Cas limite quand α → 2

Il est alors possible d’estimer les wjk en mettant à jour successivement les équations de (11.33) à (11.37). Cette méthode de Filtrage via une Minimisation de la Covariation (α−FMC) est résumée via l’algorithme 7. À nouveau, les calculs d’intégrales appartenant respectivement aux équations (11.33), (11.36) et (11.37) seront calculés, via la discrétisation de l’équation (9.7) :

Algorithme 7α−FMC : Filtrage via une Minimisation de la Covariation.

1. Entrées • Observation x de dimension K • Partition régulière Θ = {Θ1, . . ., ΘP} de S K • Exposant caractéristique α ∈]1, 2[ • Mesures spatiales Γj

• Nombre d’itérations pour la mise à jour 2. Initialisation

• _{∀ j, k, w}jk=1_Jek

• _{∀ j, k, les entrées P}j,k sont indépendamment tirés selon une distribution gaussienne centrée réduite

• _{∀k, λ}k= 0

3. Mises à jour de Pjk, wj,ketλk

• _{∀ j, k, mettre à jour P}jkcomme dans (11.33) • _{∀k, mettre à jour λ}kcomme dans (11.37) • _{∀ j, k, mettre à jour w}jkcomme dans (11.36) 4. Reconstruction : ∀ j, k, ˆyjk= wjk, x

Intéressons nous au cas « presque » gaussien quand α → 2.

11.3.3

Cas limite quandα → 2

En raison de la non-unicité des mesures spatiales dans le cas gaussien, la méthode proposée dans la sous-section 11.3.2 n’est valable que pour α ∈ ]1, 2[. Nous pouvons néanmoins nous intéresser au

comportement de la méthode de filtrage proposée lorsque α → 2 dans les mises à jour (11.33) et (11.37). En premier lieu, l’équation (11.33) se transforme comme

∀ j, k, Pjk= P =

∫ θθ?_Γ

x(dθ), (11.38)

où P devient la matrice de covariance du mélange x. En effet, si on utilise la fonction caractéristique ϕx

représentée via l’équation (9.2), nous avons ∀u ∈ KK, ϕx(u)= exp

 − ∫ |hu, θi|2_Γ x(dθ)  = exp  − ∫ u?θ u?θ
?Γ_x(dθ)  = exp  −u? ∫ θθ?_Γ x(dθ)  u  = exp −u?Pu
_, (11.39) qui est la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien de matrice de covariance P. Par ailleurs, il est clair que P =ÍjPj, où Pj est la matrice de covariance de la jeme` composante. Contrairement à (11.38), les matrices Pjsont calculées contre la mesure spatiale Γj:

Pj=

∫ θθ?_Γ

j(dθ) . (11.40)

Nous observons alors que le vecteur rjk dans (11.34) devient la keme` colonne de la matrice Pj. Donc, chaque λk= 0 et

∀ j, k, wjk= P−1rjk. (11.41) Finalement, en réinjectant l’équation (11.41) dans l’estimateur ˆyjk= wjk, x, nous avons l’estimateur

linéaire ∀ j, ˆyj = Pj Õ j0 Pj0 !−1 x (11.42)

correspondant exactement au filtrage de Wiener multicanal. La différence réside dans le fait que (11.42) exploite les mesures spatiales Γj pour le filtrage. Ceci montre que le filtre proposé dans ce chapitre généralise le filtre de Wiener multicanal dans le cas α−stable. À noter que comme α < 2, l’expression Pj= E

h

y_jy?_ji n’existe pas, car il s’agit d’un moment d’ordre 2. Néanmoins, il est très intéressant que (11.38) et (11.40) restent valables et calculables quel que soit α ∈ ]1, 2[, mettant en scène un filtrage

ad-hoc. Par abus de notation, nous appelons cette méthode α−Filtrage de Wiener Multicanal (α−FWM).

L’algorithme 8 résume α−FWM. Les intégrales de l’équation (11.40) seront calculées en utilisant la discrétisation esquissée en (9.7) :

Algorithme 8α−FWM : α−Filtrage de Wiener multicanal.

