La relaxation de la contrainte cinématique

Avec les mêmes terrains définis dans la section ci-dessus, nous avons généré les deux types de graphes complet et incomplet décrits dans la section 3.3. Le graphe complet est celui obtenu en intégrant toutes les contraintes, le graphe incomplet est celui obtenu en relaxant la contrainte cinématique. Lorsqu'on néglige cette contrainte, la discrétisation de la direction n’est plus nécessaire. Ceci réduit grandement la taille du graphe, le temps de génération de ce dernier et le temps de calcul de la trajectoire qui par suite est holonome. Ce graphe incomplet nécessite un posttraitement de la trajectoire, une correction de cette dernière pour la rendre non holonome (voir sous-section 'Correction des trajectoires holonomes'). Toutes les trajectoires holonomes ne peuvent cependant pas être corrigées! Dans notre cas celui des avions, ceci ne pose pas de problème car la distance entre les obstacles est assez grande et permet toujours une correction de la trajectoire. Dans d'autres contextes où l'espace entre les obstacles est très réduit cela pourrait être impossible.

Le Tableau 6 présente les résultats des deux modélisations. La Figure 22 illustre la différence entre les deux graphes pour le cas du terrain Map06. Le gain pour la génération du graphe, en termes de temps pour la modélisation du terrain, est énorme. Le rapport de réduction du temps de calcul entre la génération d'un graphe complet et celui

d'un graphe incomplet est supérieur à 10. Regardons maintenant l'impact sur le calcul de la trajectoire. Nous prendrons comme exemple celui du terrain Map06.

Tableau 6 : Comparaison de la génération d'un graphe complet (avec la contrainte de non-holonomie) versus un graphe incomplet (sans la contrainte de non- holonomie).

Terrain Graphe complet Graphe incomplet

Nb

Nœuds Nb Arcs Temps pour la génération du graphe

Nb

Nœuds Nb Arcs Temps pour la génération du graphe Map01 127 417 9.036 15 54 0.90942 Map02 121 622 10.206 14 82 0.64772 Map03 345 2274 78.095 36 262 5.0275 Map04 381 2344 89.189 40 270 5.8922 Map05 512 2576 131.646 54 292 9.0658 Map06 771 3987 262.914 81 502 19.4589 Map07 761 9818 513.757 81 1072 49.8323

Tableau 7 : Comparaison des deux modélisations (des deux graphes) avec la formulation 1 (risque dans l'objectif).

Poids du Risque

PCC Val

après (et avant) correction

PCC

Risque Temps pour le calcul du chemin Temps pour la correction Total Graphe incomplet 0,01 105,1188 (99,22) 21,9882 0,10521 0,27625 0,3815 0,1 106,4828 (99,51) 0 0,025359 0,045138 0,0705 1 106,4828 (99,51) 0 0,017966 0,032927 0,0509 10 106,4828 (99,51) 0 0,013964 0,034538 0,0485 100 106,4828 (99,51) 0 0,015284 0,033666 0,0490 Graphe complet 0,01 106,5748 (- -) 30,627 0,21677 0 0,2168 0,1 106,5748 (- -) 30,627 0,21147 0 0,2115 1 114,6041 (- -) 22,5263 0,21349 0 0,2135 10 141,0835 (- -) 0 0,14674 0 0,1467 100 141,0835 (- -) 0 0,13 0 0,1300

D'après les tableaux, Tableau 7 et Tableau 8, et les figures, Figure 25 et Figure 26, on constate que la relaxation accélère le calcul de la trajectoire aussi (voir colonne total); et ce pour les deux formulations. De plus les résultats sont de meilleure qualité que ceux obtenus avec le graphe complet. Ceci est dû à la limitation au niveau de la discrétisation de l'angle . Sur la Figure 26 (résultats avec un graphe incomplet) nous avons une meilleure trajectoire (celle en pointillé sur la Figure 26, elle est associé au risque limite 5 dans la Figure 26b et au poids 1 dans la Figure 26a) la plus courte et sans risque. Dans la modélisation avec graphe complet, Figure 25, nous ne trouvons pas cette solution, pour l'avoir il faudrait affiner la discrétisation de la direction . Dans notre exemple une discrétisation en 100 valeurs de la direction (ce qui multiplie la taille du problème de la Figure 25 par 10) permet d'avoir cette même solution.

