Le problème du plus court chemin non holonome

Dans ce chapitre, nous allons développer un outil qui permet de trouver des trajectoires qui respectent toutes les contraintes et qui soient les plus courtes possibles. Avant d’énoncer le problème, on va revenir sur le terrain, les UAVs et leurs caractéristiques.

3.1.1 Le terrain, les obstacles et les dangers

La mission se déroule dans un terrain donné, qui se situe dans une zone ennemie et dans des conditions météorologiques données. Cela donne lieu à la présence d'obstacles — les reliefs et les zones impossibles de navigation – et de zones de danger – les zones sous surveillance par les radars de l'ennemi. La Figure 10 montre un exemple de terrain. Dans cette figure, les polygones représentent les obstacles et les cercles représentent les zones de danger. La configuration de départ et la cible sont représentées par des points, dont

les coordonnées sont la position du véhicule, et des vecteurs qui indiquent l'orientation du véhicule en ces points.

Les vols se font à une altitude constante, et l'orientation du drone est importante pour savoir si la cible est bien visitée. Ainsi nous sommes amenés à définir la notion de configuration et de l'espace de configurations. Une configuration possible de l'avion est une position de coordonnées et et un angle donnant l'orientation du véhicule. , l'espace des configurations, est l'ensemble de toutes les configurations possibles dans le terrain visé par la mission. Ainsi l'ensemble des cibles à visiter est un ensemble de configurations, sous-ensemble de .

Figure 10 : Exemple de terrain (les polygones représentent les obstacles et les cercles les zones de danger).

Les obstacles sont des reliefs ou des zones non navigables. Ils sont définis par leur contour. Ce contour peut être approximé par une ligne polygonale en utilisant des algorithmes d'approximation de courbes fermées comme celui présenté par Kumar et al. (2004). Ainsi les obstacles seront considérés comme des polygones (convexes ou non) comme sur la Figure 10. L'ensemble des points situés dans les obstacles sera noté . Les zones de danger sont les zones sous contrôle de l'ennemi. Elles sont surveillées par des radars dont la portée est définie par un rayon donné . Ces zones seront représentées par des disques de rayon . Le drone est hors danger quand il est en dehors de ces disques. Sinon il est dans une zone de danger où la navigation est permise mais risquée car il y a une probabilité non nulle que l'ennemi détecte le drone. Ce risque est lié à la distance entre l'avion et les radars, les centres des zones de danger.

3.1.2 L'UAV et les systèmes non holonomes

Il existe deux types de systèmes en robotique (Bellaïche et al., 1998; Chitour et al., 2009) : les systèmes holonomes, qui n'ont pas de restriction sur le déplacement, tout chemin dans l'espace des configurations est un mouvement autorisé; les systèmes non holonomes, qui sont soumis à des contraintes cinématiques, les seuls mouvements autorisés sont des chemins dans l'espace de configurations tels que la dérivée de la position vérifie certaines contraintes incluant :

 contraintes d'angle maximum de braquage : les drones (UAV); robots mobiles à roues;

 contraintes de roulement sans glissement : robots mobiles à roues, manipulation par des mains robotisées;

 conservation du moment angulaire : robots manipulateurs flottants dans l’espace; satellites avec roues à inertie; robots astronautes, plongeurs, sauteurs (phase de vol);

 autres sources de contraintes non holonomes : loi de Lorentz-Wong en électromagnétisme; réduction par symétrie de cinématiques holonomes. Le drone, qui nous intéresse ici est dans la réalité un robot non holonome, il ne peut suivre n’importe quel chemin dans l'espace de configurations. Sa trajectoire doit respecter la contrainte cinématique de rayon minimum de giration qui est équivalente à la contrainte d'angle maximum de braquage :

(0)

Dans l’équation (0), représente les coordonnées du drone, représente sa direction et sont respectivement les dérivées de . Lors du vol de l’UAV, sa trajectoire est définie par une suite de commandes : la vitesse linéaire à tout instant , et l'angle de braquage à tout instant , .

3.1.3 Le problème

Une mission de surveillance dans un terrain réel contrôlé par l'ennemi est, donc, la visite de plusieurs cibles, configurations, sans rencontre d'obstacles et en évitant autant que

possible les zones de danger, les radars. C’est-à-dire en minimisant le risque ou en le gardant en dessous d’un certain seuil. La planification de cette mission nécessite de savoir à tout moment le plus court chemin réalisable entre deux configurations données. Notre problème est, alors, de déterminer la trajectoire la plus courte et la moins risquée (ou avec un risque limite) entre ces deux configurations en respectant les contraintes cinématiques de l'avion, évitant les obstacles et minimisant le temps passé dans les zones de danger, voire les éviter si cela est possible.

Les hypothèses considérées sont :

 le problème est en trois dimensions, mais vu que les vols se font à une altitude constante, on va modéliser le terrain en deux dimensions uniquement;

 une configuration du véhicule est définie par les coordonnées de l'avion et l’orientation de ce dernier qui sera modélisé par un angle , voir Figure 10;

 les obstacles sont définis par des polygones convexes ou non convexes et on suppose que les avions peuvent longer ces derniers;

 les zones de danger sont définies par des disques dont le centre et le rayon sont donnés. On considère que le radar a une portée limitée définie par ce rayon;

 la non-holonomie de la trajectoire pour notre cas, celui des avions, est définie par la contrainte cinématique, ou de manœuvrabilité de l’avion reliée à son angle limite de braquage (équation (0)). Dans la suite, elle sera caractérisée par la donnée de cet angle maximum ou par la donnée d’un rayon de courbure minimum;

 il s'agit dans notre cas d'avion et il n’y a donc pas de marche arrière permise.

Le problème est donc de déterminer le Plus Court Chemin Continu Non holonome

dans un terrain avec des Obstacles et des zones de Risque (PCCC_NH_OR).