Le mod`ele g´eom´etrique inverse calcule les coordonn´ees articulaires `a partir de la position et de l’orientation de l’organe terminal du robot. Ainsi, ´etant donn´e Tn0, nous cherchons alors `a calculer q = (q1. . . qn−1)T.
La solution de ce probl`eme est d’une importance fondamentale dans le but de transformer les sp´ecifications de mouvement attribu´ees `a l’effecteur dans l’espace op´erationnel, aux mouvements correspondant dans l’espace articulaire qui permettent l’ex´ecution du mouvement d´esir´e.
Il n’existe pas de m´ethode syst´ematique d’inversion du mod`ele g´eom´etrique. La forme explicite, lorsqu’elle existe, de cette inversion exprim´ee analytiquement, donne un ensemble de solutions possibles au probl`eme inverse. Elle constitue le mod`ele g´eom´etrique inverse.
Si une forme explicite n’existe pas, nous pouvons calculer une solution particuli`ere du probl`eme inverse par des proc´edures num´eriques qui fournissent une solution locale au sens o`u elles d´ependent des conditions initiales. Notons que de telles m´ethodes sont p´enalisantes du point de vue temps de calcul.
Comme vu dans l’´equation du mod`ele g´eom´etrique direct (1.13), la matrice repr´esentant la pose de l’organe terminal Tn0 est calcul´ee d’une mani`ere unique une fois que les variables articulaires sont connues. Par contre, le probl`eme du mod`ele g´eom´etrique inverse est beaucoup plus complexe pour les raisons suivantes :
– les ´equations `a r´esoudre sont en g´en´eral non lin´eaires, et donc il n’est pas toujours possible de trouver une solution analytique ou forme explicite,
– plusieurs solutions peuvent exister, en nombre fini ou infini, comme dans le cas d’un robot redondant,
– il peut n’y avoir aucune solution faisable (position atteignable), compte tenu de la structure cin´ematique du manipulateur,
– l’existence de solutions n’est garantie que si la position donn´ee de l’organe terminal appartient `
a l’espace de travail du manipulateur,
– l’existence de limites des articulations m´ecaniques peut ´eventuellement r´eduire le nombre de solutions admissibles pour la structure r´eelle.
D’autre part, il est difficile de trouver des solutions analytiques. Dans tous les cas, il est alors appropri´e d’appliquer des techniques de r´esolution num´erique. Celles-ci ont clairement l’avantage d’ˆetre applicable `a toute structure cin´ematique. En g´en´eral, elles ne permettent pas de calculer toutes les solutions admissibles.
Consid´erons le robot d´ecrit par la matrice de transformation suivante :
Tn0(q) = T10(q1) × T21(q2) . . . Tnn−1(qn). (1.14)
matrice homog`ene U0 = sx nx ax Px sy ny ay Py sz nz az Pz 0 0 0 0
, le probl`eme d’inversion consiste `a r´esoudre le syst`eme
d’´equations suivant :
T10(q1) × T21(q2) . . . Tnn−1(qn) = U0, (1.15) permettant de d´eterminer les solutions des variables articulaires q1, . . . , q6.
P
Figure 1.8 – Robot Manipulateur [Spo05]
1.4.1 M´ethode de Paul (analytique)
En g´en´eral, les robots manipulateurs poly-articul´es ont des cin´ematiques qui peuvent ˆetre dis- soci´e en deux parties. Une structure porteur dite « Bras »compos´ee des trois premiers articulations et d’un poignet sph´erique `a 3 axes concourants, les trois derniers axes (cf.figure 1.8), pour lesquels la plupart des distances ai di et ri sont nulles et les angles αi et θi sont ´egaux `a 0 ou π/2. Les trois axes cons´ecutifs du poignet se croisent en un point commun P . Ainsi, la r´esolution de (1.15) peut ˆ
etre divis´ee en deux sous-syst`emes. Le premier concerne l’obtention de q1, q2 et q3 connaissant la position de P et le second concerne le calcul de q4, q5 et q6 en fonction de l’orientation de l’organe terminal [Pau81].
Equation de position
partie position de (1.15) : Px Py Pz 1 = T10× T21× T32× T43× 0 0 0 1 . (1.16)
Nous obtenons alors les valeurs des variables q1, q2, q3 en pr´e-multipliant successivement ces ´
equations par T0
j, j = 1, 2, 3 ; et ceci afin d’isoler et de d´eterminer de mani`ere s´equentielle les trois premi`eres variables articulaires.
Equation d’orientation
L’´equation correspondant `a la partie orientation de (1.15) s’´ecrit :
h S N A i = A06(q). (1.17) Soit encore, A30(q1, q2, q3) × h S N A i = A36(q4, q5, q6). (1.18)
Afin de simplifier l’´ecriture de cette ´equation, on pose :
h F G H i = A36(q4, q5, q6). (1.19) La matrice h F G H i
est connue sachant que les param`etres q1, q2, q3 ont ´et´e pr´eablement d´etermin´es. Aussi, on obtient successivement les param`etres q4, q5, q6 en pr´e-multipliant successive- ment l’´equation pr´ec´edente par A43, puis parA54.
1.4.2 Les rep`eres standards
Pour d´eterminer le mouvement de l’organe terminal du robot dans l’espace cart´esien, il est n´ecessaire de d´efinir quatre rep`eres (cf.figure 1.9). Le premier rep`ere est le rep`ere de base Rb li´e `a la base du robot. Le second rep`ere est le rep`ere flasque Rf li´e `a l’axe 6 du robot. Le troisi`eme rep`ere est li´e `a l’organe terminal utilis´e : il est nomm´e le rep`ere outil, not´e Rt. Le dernier rep`ere le rep`ere objet est li´e `a la pi`ece ou au support pi`ece. Il est d´efini par rapport au rep`ere de base et not´e Rs.
Rb
Rt
Rf
Rs
Rg
Figure 1.9 – Illustration des d´efinitions des rep`eres outil et table par rapport au rep`ere de base Une fois les rep`eres Rt et Rs d´efinis, l’op´erateur peut commander une trajectoire d´esir´ee en donnant simplement une s´erie de rep`eres cibles Rg d´efinies par rapport au rep`ere table Rs. Le contrˆoleur du robot calcule alors les angles des articulations pour d´eplacer le rep`ere outil Rt de sa position initiale jusqu’`a ce qu’il co¨ıncide avec le rep`ere cible Rg `a la fin du mouvement. Le mod`ele g´eom´etrique inverse est ensuite calcul´e de la fa¸con suivante : ´etant donn´ee la pose d´esir´ee Tgs exprim´ee dans le rep`ere table Rs, les d´efinitions de l’outil et de la table, Tgs= Tts sont utilis´ees pour calculer la position du flasque par rapport `a la base de robot, Tb
f.
Tfb= TsbTts(Ttf)−1. (1.20)
Le mod`ele g´eom´etrique inverse prend Tfb comme entr´ee. Il permet de calculer le vecteur de position articulaire q = (q1. . . q6)T. Il est `a noter que dans le cas des robots poly-articul´es avec six axes de rotations le MGI donne huit solutions.