Le job-shop avec transport : présentation

2.1.

Définitions et notations

On considère un problème ℘ de job-shop avec transport et plusieurs robots. On dispose de m machines pour réaliser le traitement de n jobs. Le système est muni d’un ensemble de k robots qui réalisent les opérations de transport/manutention. Le job-shop avec transport consiste à ordonnancer l’ensemble des n jobs sur l’ensemble des m machines, les jobs étant transportés entre les différentes machines par les k robots transporteurs. Chaque job Ji est composé de ni opérations notéesOi,1, Oi,2,…, Oi,n_i à réaliser dans un ordre donné (contraintes de précédence), appelé la « gamme du job » : Oi,1→Oi,2→...→Oi,n_i. Chaque opération Oi,j du job Ji doit s’exécuter sur la machine µi,j sans préemption pendant une duréepi,j>0. Chaque machine ne peut exécuter qu’une seule opération à la fois. On considère que chaque machine dispose de stocks (buffers) illimités d’entrée/sortie.

De plus, on prend en compte le transport entre deux machines. Soit deux opérations successives Oi,k et Oi,(k+1) d’un même job exécutées sur deux machines µi,k et µi,k+1. Entre ces

deux opérations a lieu le transport du job entre le stock de sortie de la machine µi,k et le stock d’entrée de la machine suivanteµi,k+1. La durée du déplacement à charge du robot r de la

machine µi,k vers la machine µi,k+1 est donnée par

r k i k i t 1 , ,,µ +

µ . Chaque robot ne peut transporter

qu’un seul job à la fois. Entre deux déplacements à charge le robot se déplace à vide de la machine i vers la machine j. Ce temps de déplacement à vide est donné par r

j i v_, . On suppose que v_ir_,i=0 et r j i r j i v

t_, ≥ _, pour chaque robot r.

Ainsi, chaque job Ji a un instant donné peut être soit : (i) traité par une machine ; (ii) transporté par un robot ; (iii) dans le buffer d’entrée d’une machine ; (iv) dans le buffer de sortie d’une machine.

Les jobs attendent dans les buffers de sortie des machines la disponibilité des robots qui leurs sont affectés. De même les jobs déposés sur les machines doivent attendre dans les buffers d’entrée la disponibilité de la machine pour être traités. On note que l’ordre d’arrivée des jobs peut différer de l’ordre d’exécution par les machines et les robots. Les temps de transport satisfont l’inégalité triangulaire et les temps de chargement (respectivement déchargement) sont inclus dans les temps de déplacement. Toutes les variablespi,j,

r j i t_, , v_ir_,j,

{ }

C_j, =1K étant la date fin de la dernière opération, sont supposées être des variables entières et non négatives.

D’après la notation α / β / γ le problème étudié peut être noté JR tk,l,tk',lCmax (nous

invitons le lecteur à consulter Knust (1999) pour plus d’informations concernant la complexité des problèmes d’atelier avec transport). Dans cette notation, J est utilisé pour spécifier qu’il s’agit d’un problème de job-shop ; R qu’il s’agit d’un nombre limité de robots identiques ; tk,l

Chapitre III : Le problème de job-shop avec transport 97

indique que les temps de transports ne dépendent pas des jobs mais de l’emplacement des machines et t'k,l indique que les déplacements à vide dépendent de la topologie de l’atelier et des robots, le critère à optimiser est la minimisation du temps de fin de la dernière opération dans le système appelé makespan Cmax.

Pour ce qui nous concerne, les robots peuvent être différents dans le sens où leurs vitesses de déplacement pour le même job et le même déplacement peuvent être différentes. L’utilisation des robots identiques est un cas particulier de notre problème.

2.2.

Etat de l’art

De nombreuses études tendent à inclure le transport, lors de la modélisation et de la résolution des problèmes d’ordonnancement, en se ramenant à des problèmes de flow-shop ou de job-shop. Le problème du job-shop avec transport a été, pour la première fois, formalisé par Knust (1999) et étudié dans le cas d’un seul robot dans Hurink et Knust (2002), Hurink et Knust (2005). Plusieurs travaux proposent des contraintes additionnelles pour prendre en compte le transport. Dans Strusevich, (1999) les auteurs supposent qu’il existe un décalage (lag) connu et déterministe entre la fin d’une opération et le début de l’opération suivante d’un même job. Ce décalage (lag) entre deux opérations consécutives du même job est appelé temps de transport. Cependant, il est considéré que le moyen de transport est toujours disponible. D’autres études prennent en compte le fait qu’un transporteur ne peut déplacer qu’un seul job à la fois dans le contexte d’un flow-shop Hurink et Knust (2001) et dans le cadre du job-shop avec transport Hurink et Knust (2002), Hurink et Knust (2005) où les auteurs introduisent une modélisation sous la forme d’un graphe disjonctif avec deux types de nœuds : des nœuds représentant des opérations sur les machines et des nœuds représentant les opérations de transport. L’étude des problèmes d’ordonnancement incluant les opérations de transport dans les flow-shops a fait l’objet d’une attention particulière ces dernières années et un état de l’art est proposé dans Crama et al., (2000). Ces articles traitent plus particulièrement de problèmes avec un unique transporteur et prennent en compte le transport à charge ainsi que le transport à vide. Kise (1999) a démontré que la minimisation du makespan dans un flow-shop à deux machines, avec temps de transport et un unique transporteur est déjà un problème NP-Difficile. D’autres résultats de complexité sont proposés dans Hurink et Knust (2001). King et al., (1993) propose un algorithme de Branch and Bound pour un problème de flow-shop avec un unique transporteur.

Langston (1987) propose des heuristiques pour la résolution de flow-shop flexible à deux étages et temps de transport inter-étages. Brucker et al, (2003), Nowicki (1999) ont introduit des graphes disjonctifs pour le flow-shop avec stocks de capacité limitée et ont proposé des méthodes de résolution. A notre connaissance, les seuls travaux concernant le job-shop avec un unique transporteur et des contraintes de capacité sur les stocks avec la politique de gestion PAPS sont ceux de Caumond et al., (2009) où les auteurs proposent un modèle linéaire mixte dont la résolution directe permet d’obtenir les solutions optimales d’instances ayant 5 jobs soit environ 111 opérations à ordonnancer.

Un problème similaire est le problème d’ordonnancement dans les systèmes flexibles de production avec plusieurs transporteurs identiques. Ce problème d’ordonnancement introduit pour la première fois en 1993 par Ulusoy et Bilge Bilge et Ulusoy (1993) a fait l’objet de plusieurs publications dans la littérature Bilge et Ulusoy (1995), Bilge et al., (1997), Abdelmaguid et al., (2004), Deroussi et al., (2008). Le job-shop avec transport et plusieurs robots différents est traité dans Lacomme et al., (2007), Lacomme et al., (2008) et Lacomme et al., (2010). La section

Chapitre III : Le problème de job-shop avec transport 98

suivante présentera une modélisation mathématique du problème du job-shop avec plusieurs transporteurs.