1. Entrées

• Observation x de dimension K

• Partition régulière Θ = {Θ1, . . ., ΘP} de SK

• Mesures spatiales Γj

2. Estimation des « matrices de covariances » • Calcul des Pj dans (11.40)

3. Reconstruction : ˆyj = Pj  Í j0P_j0 −1 x

Chapitre 12

Évaluation des performances

Nous comparons les performances des algorithmes α−Filtrage de Wiener Multicanal (α−FWM), Fil-

trage via l’estimation du Spectre Spatial (α−FSS) et Filtrage via la Minimisation de la Covariation

(α−FMC). Toutes les évaluations supposent connues les mesures spatiales. En effet, nous souhaitons évaluer les méthodes dans un contexte « oracle » et ainsi dans un premier temps mesurer le « pouvoir séparateur » de chaque algorithme, ses paramètres étant connus. Nous considérons plusieurs scénarios de séparation. Tout d’abord, nous envisageons la séparation de 2 vecteurs α−stables dont les mesures spatiales sont des Von-Mises Fisher avec des modes choisies plus ou moins proches. Plus le recou- vrement entre les densités est grand, plus dur sera la séparation. Ensuite, nous évaluons comment se comporte l’erreur en fonction du nombre de composantes. Enfin, 4 vecteurs α−stables avec des mesures

spatiales davantage complexes sont considérées, dans le but de se rapprocher d’un scénario classique

de séparation de 4 sources sonores.

12.1

Méthode de filtrage, hypothèses et score d’erreur

Pour évaluer les travaux de la partie III, nous comparons les trois algorithmes suivants :

α−FMC _{L’algorithme 7 résume cette technique de filtrage. Inspirée du filtrage de Wiener minimisant} l’erreur quadratique moyenne (EQM) entre sources et estimées, cette technique de filtrage linéaire minimise son pendant en α−stable : la norme de covariation. La méthode se résume alors par la mise à jour des paramètres. Nous considérons 50 itérations pour les mises à jour. α−FWM Explicité dans la sous-section 11.3.3 page 97 et plus précisément dans l’algorithme 8 , cette méthode est un cas particulier de α−FMC, quand α → 2. Elle est équivalente au filtrage de Wiener multicanal, mais exploite la connaissance des mesures spatiales pour le calcul des covariances.

α−FSS _{est décrit dans l’algorithme 6 et dans le chapitre 10 page 81. Cette méthode estime directement} le spectre spatial et fournit un algorithme de séparation non linéaire.

Dans toutes les évaluations qui suivent, nous supposons connues les densités spatiales Γj. Notons qu’un tel cas d’évaluation oracle est parfois considéré dans le cas Gaussien [39, 119]. L’évaluation sera ici concentrée sur des données synthétiques. Nous employons l’algorithme 5 page 76 pour construire des échantillons issus d’une loi SαScK. La procédure d’évaluation sera la suivante :

1. Générer des réalisations de chaque vecteur yj∼ SαScK Γj
grâce à l’algorithme 5. 99

2. Sommer les réalisations pour obtenir des échantillons d’un vecteur aléatoire x ∼ SαScK  Í jΓj  . 3. Le score comparant les estimées avec les vraies sources générées à la première étape sera calculé. Tout calcul d’intégral le long de la sphère SK utilise la technique de discrétisation présentée en (9.7). Cependant, étant donné que les sources sont supposées symétriques (ainsi que la mesure spatiale et

le spectre spatial), nous échantillonnons uniquement l’hyper demi-sphère. Le score pour évaluer la

performance de chaque méthode sera le calcul empirique de l’erreur absolue moyenne (EAM) entre une composante y et son estimée ˆy :

EAM (y,by)= Í jE  y_j−_by_j    Í jE  y_j  , (12.1)

où les espérances seront approximées par des moyennes empiriques. Les mesures spatiales seront prises comme étant des mélanges de distributions de Von-Mises Fisher (VMF) comme décrit dans la section 9.2.3 page 77.