Tableau 8 : Comparaison des deux modélisations (des deux graphes) avec la formulation 2 (risque dans la contrainte).

Risque

limite PCC Val après (et avant) correction

PCC

Risque Temps pour le calcul du chemin Temps pour la correction Total

Graphe incomplet 100 105,1088 (99.22) 21,9882 0,018946 0,039043 0,0580 50 105,1088 (99.22) 21,9882 0,018452 0,057801 0,0763 5 106,4828 (99.51) 0 0,014079 0,032608 0,0467 1 106,4828 (99.51) 0 0,014579 0,033729 0,0483 0,5 106,4828 (99.51) 0 0,093619 0,27042 0,3640 Graphe complet 100 106,5748 (- -) 30,627 0,22052 0 0,2205 50 106,5748 (- -) 30,627 0,20958 0 0,2096 5 140,9467 (- -) 3,757 0,14427 0 0,1443 1 141,0835 (- -) 0 0,13032 0 0,1303 0,5 141,0835 (- -) 0 0,13285 0 0,1329

La relaxation de la contrainte de cinématique a beaucoup d'avantages : le graphe est plus petit, ce qui réduit le temps de calcul et on évite également le problème de la boucle, comme celle détectée dans la Figure 25a. La relaxation permet de bien trouver toutes les bonnes opportunités de réduction de la longueur de la trajectoire. Cependant si la distance entre les obstacles est très petite cette relaxation ne nous garantit pas une bonne solution et on risque même de générer des trajectoires qu'on ne peut pas corriger!

Par contre, la modélisation incluant cette contrainte, celle du graphe complet, a un défaut majeur : le temps de calcul est plus important, principalement le temps pour la génération du graphe. Néanmoins, avec une bonne finesse de la discrétisation de la direction on aura les meilleurs résultats si on est prêt à sacrifier beaucoup de temps dans la génération du graphe. Dans notre cas, celui de la planification d'une mission, la modélisation du terrain en graphe ne se fait qu'une fois lors de la préparation de la mission. Donc nous pouvons nous permettre une grande charge de calcul pour la préparation du terrain du moment qu'on dispose d'assez de mémoire pour stocker le graphe.

Aussi, et de façon globale, nous remarquons que plus on augmente notre tolérance au risque, plus la procédure nous propose des solutions qui traversent les zones de danger. Ceci est vrai quelque soit la formulation ou le type de graphe utilisé.

Figure 26 : Trajectoire optimale obtenue sur le terrain Map06 selon les deux formulations et en utilisant un graphe incomplet (c.-à-d. en relaxant la contrainte cinématique).

3.5 Conclusion

La conclusion de ce chapitre est que nous n'avons pas besoin des points du plan encerclés sur la Figure 13 pour calculer la trajectoire optimale. La trajectoire optimale est soit une courbe, de Dubins, joignant directement le départ à la cible, soit une courbe qui est tangente aux obstacles. Le maillage du terrain n'est pas nécessaire et n'apporte rien de plus à la qualité de la solution. Nous remarquons aussi que les obstacles non convexes augmentent le temps de génération du graphe de 80 %

De plus les résultats numériques indiquent que les deux formulations sont équivalentes du moment que le seuil du risque limite est équivalent au poids utilisé dans la première formulation. Les trajectoires sont identiques excepté quelques cas. La performance des deux implémentations est quasiment la même excepté un léger et petit avantage de la formulation 1 avec le risque dans la contrainte.

Un autre résultat important est que la modélisation avec le graphe incomplet permet de gagner énormément de temps de calcul sans perdre en qualité, on y gagne même dans certains cas. Cependant ce graphe nécessite une correction de la trajectoire qui n’est pas réalisable pour tous les types de problèmes.