la prise en compte des effets balistiques.

En (a), la densité d’énergieA_ri absorbée en r~_i, est assimilée dans l’espace à la distribution

Eabs ~

ri (~r), correspondant à un pic de Dirac de hauteurA_ri centré en ~r_i

La prise en compte des effets balistiques revient au produit de convolution de cette distribution avec la fonctionP_bal(~r) représenté en(b). Cette fonction équivaut à la probabilité de trouver des électrons hors équilibres à la distance ~r de leurs lieux de génération. Le résultat de ce produit de convolution est égal àS_r~i(~r) présenté en (c), fonction dont l’intégrale est égale à

A_ri

Cette procédure est appliquée à l’ensemble des N volumes élémentaires constituants (d), et finalement la carte de gain d’énergie du système est égale àS_tot(~r), correspondant à la somme des N fonctions S_r~i(~r) ((e)).

~

r_i par l’unité de volume soit égale à l’énergie gagnée par le système une fois répartie par le transport balistique : E_r~^abs_i (~r=~ri) =^X ~ r Sr~i(~r) Soit C_r~i =A_r~i , X ~r    X ~ r0 Eabs ~ ri ~ r0e −k_r~0−~rk ςbal    (IV.5) Ce produit de convolution est présenté de façon schématique en IV.2. On peut noter que l’intégrale deSr~i(~r)représentée en (c)en hachurée est bien égale à Ar~i, l’énergie apportée en ~

ri est bien conservée par cette opération.

Finalement, la carte de gain d’énergie du système est obtenue en sommantS_r~i(~r)sur toutes les éléments de volumes aux positionsr~i :

S_tot(~r) =^X

~ ri

S_r~i(~r) (IV.6)

De façon schématique, S_tot(~r) est présenté en Fig. IV.2 (e), correspondant à la somme des différents produits de convolution des distributions Eabs

~

IV.2 – Transport balistique 83

P_bal(~r).

On peut appliquer cette méthode pour transformer les cartes d’absorption du champ op-tique incident obtenues en FDTD en carte de gain d’énergie du système tenant compte du transport balistique lors des tous premiers instants de l’éclairement. La procédure est la même que celle présentée schématiquement dans la Fig. IV.2 sauf que les calculs sont à effectuer dans les trois dimensions de l’espace uniquement pour les volumes élémentaires appartenant à la pointe. Cette procédure a été mise en œuvre sous une interface développée dans l’en-vironnement Matlab via l’appel d’une routine développée en C. Les différentes étapes sont présentés en Fig. IV.3. Un volume élémentaire est sélectionnés sur la carte d’absorption en

Fig. IV.3 (a) et donne la distribution Eabs ~

ri (~r) montrée en Fig. IV.3 (b). On observe en

Fig.IV.3(c)le résultat du produit de convolution. Au final, en appliquant la procédure pour chacun des volumes élémentaires constituants la pointe, et en sommant, on obtient une carte de gain d’énergie du système S_tot(~r)telle que présentée en Fig. IV.3 (d).

Le résultat présenté en Fig. IV.4 (b) a été obtenu sur une pointe d’aluminium en ap-pliquant un transport balistique de ς_bal = 46nm. Avec cette valeur de ς_bal, on conserve une taille de zone chauffée à la surface du même ordre de grandeur ainsi que les oscillations sur le manche de la pointe (voir encadré de la figure Fig. IV.3 (d)). Par contre, on apprend que dans ce cas l’énergie pénètre très vite (c’est à dire dans une gamme de temps de l’ordre de τ_th ≈ 1ps) à l’intérieur du volume de la pointe. Au final, les cartes de gain d’énergie du systèmeS_tot(~r), ainsi obtenues, sont utilisées dans la partie suivante en tant que terme source d’énergie du modèle de transfert thermique.

On pourrait discuter sur la valeur que devrait prendre la profondeur de pénétration ba-listique ς_bal. En effet celle-ci dépend de la fréquence à laquelle les collisions électron-électrons ont lieu mais aussi des interactions des électrons balistiques avec les défauts du matériaux. Il a par exemple été montré queς_bal est fortement influencé par la température du réseau, mais aussi par l’énergie des porteurs balistiques créé , donc par la longueur d’onde du laser utilisé [78, 80, 81]. Aussi parmi les défauts qui vont réduire la profondeur de pénétration balistique, on peut citer les surfaces du système irradié. Ainsi pour des films minces, la profondeur de pénétration de l’énergie est limité par l’épaisseur du film [74, 66], le même effet est observé pour des nanoparticules [82]. Dans le cas d’une pointe, la géométrie est loin d’être isotrope, mais on peut considérer que imposer une limite supérieure à ς_bal de l’ordre de grandeur du rayon de courbure (R ≈50 nm)de la pointe n’est pas une mauvaise approximation.

Dernier point de discussion possible qui a totalement été omis dans notre étude, la direc-tion du transport balistique des électrons. On a considéré en effet que celui-ci était isotrope sans autre interaction avec les surfaces que de stopper le déplacement des électrons. Il a été observé que sur des monocristaux à très basse température, le transport suit des directions cristallographiques particulières [83] .

84 Chapitre IV – Modélisation de la réponse thermique d’une pointe nanométrique

Figure IV.3 – Prise en compte des effets balistiques dans une pointe. En raison du carac-tère tridimensionnel des cartes utilisées pour les calculs, uniquement des coupes longitudinales sont présentée. L’incidence du laser se fait par le haut des images.

On extrait d’une carte d’absorption du champ optique incident par la pointe ((a) obtenue par FDTD voir en partie II.3) l’énergie absorbéeA_r0 par un volume élémentaire de la pointe situé à la positionr~0.

On assimile cette énergie absorbée à la distributionEabs ~

r0 (~r) =A_r0×δ_r~0(~r) représentée en(b) Pour prendre en compte le transport balistique de l’énergie absorbée par le déplacement des électrons hors équilibre, on effectue le produit de convolution tridimensionnel deEabs

~

ri (~r)avec la fonction P_bal(~r) (voir équation IV.4), on ne sommant que sur les volumes situés aux po-sitions _r~0 appartenant à la pointe. L’énergie absorbée en r~_i est ainsi répartie sur un volume plus grand défini par la fonctionS_r~i(~r) décrite en (c)

En répétant cette opération pour chacun des volumes élémentaires situés aux différentes posi-tions r~_i appartenant à la pointe et en sommant les différentes fonctions S_r~i(~r) obtenues, on obtient la carte de gain d’énergie de la pointe après transport balistique de l’énergie S_tot(~r) décrite en (d).