Le cas α-harmonisable et DSP fractionnaire

Très souvent, nous ne pouvons conclure simplement sur la loi a posteriori de sj| x. Nous avons vu que cette

loi a posteriori reste gaussienne dans le cas d’un modèle gaussien, mais ce résultat ne se généralise pas dans le cas α−stable, sauf pour certains cas dont les hypothèses ne sont pas adaptées aux modèles proposés dans le cadre du traitement du signal (voir par exemple [153, chap.4]). Alternativement, en utilisant minutieusement l’équation (1.7) reliant l’espérance d’une variable aléatoire et sa fonction caractéristique, nous pouvons en déduire le théorème suivant démontré dans [13] :

Théorème 3.1.1. Soit des variables aléatoires x et s₁, . . ., sJcomme mentionnées ci-avant dans (3.16) et

(3.17). Alors, l’espérance a posteriori E sj | x



est donnée par la relation pour tout α > 1 :

E sj | x  = σ α j Í jσjα x. (3.19)

Ainsi, l’équation (3.19) permet de généraliser le filtrage de Wiener classique du cas gaussien à un α quelconque. En effet, en posant α = 2, on retombe exactement sur la moyenne a posteriori de (3.5). Grâce à l’équation (3.19), nous sommes en mesure de proposer une méthode de filtrage pour les processus α−harmonisables généralisant celle appliquée sur des processus gaussiens SSL.

3.1.4

Le casα-harmonisable et DSP fractionnaire

Considérons s1= (s1( f, t))( f ,t)∈ F×T, . . ., sJ= (sJ( f, t))( f ,t)∈ F×T , des représentations spectrales de signaux audiofréquences monophoniques. Modélisons-les comme étant des processus α−harmonisables décrits à la définition 2.3.3 page 21. D’après le théorème 2.3.3 page 21, nous pouvons considérer pour tout j un échantillonnage vectoriel sj,τωoù τ ⊂ T et ω ⊂ F . De plus, les marginales de chaque vecteur sj,τωsont des variables indépendantes et suivant une loi SαSc. Autrement dit :

∀ ( f , t), sj( f, t) ∼ SαScσα_j ( f, t) , (3.20) avec les paramètres σαj ( f, t) appelés DSP fractionnaire [118]. La stabilité par somme de variables

aléatoires isotropes entraîne par ailleurs que le mélange x ( f , t) =Íjsj( f, t) est également isotrope :

∀ ( f , t), x ( f , t) ∼ SαSc Õ j σα j ( f, t) ! . _(3.21)

Comme les sources sj sont indépendantes, nous pouvons employer le théorème 3.1.1 afin de fournir une méthode de filtrage : ∀ ( f , t), E sj( f, t) |x ( f , t) = σα j ( f, t) Í jσαj ( f, t) x ( f, t) . _(3.22)

Cette espérance a posteriori, proche de celle gaussienne en (3.14), est appelée filtrage α−Wiener [118]. Elle étend ainsi le filtrage de Wiener classique au cas de la théorie α−stable.

Interprétons l’apport du filtrage α−Wiener en (3.22) par rapport au filtrage 2−Wiener en (3.14). Rappelons que dans le cas gaussien, nous supposons que la DSP est approchée par le spectrogramme de puissance (voir la sous-section 2.2.2 page 18) pour tout ( f , t) :

∀ ( f , t), |x ( f , t)|2_'σ2( f, t)

3.1. Séparation de processus gaussiens ₂₇ avec σ2( f, t) = J Õ j=1 σ2 j( f, t) (3.24)

L’approximation naturelle proposée est alors de supposer que le spectrogramme de puissance du mélange est la somme des spectrogrammes de puissance de chaque source [119, 52, 127] :

∀ ( f , t), |x ( f , t)|2_' J Õ j=1  sj( f, t)2. _(3.25)

A contrario, d’autres recherches visant à l’amélioration de la qualité de séparation adoptent heuristique- ment l’hypothèse suivante [163, 22]

∀ ( f , t), |x ( f , t)|α' J Õ j=1  sj( f, t) α_, (3.26)

où {| x ( f , t)|α}f ,t a été dénommé plus tard α−spectrogramme du mélange dans [118]. Nous voyons que de manière similaire au modèle gaussien, l’égalité (3.24) se généralisant à

σα( f, t) =

J

Õ

j=1

σα_j ( f, t) (3.27)

sous-entend de considérer le modèle SαSc en (3.20) et (3.21). Les paramètres d’échelles σα( f, t) sont alors appelés DSP fractionnaire [118]. Il devient légitime de se demander quelle approximation entre (3.25) et (3.26) est la plus justifiée ? Les expériences menées dans [118] ont alors considéré le critère

∀ ( f , t), Lα( f, t) =       | x ( f, t)|α− J Õ j=1  sj( f, t) α       1/α (3.28)

pour α ∈]0, 2], appelé α−dispersion. Également, les divergences de Kullback-Leibler DK Let d’Itakura- Saito DI Sci-dessous ∀u, v, DK L(u | v)= uln _u v  − u+ v (3.29) ∀u, v, DI S(u | v)= u v− ln u v  − 1 (3.30)

ont été calculées. Souvent utilisées dans le cadre de la séparation audio [51, 54], ces divergences sont des outils pratiques afin d’évaluer l’erreur entre deux distributions. En particulier, il est connu que la divergence d’Itakura-Saito apparaît naturellement lors de la résolution du maximum de vraisemblance d’un modèle probabiliste gaussien. La partie sur l’estimation des paramètres sera davantage développée dans le chapitre suivant.

L’expérience faite a été alors de considérer huit œuvres musicales différentes 4 tirées de phonogrammes aux styles musicaux variés. Chaque morceau est décomposé en plusieurs pistes (percussions, guitares, basse et chant) monophoniques. Les α−spectrogrammes sont alors calculés pour chaque piste, indiquant les valeurs {| x ( f , t)|α}f ,t et

 sj( f, t)

α

f ,t. Les trois divergences des équations (3.28),(3.29) et (3.30)

sont alors évaluées.

Il a été observé que les divergences sont minimales pour α proche de 1.2. En conséquence, cela induit qu’en pratique l’approximation (3.26) semble plutôt justifiable dans un cadre non-gaussien et donc a fortiori souligne l’importance de considérer les processus α−harmonisables pour différents problèmes de séparation.

Chapitre 4

Séparation de sources sonores :

estimation des paramètres

Résumé

Les chapitres précédents visaient à présenter, dans le cas des modèles α−stables, différentes méthodes de séparation. En général, les paramètres du modèle sont inconnus. Il est alors naturel que l’étape suivante soit celle de l’estimation des paramètres. Autrement dit, connaissant les observations, comment estimer les paramètres du modèle probabiliste considéré ? Pour ce faire, nous présentons dans un premier temps le contexte probabiliste dans lequel nous nous plaçons pour la séparation des sources sonores. Ensuite, nous exposerons dans le cas de modélisation α−stables la façon dont les paramètres de ces derniers sont estimés. Notamment, nous introduirons un modèle paramétrique très courant en apprentissage automatique appelée nonnegative matrix factorization (NMF). Dans le cas de l’audio, cet algorithme permet de décomposer en rang faible une matrice renseignant l’activation au cours du temps de « motifs spectraux » comme suit : l’une dépendant de la fréquence et l’autre dépendant du temps.

4.1

Paradigme pour la séparation de sources sonores

Considérons en premier lieu un signal observé. Couramment dans le cadre du traitement du signal audio, l’acquisition se fait à l’aide d’un ou plusieurs microphones. Par exemple, plusieurs personnes pratiquant simultanément un instrument de musique sont enregistrées et les données numérisées sont sauvegardées. Les acquisitions numériques fournissent alors un nombre fini de données. Contrairement à des acquisitions analogiques, les données numériques ne sont pas « continues ». Dans les modèles que nous considérons dans ce manuscrit, nous négligeons cet aspect discret.

De cette supposition, on en déduit que les signaux observés sont des échantillons d’une réalisation par- ticulière d’un processus stochastique. Comme une variable aléatoire, un vecteur aléatoire ou un processus stochastique admet dans un certain nombre de cas une loi caractérisée entièrement par un ou plusieurs paramètres (e.g. la variance et la moyenne pour une variable aléatoire gaussienne). Il suffit alors d’estimer ces paramètres pour en déduire la valeur d’un signal recherché. C’est également l’un des aspects parti- culiers des distributions α−stables : l’estimation des paramètres impliquerait une méthode de séparation. Le but de cette estimation est d’arriver à inférer les paramètres Θ relatifs aux sources individuelles, à partir de l’observation du mélange x seulement. On dit alors que le modèle probabiliste pris en compte est paramétrique. Le paradigme pour la séparation de sources sonores (SSS) est le suivant :

1. Choisir un modèle probabiliste sur les sources désirées, paramétré par Θ. 29

Figure 4.1 – Paradigme classique pour la séparation des sources sonores dans un cadre Bayésien.

2. En supposant les sources s et les paramètres Θ connus, en déduire un modèle applicable au mélange x.

3. En supposant les données observées x, estimer les paramètres Θ.

4. En supposant les données observées x et les paramètres Θ connus, extraire les sources s.

Ce schéma est résumé sur la Fig 4.1. Les procédés présentés dans [31, 175] sont l’essence même de tout algorithme utilisé en séparation de sources sonores (SSS) et faisant usage d’un modèle probabiliste. Dans les modèles vus au chapitre 3 page 23, nous considérions simplement que les observations x étaient la somme de chaque source souhaitée. Grâce à la stabilité par somme des modèles choisis, les lois probabilistes étaient simplement conservées et induisaient alors une méthode de séparation (ou filtrage) relativement simple. Les points 1, 2 et 4 pour un processus α−stable dans le cadre de la SSS ont donc été présentés dans le chapitre précédent. Le troisième point fera l’objet de ce chapitre, traitant de l’estimation des paramètres et des modèles pouvant être mis en place sur ces derniers.